弹塑性力学浙大1

, 書式設定, 書式設定,第,2,第,3,第,4,第,5,*,工程弹塑性力学,浙江大学 建筑工程学院,0.1,弹塑性力学的研究对象和任务,弹塑性力学,:,研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。,固体力学的一个分支学科,研究对象,:,对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。,P,P,P,研究方法,:,材料力学、结构力学,:,简化的数学模型,研究任务,:,弹塑性力学,:,较精确的数学模型,建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。,给出初等理论可靠性与精确度的度量。,学习目的,:,确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。,确定一般工程结构的承载能力。,为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论基础。,0.2,基本假定,1).,假定固体材料是连续介质,连续性假定,2).,物体为均匀的,各向同性,的,3).,物体的变形属于,小变形,4).,物体原来是处于一种,无应力,的自然状态,0.3,几个基本概念,张量的概念,只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为,标量,温度、质量、力所做的功,除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为,矢量,物体的速度、加速度,在讨论力学问题时，仅引进,标量,和,矢量,的概念是,不够,的,如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等,张量,关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：,M=r,n,=3,n,标量,:n=0,零阶张量,矢量,:n=1,一阶张量,应力,应变等,:n=2,二阶张量,二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。,0.3,几个基本概念,为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为,下标记号法,。,下标记号法,:,不重复出现的下标符号,在其变程,N(,关于三维空间,N,3),内分别取数,1,，,2,，,3,，,，,N,重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程,N,内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。,自由标号,:,哑标号,:,0.3,几个基本概念,当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程,N,中所有的值然后求和，这就叫做,求和约定,。,求和约定,:,d,ij,记号,：,Kroneker-delta,记号,0.3,几个基本概念,凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加,(,减），并得到同阶的一个新张量，法则为：,张量的计算,:,1,、张量的加减,第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合,新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。,2,、张量的乘法,张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。,3,、张量函数的求导,0.4,主要参考书目,Foundations of Solid Mechanics,1,、,Y.C.Fung(,冯元桢,),2,、杨桂通,3,、徐秉业,A first course in continuum mechanics,固体力学导论,连续介质力学导论,弹塑性力学,应用弹塑性力学,第一章 弹塑性力学基础,1.1 应力张量,1.2,偏量应力张量,1.3 应变张量,1.4 应变速率张量,1.5 应力、应变,Lode,参数,1.1,应力张量,力学的语言,y,x,z,O,正应力,剪应力,过,C,点可以做无穷多个平面,K,不同的面上的应力是不同的,到底如何描绘一点处的应力状态,?,1).,一点的应力状态,一点的应力状态,y,x,z,O,t,yx,t,yz,s,y,t,yx,t,yz,s,y,t,zx,t,zy,s,z,t,xy,t,xz,s,x,t,xy,t,xz,s,x,t,zx,t,zy,s,z,P,A,B,C,1.1,应力张量,一点的应力状态,可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。,应力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做,二阶张量,。,用张量下标记号法,下标1、2、3表示坐标,x,1,、,x,2,、,x,3,即,x,、,y,、,z,方向,(1.1),(1.2),1.1,应力张量,2).,一点斜面上的应力,(,不计体力,),i,：,自由下标；,j,为求和下标,（同一项中重复出现）。,斜截面外法线,n,的方向余弦,:,令斜截面,ABC,的面积为,1,(1.3),(1.4),1.1,应力张量,斜截面,OABC,上的正应力,:,斜截面,OABC,上的剪应力,:,(1.5),(1.6),1.1,应力张量,3).,主应力及其不变量,主平面,:,剪应力等于零的截面,主应力,-,:,主平面上的正应力,代入,采用张量下标记号,Kroneker delta,记号,(1.7),(1.8),(1.9),1.1,应力张量,d,ij,记号：,Kroneker-delta,记号,方向余弦满足条件：,采用张量表示,联合求解,l,1,l,2,l,3,：,l,1,l,2,l,3,不全等于,0,(1.10),(1.11),(1.12),(1.13),1.1,应力张量,联合求解,l,1,l,2,l,3,：,行列式展开后得：,简化后得,(1.14),(1.15),式中,:,是关于,的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。,主应力大小与坐标选择无关，故,J,1,J,2,J,3,也必与坐标选择无关。,1.1,应力张量,若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：,(1.16),主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：,(1.17),主剪应力面,(,t,1,),2,1,3,t,1,2,1,3,t,1,1.1,应力张量,最大最小剪应力：,取,主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式,:,消去,l,3,：,由极值条件,1.1,应力张量,最大最小剪应力：,第一组解：,第二组解：,第三组解：,它们分别作用在与相应主方向成,45,的斜截面上,因为：,1.1,应力张量,4).,八面体上的应力,s,1,s,2,s,3,沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为,八面体,。,(1.19),八面体的法线方向余弦：,八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：,八面体（每个坐标象限1个面）,或,(1.20),1.1,应力张量,4).,八面体上的应力,s,1,s,2,s,3,八面体面上的正应力为,:,八面体面上的剪应力为：,八面体（每个坐标象限1个面）,(1.23),(1.21),八面体面上的应力矢量为：,(1.22),平均正应力,1.1,应力张量,例题,:,已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定,即,x,3,y,0,z,0,xy,1 ,yz,2,zx,1,应力单位为,MPa,。