平面曲线的方程

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,解析几何,2.1 平面曲线的方程,定义1,当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之,间有着关系：,满足方程的 必是曲线上某一点的坐标；,曲线上任何一点的坐标 满足这个方程，,那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的图形,。,一、曲线的方程,概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系,例1 求圆心在原点，半径为,R,的圆的方程,例2 已知两点 和 ，求满足条件 的动点,M,的轨迹方程,定义2,若取 的一切可能取值,由 表示的向径 的终点总在一条曲线上,在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由,的某一值 通过 完全决定,那么就把 叫做曲线的向量式参数方程，,其中 为参数。,二、曲线的参数方程,其坐标式参数方程为：,该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）,例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹,(1) 一个半径为,r,的小圆在半径为,R,的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一,定点,P,的运动轨迹称为,内摆线,(,hypocycloid,）,例4 已知大圆半径为,a,，小圆半径为,b,，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点,P,的轨迹方程,三、常见曲线的参数方程,圆的内摆线,圆的内摆线,四尖点星型线,（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的运动轨迹称为,外摆线,（,epicycloid,）,参数方程为：,特别地，当R=r时，得到,心脏线,参数方程为：,（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的,渐伸线,或,切展线,（,involute,）,（4）椭圆的参数方程,设椭圆的方程为,第一种参数方程以角度 为参数：,第二种参数方程以斜率 为参数：,