计量学-向量自回归和自回归条件异方差模型

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量自回归和自回归条件异方差模型,1,本章介绍时间序列的向量自回归和自回归条件异方差模型。,向量自回归模型,是自回归移动平均模型从单个时间序列到多个时间序列的扩展。,自回归条件异方差模型,主要考察时间序列数据波动性的变化，在金融领域的风险分析中有重要应用。,本章介绍这两种模型的意义和特征、参数估计、检验和应用等。,2,第一节 向量自回归模型,一、向量自回归模型概述,ARMA,模型分析针对单个时间序列，存在忽略经济变量之间内在联系的缺点。,克服这个缺点的方法是把,ARMA,模型扩展到针对多个时间序列，把,ARMA,模型中的变量换成向量。,因为自回归移动平均模型可相互转换，而且在向量变量的情况下自回归模型比较方便，因此一般主要考虑向量变量的自回归模型，称为“向量自回归模型”（,Vector autoregression model,，,VAR,）。,3,(,一,)VAR,模型的表示形式,把,p,阶自回归模型,AR(,p,),中的变量和误差项都变成向量，系数变成系数向量或矩阵，就得到一个,p,阶向量自回归模型,VAR(,p,),：,引进滞后算子，向量自回归模型可以写成,或者,4,引进下列记号：,则,p,阶向量自回归模型,VAR(,p,),，也可写成一阶自回归形式,VAR(1),：,5,其中 的协方差矩阵为,6,为了分析的方便，也常常假设 服从多元正态分布，即,，其中 可以包含一定自相关性，即 是对称正定矩阵，但不一定是对角线矩阵。,当 满足该假设时，上述向量自回归模型也称为“,高斯向量自回归模型,”。,7,向量自回归模型,VAR(,p,),展开，可以写成每个变量对常数项和向量中所有变量的,1-,p,阶滞后项回归的，,n,个方程构成的联立方程组系统,8,这个展开形式上与一般联立方程组模型相似，但其实有本质差异：,1,、,VAR,模型不强调变量之间关系的理论根据，模型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分，每个方程都包含所有的变量；,2,、,VAR,模型的主要作用是进行预测分析而不是经济结构分析；,3,、由于模型结构性质的差别，,VAR,模型的参数估计和检验等与联立方程组模型也有差别。,9,（二）平稳性分析,1,、平稳性定义,如果向量自回归过程 的一阶矩 和二阶矩 关于时期,t,都是独立的，则称为“协方差平稳的”，或者直接称“平稳的”。平稳意味着向量中包含的各个时间序列都是平稳的。,10,2,、平稳性条件,利用一阶自回归形式 进行迭代可得,因为平稳过程意味着随着时间的不断增大，扰动的效应必须逐渐消失，因此上述向量自回归过程的平稳性要求随着,s,不断增大,11,因此矩阵,F,的特征方程,的根都必须满足 ，也就是在单位圆内。,另一种表达方法,:,满足方程,的所有 值（根）都必须在单位圆之外。,12,(,三,),性质,1,、均值,对于平稳的向量自回归模型 ，两边求数学期望得：,可得到其均值为：,13,2,、,MA(),表示方法,一个平稳的向量自回归过程可以写成一个白噪声向量的无限移动平均过程,MA(),：,其中 是上述移动平均表达式的滞后算子多项式， 与自回归形式的滞后算子多项式,之间的关系为 ，意味着,14,二、向量自回归模型参数估计,普通最小二乘估计能得到一致估计。,因为不同方程的误差之间有相关性，因此,ML,能得到更有效的估计,在模型误差项服从多元正态分布的前提下，模型参数向量的最大似然估计与最小二乘估计是相同的，只是误差方差的估计不同。,15,以误差向量服从多元高斯过程的高斯向量自回归模型为例，说明最大似然估计。,一个,p,阶高斯向量自回归模型即,其中,。,16,如果已经得到向量时间序列 的 个时期的观测值，那么,因为 在时期t为常数，而 ，因此,17,引进记号,:,上述 服从的条件分布可以写成下列紧凑形式,因此第,t,个观测值的条件密度为,18,向量自回归模型的（条件）似然函数为,:,对数似然函数则为,19,可以证明其中的最大似然估计实际上与最小二乘估计相同，为,其中 第,j,行就是 对 回归得到的回归系数向量。