应力状态的概念

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 应力状态与强度理论,材料力学,71,应力状态的概念,74,75,三向应力状态研究,应力圆法,76,广义,胡,克定律,77,复杂应力状态下的变形比能,78,强度理论,72,二向应力、三向应力状态的实例,平面应力状态分析,图解法,73,平面应力状态分析,解析法,应力状态与强度理论,7,应力状态的概念,应力状态与强度理论,一、引言,1,、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,M,低碳钢,铸铁,P,P,铸铁拉伸,P,铸铁压缩,2,、组合变形杆将怎样破坏？,M,P,四、普遍状态下的应力表示,三、单元体,：,单元体,构件内的点的代表物，是包围被研究点,的无限小的几何体，常用的是正六面体。,单元体的性质,a,、每个面上，应力均布；,b,、,平行面上，应力相同。,二、一点的应力状态：,过一点有无数的截面，一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。,x,y,z,s,x,s,z,s,y,应力状态与强度理论,t,xy,应力状态与强度理论,五、剪应力互等定理,:,x,y,z,s,x,s,z,s,y,t,xy,t,zx,六、原始单元体（已知单元体）：,例,1,画出下列图中的,A,、,B,、,C,点的已知单元体。,应力状态与强度理论,P,P,A,A,s,x,s,x,M,P,x,y,z,B,C,s,x,s,x,B,t,xz,t,x,y,t,yx,课堂练习,用单元体表示圆轴受扭时，轴表面任一点的应力状态。,用单元体表示矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其它各点的应力状态。,七、主平面、主应力：,主平面,(Principal Plane),：,剪应力为零的截面。,主应力,(Principal Stress,）：,主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,应力状态与强度理论,s,1,s,2,s,3,x,y,z,s,x,s,y,s,z,三个主平面一定互相垂直。,单向应力状态（,Unidirectional State of,Stress,）,：,一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（,Plane State of,Stress,）,：,二个主应力不为零的应力状态。（平面应力状态）,应力状态与强度理论,三向应力状态（,ThreeDimensional State of,Stress,）,：,三个主应力都不为零的应力状态。,72,二向和三向应力状态的实例,应力状态与强度理论,p,p,p,x,s,s,l,p,O,D,A,B,y,p,s,s,x,D,1,、纵向应力,y,p,s,s,D,z,O,应力状态与强度理论,2,、环向应力：,外表面,内表面,三向应力状态的实例：在滚珠轴承中，轴承外圈在与滚珠,接触点处的应力状态为三向应力状态，,应力状态与强度理论,73,二向应力状态分析,解析法,应力状态与强度理论,s,x,t,xy,s,y,s,x,s,y,正应力以拉应力为正，压应力为负；,剪应力,对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；,由 轴逆时针转过 角为正，反之为负。,设：斜截面面积为,dA,，,由分离体平衡得,：,一、任意斜截面上的应力,应力状态与强度理论,s,x,t,xy,s,y,s,y,t,xy,s,x,s,a,t,a,a,规定：,考虑切应力互等和三角变换，得：,同理：,s,y,t,xy,s,x,s,a,t,a,a,s,x,t,xy,s,y,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,例,1,、,求图示单元体斜截面上的应力。,解：,解：,应力状态与强度理论,二、主应力、主平面,s,x,t,xy,s,y,由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，,分别作用着最大、最小正应力。,主平面方位的确定：约定,则两个角度,中，锐角确定,作用的平面。,，,应力状态与强度理论,二、主应力、主平面,s,x,t,xy,s,y,由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，,分别作用着最大、最小正应力。,主平面方位的确定：约定,则两个角度,中，锐角确定,作用的平面。,，,应力状态与强度理论,例,2,、,求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主,平面和主应力。,应力状态与强度理论,解：,应力状态与强度理论,例,3,分析圆轴扭转时的应力状态。