第9章-压杆稳定分解

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 压杆稳定,1、,压杆稳定性的概念,2、细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,3、不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式压杆的长度因数,4、欧拉公式的应用范围临界应力总图,5、实际压杆的稳定因数,6、压杆的稳定计算压杆的合理截面,实际的受压杆件,实际的受压杆件由于:,其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，,2.,作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，,3.,材料性质并非绝对均匀，,因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。,9-1 压杆稳定性的概念,对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力；,对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏(压溃)。,对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用,大柔度弹性直杆受偏心压力作用,这一力学模型来研究。,图,a,为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求,F,d,关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即,M,(,x,)=-,F,(,e,+,d,-,w,)，,这样得到的挠曲线近似微分方程,EI,z,w,=,F,(,e,+,d,-,w,),和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。,(a),按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距,e,时偏心压力,F,与最大侧向位移,d,的关系曲线如图,b,所示。,(b),由图可见虽然偶然偏心的程度不同 (,e,3,e,2,e,1,)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力,F,cr,却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的,F,d,关系曲线其特点与图,b,相同。,抽象的细长中心受压直杆,由图,b,可知，当偶然偏心的偏心距,e,0,时，细长压杆的,F,-,d,关系曲线就逼近折线,OAB,，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的,理想中心压杆,，则它的,F,-,d,关系曲线将是折线,OAB,。,由此引出了关于,压杆失稳(,buckling,),这一抽象的概念：,当细长中心压杆上的轴向压力,F,小于,F,cr,时，杆的直线状态的平衡是稳定的；,当,F,F,cr,时杆既可在直线状态下保持平衡(,d,0,)，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说,F,F,cr,时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定,的,，,压杆在轴向压力,F,cr,作用下会丧失原有的直线平,衡状态，即发生失稳。,F,cr,则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical force)。,从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：,杆能保持微弯状态时的轴向压力,。,显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。,失稳现象,稳定状态,失稳现象,临界状态,失稳现象,不稳定状态,压杆的截面形式及支端约束,压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；,图,a,为钢,桁架,桥上弦杆(压杆)的横截面，,图,b,为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。,本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图,a,)为例，按照对于理想中心压杆来说,临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力,这一概念，来导出求临界力的欧拉(,Euler,)公式。,(a),9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,在图,a,所示微弯状态下，两端铰支压杆任意,x,截面的挠度(侧向位移)为,w,，该截面上的弯矩为,M,(,x,)=,F,cr,w,（图,b,）。杆的挠曲线近似微分方程为,(b),(a),上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度,w,，挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。,令,k,2,=,F,cr,/,EI,，将挠曲线近似微分方程(,a,)改写成,该二阶常系数线性微分方程(,b,)的通解为,(,b,),(,c,),此式中有未知量,A,和,B,以及隐含有,F,cr,的,k,，但现在能够利用的边界条件只有两个，即,x,=0，,w,=0,和,x,=,l,，,w,=0,，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由,F,=,F,cr,时杆可在任意微弯状态下(,d,可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(,c,)式求出与临界力相关的未知常数,k,就可以了。,将边界条件,x,=0，,w,=0,代入式(,c,)得,B,=0,。