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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,基本概念,一阶方程,类 型,1.直接积分法,2.可分离变量,3.齐次方程,4.可化为齐次,方程,5.全微分方程,6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,定理1;定理2,定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性,方程解的结构,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式及其,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程,非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,1、基本概念,微分方程,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解,如果,微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件,用来确定任意常数的条件.,初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,齐次方程,（其中,h,和,k,是待定的常数）,否则为非齐次方程,(3) 可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,(4) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(5) 伯努利(,Bernoulli),方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法,需经过变量代换化为线性微分方程,其中,形如,(6) 全微分方程,注意：,解法,应用曲线积分与路径无关., 用直接凑,全微分的方法.,通解为,(7) 可化为全微分方程,形如,公式法:,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,常见的全微分表达式,可选用积分因子,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分,n,次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,特点,型,解法,代入原方程, 得,、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,特征方程为,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,7、欧拉方程,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换,可化为常系数微分方程.,的方程(其中,形如,叫,欧拉方程,.,为常数)，,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 常用幂级数解法.,8、幂级数解法,二、典型例题,例1,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,例2,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,例3,解,方程为全微分方程.,(,1) 利用原函数法求解:,故方程的通解为,(,2) 利用分项组合法求解:,原方程重新组合为,故方程的通解为,(,3) 利用曲线积分求解:,故方程的通解为,例4,解,非全微分方程.,利用积分因子法:,原方程重新组合为,故方程的通解为,例5,解,代入方程，得,故方程的通解为,例6,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,由,解得,故原方程的通解为,由,即,例,解,（,）由题设可得：,解此方程组，得,（,）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,解,例,这是一个欧拉方程,代入原方程得,(,1),和(1)对应的齐次方程为,(,2),(2)的特征方程为,特征根为,(2)的通解为,设(1)的特解为,得(1)的通解为,故原方程的通解为,解,例,10,则由牛顿第二定律得,解此方程得,代入上式得,测 验 题,测验题答案,
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