,解：,确定危险点并画其原,始单元体,求极值应力,t,x,y,C,t,yx,M,C,x,y,铸铁圆轴扭转,破坏现象分析,应力状态与强度理论,x,y,2,2,2,x y,y,x,min,max,t,s,s,t,t,+,-,=,）,（,应力状态与强度理论,三、最大切应力,则,即最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为,45,0,。,四、两个互相垂直截面上应力的关系,应力状态与强度理论,互相垂直的两个截面上的正应力之和为一值。,即切应力互等定理。,74,平面应力状态分析,图解法,对上述方程消去参数（,2,），得：,一、应力圆（,Stress Circle,）,x,y,s,x,t,xy,s,y,O,应力状态与强度理论,将上式改写成：,上式中 皆为已知量，故此方程是以 和,为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由,德国工程师,Otto Mohr,提出。,由公式可见，在,直角坐标系中，应力圆具有,以下特征：,（,1,）圆心坐标为,圆心必在 坐标轴上,（,2,）半径为,应力状态与强度理论,（,3,）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表,单元体中某一相应斜截面上的 和 ，因此应力圆圆,周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。,应力状态与强度理论,建立应力坐标系，如下图所示，,（注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在,坐标系内确定点,A,(,x,，,xy,),和点,B,(,y,，,yx,),AB,与,s,轴的交点,C,便是圆心。,以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆,应力圆；,s,x,t,xy,s,y,n,s,a,t,a,a,O,s,t,C,A,(,s,x,t,xy,),B,(,s,y,t,yx,),2,a,D,(,s,a,t,a,),应力状态与强度理论,s,t,C,B,(,s,y,t,yx,),2,a,D,(,s,a,t,a,),应力状态与强度理论,A,(,s,x,t,xy,),s,x,t,xy,s,y,n,s,a,t,a,a,O,s,t,C,A,(,s,x,t,xy,),B,(,s,y,t,yx,),2,a,D,(,s,a,t,a,),三、单元体与应力圆的对应关系,转向相同,单元体上的截,面旋转的方向与应力圆圆周上点,的旋转方向相同。,角度二倍,单元体上的截面旋转 角，则应力圆圆周上的点旋转 角。,应力状态与强度理论,点面对应,单元体上的截面与应力圆上的点一一对应。,四、在应力圆上标出极值应力,O,C,s,t,A,(,s,x,t,xy,),B,(,s,y,t,yx,),2,a,1,2,a,0,s,1,s,3,应力状态与强度理论,例,4,求图示单元体的主应力及主平面的位置。,(,单位：,MPa),A,B,1,2,解：,应力坐标系如图,AB,的垂直平分线与,s,轴的交点,C,便是圆心，以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆,应力圆,0,s,1,s,2,B,A,C,2,s,0,s,t,(MPa),(MPa),O,20MPa,在,坐标系内画出点,应力状态与强度理论,s,1,s,2,B,A,C,2,a,0,s,t,(MPa),(MPa),O,20MPa,主应力及主平面如图,1,0,2,A,B,应力状态与强度理论,解法,2,解析法：分析,建立坐标系如图,60,x,y,O,应力状态与强度理论,由,已知,求出,课堂练习：,1,、画出单向拉伸、单向压缩应力状态的应力圆。,应力状态与强度理论,2,、画出纯剪切应力状态的应力圆。,应力状态与强度理论,75,三向应力状态研究,应力圆法,s,2,s,1,s,3,1,、三向应力状态,应力状态与强度理论,2,、三向应力状态分析,弹性理论证明，图,a,单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图,b,的应力圆上或阴影区内的一点。,图,a,图,b,整个单元体内的最大切应力为：,t,max,s,2,s,1,x,y,z,s,3,应力状态与强度理论,76,广义,胡,克定律,一、单向拉伸应力状态下，应力,-,应变关系（胡克定律）,二、纯剪切应力状态下，应力,-,应变关系,x,y,z,s,x,x,y,z,x,y,应力状态与强度理论,三、复杂应力状态下的应力,-,应变关系,根据叠加原理,得,:,x,y,z,s,z,s,y,t,xy,s,x,应力状态与强度理论,同理,上式称为广义胡克定律,主应力,-,主应变关系,四、平面应力状态下的应力,-,应变关系,:,s,1,s,3,s,2,应力状态与强度理论,s,x,s,y,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系,:,s,1,s,3,s,2,a,1,a,2,a,3,应力状态与强度理论,（略去高阶微量）,例,5,已知一受力构件自由表面上某一点处在表面内的主应变分别为：,1,=24010,-6,，,3,=16010,-6,，弹性模量,E,=210GPa,，,泊松比为,=0.3,，,试求该点处的主应力及另一主应变,。