于是根据(,c,)式并利用边界条件,x,=,l,，,w,=0,得到,(,c,),(a),注意到已有,B,=0,，故上式中的,A,不可能等于零，否则(,c,)式将成为,w,0,而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(,c,)成立，则必须,sin,kl,=0,满足此条件的,kl,为,或即,由于 意味着临界力,F,cr,0,，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在,kl,0,的解中，最小解,kl,p,相应于最小的临界力，这是工程上最关心的,临界力,。,由,kl,p,有,亦即,从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：,此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得,B,=0,，且取,kl,p,，以此代入式(,c,)得,注意到当,x,=,l,/2,时,w,=,d,，故有,A,=,d,。从而知，对应于,kl,p,，亦即对应于,F,cr,=,p,2,EI,/,l,2,，挠曲线方程为,可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。,需要指出的是，尽管上面得到了,A,=,d,，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时,d,为不确定的值，故不能说未知量,A,已确定。,事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。,(a),现在通过二个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。,9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式压杆的长度因数,例题,9,-,1,试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆相应的挠曲线方程。图中,xy,平面为杆的弯曲刚度最小的平面，亦即杆最容易发生弯曲的平面。,解：,根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意,x,横截面上的弯矩为,杆的挠曲线近似微分方程则为,并令 有,此微分方程的通解为,从而亦有,根据边界条件,x,=0，,w,=0,得,Ak,=0,；注意到 不会等于零，故知,A,0,，从而有,w,B,cos,kx,+,d,。再利用边界条件,x,=0，,w,=0,得,B,=,-,d,。,于是此压杆的挠曲线方程成为,至此仍未得到可以确定隐含,F,cr,的未知量,k,的条件。为此，利用,x,=,l,时,w,=,d,这一关系，从而得出,从式(,a,)可知,d,不可能等于零，否则,w,将恒等于零，故上式中只能,cos,kl,= 0,。满足此条件的,kl,的最小值为,kl,=,p,/2,，亦即,从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：,(,b,),亦即,以,kl,=,p,/2,亦即,k,=,p,/(2,l,),代入式(,a,)便得到此压杆对应于式(,b,)所示临界力的挠曲线方程：,例题,9,-,2,试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆相应的挠曲线方程。图,(a),中的,xy,平面为杆的最小弯曲刚度平面。,(a),解：,1. 在推导临界力公式时需要注意，,在符合杆端约束条件的微弯状态下，支座处除轴向,约束力,外还有无横向,约束力,和,约束力,偶矩,。,在推导临界力公式时这是很重要的一步，如果在这一步中发生错误，那么得到的结果将必定是错误的。,(b),图b示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，,B,处应有逆时针转向的,约束力,偶矩,M,B,，并且根据整个杆的平衡条件,M,B,0可知，杆的上端必有向右的水平,约束力,F,y,；从而亦知杆的下端有向左的水平,约束力,F,y,。,2. 杆的任意,x,截面上的弯矩为,从而有挠曲线近似微分方程：,上式等号右边的负号是因为对应于正值的,w,， 为负而加的。,(b),令,k,2,=,F,cr,/,EI,，将上式改写为,亦即,此微分方程的通解为,从而亦有,式中共有四个未知量：,A,，,B,，,k,，,F,y,。,对于此杆共有三个边界条件。,由边界条件,x,=0，,w,=0,得,A,=,F,y,/(,kF,cr,),。又由边界条件,x,=0，,w,=0,得,B=,-,F,y,l,/,F,cr,。将以上,A,和,B,的表达式代入式(,a,)有,(a),再利用边界条件,x,=,l,，,w,=0,，由上式得,由于杆在微弯状态下保持平衡时，,F,y,不可能等于零，故由上式得,满足此条件的最小非零解为,kl,=,4.49,，亦即 ，从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：,亦即,3. 将,kl,= 4.49，亦即,k,= 4.49/,l,代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：,利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在,x,= 0.3,l,处(图,b,)。,(b),表91 各种支承条件下细长压杆的临界力,F,cr,l,支承情况,两端铰支,一端固定,一端铰支,两端固定，,但可沿纵向,相对移动,一端固定,一端自由,两端固定，,但可沿横向,相对移动,失稳时挠曲线形状,临界力,长度系数,l,F,cr,l,0.5,l,F,cr,= 1,= 0.7,= 0.5,= 2,= 1,2,l,l,F,cr,F,cr,0.7,l,l,表,9,-,1,中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，,杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。