,的最大似然估计则是,20,最大似然估计肯定是一致估计，其渐近分布是渐近正态分布,其中 ， 是克罗内克积。,第,i,个系数估计量 渐近分布,21,如果 由其一致估计 代，而 则由一致估计 代，则可以将近似看作,当样本容量较大时，可以利用该渐近分布进行统计推断检验。,22,三、向量自回归模型检验,（一）需要通过模型检验加以确定的问题包括：,滞后期长度的确定；,模型的参数是否显著，是否存在特定约束关系等。,23,（二）似然比检验,似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约束或者所对应的检验假设是否成立。,24,：一组变量数据由 阶而不是 阶滞后的高斯向量自回归生成。,：这组变量数据是由 阶滞后的高斯向量自回归生成。,分别在两个不同的假设下估计这个系统，也就是分别求每个变量关于常数项和系统中所有变量的 阶和 滞后的回归。,25,分别代入上述似然函数公式得到,得到似然比统计量为,26,Sims,（,1980,）也提出了一种适应小样本情况的修正的似然比检验统计量,在确定向量自回归模型的滞后期数等方面，进行参数估计回归时的,SIC,和,AIC,信息数标准同样也是重要的参考依据。一般来说，这两个指标较小的选择是较好的。,27,四、向量自回归模型的应用,（一）预测,向量自回归模型最重要的应用,由于向量自回归模型没有当期外生变量，因此在预测方面没有确定外生变量水平的困难，预测比较容易。,向量自回归模型的最优预测就是条件期望预测。,28,基于 的 的预测如下：,作为一个动态系统，向量自回归模型很容易得到多步、多期预测。,例如作基于 的 、 等预测时，只要把前期预测作为变量值代入模型，就可以得到多步预测 、 等。这种方法的缺点是前期的预测误差会不断积累，导致长期预测的较大偏差。,29,（二）因果性分析,（三）脉冲,响应函数分析,把向量自回归模型表示为移动平均模型形式,时，等于把时间序列向量自身的惯性趋势，转化成了一系列随机扰动、新生的白噪声扰动影响的叠加，该移动平均模型的系数矩阵 满足,30,它反映了,t,时期的扰动（创新）对时期,t+s,向量或其中各个变量水平的影响。,如果已知 变化 ，那么对 的综合影响为,因此系数矩阵 称为“脉冲,响应函数”。,脉冲,响应函数是研究新生冲击的长期影响的方法。,31,在实际应用中，由于把向量自回归模型,变换成移动平均形式并不是很容易，因此一般采用模拟的方法求向量自回归模型的脉冲,响应函数。,令,32,根据上述向量自回归模型模拟时期,t,、,t,+1,、,t,+2,的 向量，其中 即对应矩阵 的第,j,列。让,j,取遍,1,n,，即可计算出 中所有元素。,33,第二节 自回归条件异方差模型,许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票价格等金融时间序列时，都发现时间序列模型扰动方差的稳定性比通常认为的差，时间序列数据也存在异方差问题。,经济时间序列数据的这种方差变化也称为,波动集聚性,（,volatility clustering,），对于研究和控制金融风险等非常有用。,34,恩格尔（,Engle,）,1982,年提出一种自回归条件异方差模型（,autoregressive conditional hetroscedasticity model,，,ARCH,），来描述上述时间序列的方差波动。后来该模型又被扩展到,GARCH,、,EGARCH,、,ARCH-M,等模型。,35,自回归条件异方差模型可以在一个自回归模型的基础上引出,1,、自回归模型,是,p,阶自回归过程,AR(p),其中 是白噪声：,36,假定特征方程 的根都在单位圆之外，则该过程是弱平稳的。,的无条件均值则是,对 的最优线性预测为,37,2,、自回归条件异方差模型,服从,q,阶自回归过程,:,其中 服从独立同分布的白噪声过程,38,给定 ， 的条件方差,随时间而变化，而且模型中包含 的,q,阶自回归结构，因此称 服从,q,阶“自回归条件异方差过程”，记作,ARCH(q),。,39,的分布是受限制的，上述自回归过程中的系数必须满足,； 对 都必须成立。