,所以，该点处为平面应力状态,应力状态与强度理论,7,7,复杂应力状态下的应变能密度,2,3,1,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,2,3,1,图,a,m,图,b,图,c,m,m,1,-,m,2,-,m,-,m,3,体积改变能密度,畸变能密度,因为图,C,的体积应变,应力状态与强度理论,则畸变能密度：,式中：,例,6,证明三个弹性常数 间的关系。,纯剪切单元体的应变能密度为：,纯剪切单元体应变能密度用主应力表示为：,t,A,1,3,应力状态与强度理论,一、引子：,78,强度理论,1,、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,M,低碳钢,铸铁,P,P,铸铁拉伸,P,铸铁压缩,2,、组合变形杆将怎样破坏？,M,P,应力状态与强度理论,二、,强度理论：是关于“构件发生强度失效（,failure by lost,strength,）,起因”的假说。,材料的破坏形式：,屈服；,断裂 。,单向应力状态的强度条件是以实验为基础建立的。例轴向拉伸的强度条件： ， 。,复杂应力状态下的强度条件不能靠实验来建立强度条件的原因：,（,1,）实验手段的困难，,（,2,）工作量的繁重。,应力状态与强度理论,三、,四个常用强度理论,1,、最大拉应力（第一强度）理论：,认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到材料单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,伽利略播下了第一强度理论的种子。,应力状态与强度理论,2,、,最大伸长线应变（第二强度）理论：,认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到材料单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽。,应力状态与强度理论,3,、最大切应力（第三强度）理论：,认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就屈服了。,破坏判据：,实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,强度准则：,杜奎特（,C.Duguet,),提出了最大切应力理论。,应力状态与强度理论,4,、畸变能密度理论（第四强度）理论：,认为构件的屈服是由,畸变能密度,引起的。当,畸变能密度,达到单向拉伸试验屈服时的,畸变能密度,时，构件就屈服了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,麦克斯威尔最早提出了畸变能密度理论。,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,综合以上各式，可将四个强度理论的强度条件写成统一的形式：,相当应力。,四个强度理论的相当应力：,四、,强度理论的应用,（一）强度计算的步骤：,1,、外力分析：确定全部的外力。,2,、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3,、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画,出其单元体，求主应力。,4,、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后,进行强度计算。,应力状态与强度理论,（二）强度理论的选用原则：依破坏形式而定。,1,、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,3,、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如拉压，扭转：,2,、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,4,、破坏形式还与温度、变形速度等有关！,当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。,其它应力状态时，使用第三或第四理论。,应力状态与强度理论,解：,危险点,A,的应力状态如图：,例,1,直径为,d,=0.1m,的,铸铁,圆杆受力如图,T,=7kNm,P,=50kN,=40MPa,试,用第一强度理论校核,杆的,强度。,故，安全。,P,P,T,T,A,A,s,t,应力状态与强度理论,例2,薄壁圆筒受最大内压时,测得,x,=1.8810,-4,y,=7.3710,-4,已知钢的,E,=210GPa,，,=170MPa,泊松比,=0.3,，试用第三强度理论,校核,其,强度。,解：由广义虎克定律得:,A,s,x,s,y,x,y,A,所以，此容器不满足第三强度理论。不安全,。,应力状态与强度理论,本章结束,