,表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：,式中，,m,称为压杆的长度因数,，它与杆端约束情况有关；,m,l,称为,压杆的相当长度(,equivalent length,),，它表示某种杆端约束情况下几何长度为,l,的压杆，其临界力相当于长度为,m,l,的两端铰支压杆的临界力。表,9,-,1,的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度,m,l,。,运用欧拉公式计算临界力时需要注意：,当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时,(,例如球形铰,),，欧拉公式中的,I,应是杆的横截面的最小形心主惯性矩,I,min,。,当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的,I,应与失稳,(,或可能失稳,),时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：,x,y,z,轴销,对应于杆在,xy,平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，,对应于杆在,xz,平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，,而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。,x,y,z,轴销,. 欧拉公式应用范围,在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见,欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限,s,p,的情况,。,按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力,F,cr,作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按,s,cr,F,cr,/,A,来计算，亦即,9-4 欧拉公式的应用范围临界应力总图,式中，,s,cr,称为临界应力,； 为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；,m,l,/,i,为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的,长细比(,slenderness,)或柔度,，记作,l,，即,根据欧拉公式只可应用于,s,cr,s,p,的条件，由式(,a,)知该应用条件就是,亦即,或写作,可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。,对于,Q235,钢，按照,E,206 GPa，,s,p,200 MPa,，有,通常把,l,l,p,的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力,F,cr,的压杆，称为,大柔度压杆或细长压杆,，而把,l,l,p,的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为,小柔度压杆,。,图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(,l,l,p,)的,s,cr,-,l,曲线，它是一条双曲线，称为,欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线,。,需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，应用欧拉公式求临界力的最小柔度,l,p,偏大一些。,*,.,研究小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论,工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应用欧拉公式。研究小柔度压杆（,l,l,p,）临界应力的理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之一。,现先以矩形截面小柔度钢压杆在,xy,平面内失稳为例来探讨。,(a),图,a,所示为钢在压缩时的,s,e,曲线。,当加载过程中应力,s,超过比例极限时，材料在某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量,E,s,；,而卸载时，材料的弹性模量由卸载规律可知，它与初始加载时的弹性模量,E,相同。,(1),横截面上应力的变化情况,按抽象的概念，小柔度中心压杆与大柔度中心压杆一样，当,F,=,F,cr,时杆既可在直线状态下保持平衡，也可在微弯状态下保持平衡。,小柔度压杆在直线状态下保持平衡时其横截面上的应力是均匀的，其值为,s,cr,=,F,cr,/,A,（图,b,）。,(b),当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一侧(图,b,中,z,轴右侧)横截面上产生附加拉应力，使原有的压应力,s,cr,减小，故属于减载，附加弯曲拉应力为,s,t,=,Ey,/,r,(,x,)；,(b),中性轴另一侧横截面上产生附加应力，使原有的压应力,s,cr,增大，故属于加载，附加弯曲压应力为,s,c,=,E,s,y,/,r,(,x,),。因为,E,E,s,，故微弯时中性轴不通过横截面形心，它离左边缘的距离为,h,1,，离右边缘的距离为,h,2,。,(2),中性轴的具体位置,根据压杆由于微弯产生的正应力在横截面上不应组成合力有,即应有,亦即要求,(b),这就要求,注意到,h,1,+,h,2,=,h,，由上式可解得,(b),(3),横截面上弯矩,M,(,x,),与曲率,r,(,x,),的关系,根据 有,(b),上式中，,I,z,1,=,bh,1,3,/3和,I,z,2,=,bh,2,3,/3,都是,z,轴一侧的矩形对,z,轴的惯性矩。,由上式可得,为了表达方便，用,I,来表示,bh,3,/12,，于是有,为将上式表达为一般弯曲问题中 的形式，引入,折减弹性模量,E,r,：,(b),于是有,亦即,或者说，挠曲线的近似微分方程为,对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的形式仍如式(,c,)所示。