,平稳性条件,特征方程 的根必须都在单位圆之外。,40,因为 ， ， ，该平稳条件等价于,上述平稳性条件成立时， 的无条件方差仍然为常数。,41,3,、可以用另一种更方便的方法表示 服从,ARCH(q),过程。,假设,其中 是独立同分布序列，并假设,42,此时 的条件期望为,条件方差为,与前一种表示方法完全是相同的。,43,自回归条件异方差模型的特点就是可以计算时间序列的条件方差，从而可以评价相关经济指标的风险。,如果自回归条件异方差模型的参数已知，那么可以根据前期的数据和公式,估计预测未来的条件方差。,不过一般来说，自回归条件异方差模型的参数是需要估计的。,44,二、自回归条件异方差模型参数估计,(,一,),一般的,OLS,方法,其实在误差项服从,ARCH,过程的情况下，如果模型仍然服从基本假设，例如线性回归模型的,5,条假设或平稳自回归模型的条件，那么一般的,OLS,仍然是有效的。,45,ARCH,过程最常用的模型是在回归模型,其中 是已知的回归变量构成的向量，可,以包括滞后 ， 是回归参数向量。,误差项 服从,ARCH(q),，即 ， 是白噪声，而 。,46,由于 的无条件均值和方差都满足古典线性回归模型的假设，因此理论上可以用OLS法估计线性回归模型的参数，得到的参数估计量是有效线性估计量（BLUE估计）。,即使 不是正态分布的，通常的OLS检验统计量也是渐近有效的。,47,但由于存在自回归条件异方差性，因此用加权最小二乘估计有可能获得比OLS估计更有效，但不是无偏的估计量。,在误差项正态分布的条件下，最大似然估计也可以得到更有效的非线性估计量。,48,（二）最大似然估计,假设 服从正态分布。根据模型（,8-3,）的假设， 与 ，以及滞后 相互独立。因此随机变量 服从正态分布，条件密度函数为：,49,模型的条件对数似然函数为,在此基础上可以根据非线性优化的数值算法，通过搜索或者迭代运算的方法，求出模型参数的最大似然估计。,对于 不服从正态分布而服从其他分布，只要能够得到 的分布密度函数，也可以用同样的方法进行最大似然估计。,50,三、广义自回归条件异方差模型,许多金融时间序列,ARCH,模型的仍然必须取很大值。这意味着参数的数量较大，估计较困难，而且模型所有系数都要求也有问题。,解决这些问题的方法是用一个类似,ARMA,的“自回归移动平均条件异方差模型”，也称为“广义条件异方差模型”（,GARCH,）进行分析。,51,GARCH,表现为误差项 ，其中 是独立同分布序列，并假设,其中 和 都大于,0,，且,这种模型记,GARCH(,p,q,),。,52,在实际应用中，,GARCH(,p,q,),中的,q,一般比较小，比,ARCH(,q,),中的,q,可以小得多，事实上最常用的是,GARCH(1,1),模型。,GARCH(1,1),模型就可以描述大量的金融时间序列数据。,很显然，,GARCH(1,1),需要估计的参数数量就比较少，对于估计和分析等都有很大好处。,53,四、自回归条件异方差模型检验和预测,（一）检验,检验,GARCH,效应,1,、简单的方法是估计最小二乘残差的平方。残差平方的自回归提供了关于,GARCH,效应的证据。,54,2,、博拉斯莱夫提出的拉格朗日统计量。,可以用于进行相对于,ARCH(,q,),的没有,ARCH,效应的,ARCH(0),检验，相对于,GARCH(,p,q,),的关于,GARCH(,p,0),的,LM,检验。,具体是通过在 对常数和,q,个滞后变量的线性回归，得到的 的,T,倍 服从自由度为,q,的极限卡方分布，因此可以用具有,q,个自由度的卡方分布进行检验。,55,当此统计量的值大于临界值表明,ARCH,或,GARCH,效应存在，否则认为,ARCH,或,GARCH,效应不存在。,56,（二）预测,这里的预测是指自回归条件异方差模型，有自回归条件异方差的线性回归、自回归模型的误差项条件方差的预测。,该条件方差的预测可以用迭代的方法进行多步预测。,记 为条件方差超前,s,预测期的线性预测,57,可以得到线性预测的迭代公式,其中 ，当 时 。,假定 有有限方差，而,那么当 时，超前,s,期预测,58,