,(c),(4),小柔度压杆的临界力和临界应力表达式,小柔度压杆的挠曲线近似微分方程与大柔度压杆的,w,M,(,x,)/,EI,完全一致，对不同杆端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：,临界力,临界应力,E,r,：,折减弹性模量,.,压杆的临界应力总图,临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力,s,cr,随柔度,l,变化的关系曲线。,在,l,l,p,的部分，有欧拉公式,s,cr,p,2,E,/,l,2,表达,s,cr,l,关系；,但在压杆,柔度,l,很小时，由于该理论存在的不足，计算所得,s,cr,可能会大于材料的屈服极限,s,s,，故取,s,cr,s,s,。,在,l,l,p,的范围内可利用折减弹性模量理论公式,s,cr,p,2,E,r,/,l,2,表达,s,cr,l,关系；,此外，该,理论公式中有与截面形状相关的折减弹性模量,E,r,，故,l,91,，故按下式计算稳定因数：,从而有许可压力：,例题,9,-,5,厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力,F,=270 kN,。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数取为,m,1.3,。钢柱长,7 m,，材料为,Q235,钢，强度许用应力,s,=170 MPa,。该柱属于,b,类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有,4,个直径为,d,0,=30 mm,的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。,解,：,1.,按稳定条件选择槽钢号码,为保证此槽钢组合截面压杆在,xz,平面内和,xy,平面内具有同样的稳定性，应根据,l,y,=,l,z,确定两槽钢的合理间距,h,。现先按压杆在,xy,平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。,假设,j,0.50,，得到压杆的稳定许用应力为,因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为,由型钢表查得，,14a,号槽钢的横截面面积为,A,=18.51 cm,2,18.51,10,-4,m,2,，而它对,z,轴的惯性半径为,i,z,=5.52 cm=55.2 mm,。,下面来检查采用两根,14a,号槽钢的组合截面柱其稳定因数,j,是否不小于假设的,j,0.5,。,注意到此组合截面对于,z,轴的惯性矩,I,z,和面积,A,都是单根槽钢的两倍，故组合截面的,i,z,值就等于单根槽钢的,i,z,值。于是有该组合截面压杆的柔度：,由表,9,-,3,查得，,Q235,钢,b,类截面中心压杆相应的稳定因数为,j,0.262,。,显然，前面假设的,j,0.5,这个值过大，需重新假设,j,值再来试算；重新假设的,j,值大致上取以前面假设的,j,0.5,和所得的,j,0.262,的平均值为基础稍偏于所得,j,的值。,重新假设,j,0.35,，于是有,试选,16,号槽钢，其,A,=25.15,10,-,4,m,2,，,i,z,=61 mm,，从而有组合截面压杆的柔度：,由表,9,-,3,得,j,=,0.311,，它略小于假设的,j,0.35,。现按采用,2,根,16,号槽钢的组合截面柱而,j,0.311,进行稳定性校核。此时稳定许用应力为,按横截面毛面积算得的工作应力为,虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过,1.5,，这是允许的。,2.,计算钢柱两槽钢的合理间距,由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度,l,y,=,l,z,。,根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩,I,y,=,I,z,。,如果,z,0,，,I,y,0,，,I,z,0,，,A,0,分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则,I,y,I,z,的条件可表达为,亦即,消去公因子,2,A,0,后有,在选用,16,号槽钢的情况下，上式为,由此求得,h,81.4 mm,。实际采用的间距,h,不应小于此值。,3. 按钢柱的净横截面积校核强度,钢柱的净横截面积为,按净面积算得的用于强度计算的工作应力为,它小于强度许用应力,s,=170 MPa,，满足强度条件。,例题,9,-,6,机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，从而该连杆如在,xy,平面内失稳，可取长度因数,m,z,=1.0,；如在,xz,平面内失稳，则可取,m,y,=,0.6,。已知：连杆由,Q235,钢锻造成型，它属于,a,类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为,F,= 35 kN,，材料的强度许用应力,s,=206 MPa,。试校核其稳定性。,解：,1.,工字形截面面积,A,和形心主惯性矩,I,z,，,I,y,z,2.,横截面对,z,轴和对,y,轴的惯性半径,i,z,，,i,y,3. 连杆的柔度,连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为,分别比工字形截面的,I,z,和,I,y,大了,15.5,和,126,，,I,y,远大,于,I,y,。,这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在,xz,平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按工字形,截面的,I,y,检算,在,xz,平面内的稳定性时取,l,2,=580 mm,作为连杆的长度。于是有,4.,连杆的稳定性校核,按较大的柔度值,l,y,68.9,由,Q235,钢,a,类截面压杆的,j,l,表(见教材,308,页表,9,-,2,)，以内插法求得,从而得稳定许用应力：,而连杆横截面上的工作应力为,因,s, ,s,st,，故满足稳定性要求。,