试求该点的主应力值。,代入式,(1.14),后得,:,解,:,解得主应力为,:,1.2,应力偏量张量,1).,应力张量分解,物体的变形,(1.32),体积改变,形状改变,由各向相等的应力状态引起的,材料晶格间的移动引起的,球应力状态,/,静水压力,弹性性质,塑性性质,球形应力张量,偏量应力张量,1.2,应力偏量张量,1).,应力张量分解,(1.31),球形应力张量,偏量应力张量,其中,:,平均正应力,/,静水压力,1.2,应力偏量张量,2).,主偏量应力和不变量,(1.31),二阶对称张量,其中,:,剪应力分量始终没有变化,主偏量应力,(1.33),1.2,应力偏量张量,证明偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向重合,例,:,设原应力状态 主方向的方向余弦为,l,1,l,2,l,3,，则由式,(1.9),得,证明：,显然，方向余弦,l,1,l,2,l,3,将由式,(a),中的任意两式和,l,1,2,+l,2,2,+l,3,2,=1,所确定。,(a),若设偏应力状态 主方向的方向余弦为,l,1,l,2,l,3,，则由式,(1.9),同样得：,显然，方向余弦,l,1,l,2,l,3,将由式,(b),中的任意两式和,l,1,2,+l,2,2,+l,3, 2,=1,所确定。,(b),由于,:,l,1,=l,1,; l,2,=l,2,; l,3,=,l,3,可见式,(a),与式,(b),具有相同的系数，且已知,l,1,2,+l,2,2,+l,3,2,=,l,1,2,+l,2,2,+l,3, 2,=1,1.2,应力偏量张量,2).,主偏量应力和不变量,(1.33),偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向一致,主值为,:,满足三次代数方程式：,(1.34),式中,J,1,J,2,J,3,为不变量,(1.35),1.2,应力偏量张量,(1.40),利用,J,1,=0，,不变量,J,2,还可写为,:,(1.38),1.2,应力偏量张量,(1.43),3).,等效应力,(,应力强度,),在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为,等效应力,(1.41),简单拉伸时,:,“,等效,”,的命名由此而来。,各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关,1.2,应力偏量张量,(1.42),4).,等效剪应力,(,剪应力强度,),“,等效,”,的命名由此而来。,例题：,已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解：,1.2,应力偏量张量,等效应力,:,1.2,应力偏量张量,关于主应力的方程为,:,由主应力求等效应力,:,1.2,应力偏量张量,1.3,应变张量,1).,一点应变状态,位移,刚性位移,变形位移,物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。,物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。,要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究,变形位移,位移函数,位置坐标的单值连续函数,1.3,应变张量,微小六面体单元的变形,当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸,(,即单元体各棱边的长度,),及形状,(,即单元体各面之间所夹直角,),将发生改变。,由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。,1.3,应变张量,微小六面体单元的变形,B,点位移分量,D,点位移分量,A,点位移分量,xOy,的改变量,:,1.3,应变张量,变形后,AB,边长度的平方,:,M,点沿,X,方向上的,线应变,:,(a),(b),(c),代入,(a),得,:,略去高阶微量,同理，,M,点沿,Y,方向上的,线应变,:,1.3,应变张量,同理,:,xOy,的改变量，即,剪应变,:,1.3,应变张量,对角线,AC,线的,转角,:,刚性转动,1.3,应变张量,(1.44),1).,一点应变状态,工程应变分量：,(,几何方程,/,柯西几何关系,),1.3,应变张量,(1.45),1).,一点应变状态,受力物体内某点处所取无限多方向上的,线应变,与,剪应变,(,任意两相互垂直方向所夹直角的改变量,),的,总和,，就表示了该点的应变状态。,定义,:,应变张量,:,(1.46),1.3,应变张量,2).,主应变及其不变量,由全微分公式,:,M,点的位移分量,N,点的位移分量,表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。,1.3,应变张量,在主应变空间中,:,主平面法线方向的线应变,主应变,:,1.3,应变张量,类似于应力张量,:,e,ij,:,二阶对称张量。主应变,e,1,e,2,e,3,满足：,e,i,3,-,I,1,e,i,2,-,I,2,e,i,-,I,3,=0,I,1,、,I,2,、,I,3,为应变张量不变量。,其中,:,(1.47),(1.48),平均正应变,:,1.3,应变张量,偏量应变张量,:,(1.52),e,ij,的主轴方向与,e,ij,的主方向一致，主值为,:,e,1,=,e,1,-,e,，,e,2,=,e,2,-,e ，,e,3,=,e,3,-,e,满足三次代数方程式：,(1.50),(1.51),I,2,应用较广,又可表达为,:,1.3,应变张量,等效应变,(,应变强度,):,(1.54),等效剪应变,(,剪应变强度,):,(1.55),1.4,应变速率张量,一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以,u,、,v,、,w,表示质点的位移分量，则,:,设,应变速率分量,为,:,质点的运动速度分量,1.4,应变速率张量,线应变速率,在,小变形情况,下，,应变速率分量,与,应变分量,之间存在有简单关系,:,剪应变速率,1.4,应变速率张量,在,小变形情况,下的,应变速率张量,:,(1.56),可缩写为,在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。,1.4,应变速率张量,应变增量,:,应变增量,由位移增量微分得：,由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此,dt,可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而,用应变增量张量来代替应变率张量,更能表示不受时间参数选择的特点。,(1.57),应变微分,由两时刻应变差得：,泰勒级数展开,高阶微量,忽略高阶微量,1.5,应力和应变的,Lode,参数,一,、,应力莫尔圆,（表示一点应力状态的图形）,:,任一斜面上应力位于阴影线内,m,s,=,Q,2,A,/,Q,1,A,=(,Q,2,Q,3,-,Q,1,Q,2,)/,Q,1,Q,3,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在,-,平面内绘出相应的应力圆。,1.5,应力和应变的,Lode,参数,一,、,应力莫尔圆,（表示一点应力状态的图形）,:,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,(1.61),1.5,应力和应变的,Lode,参数,一,、,应力莫尔圆,（表示一点应力状态的图形）,:,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,(1.63),式,(1.63),表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量,、,一定落在分别以,(,1,-,2,),2,、,(,2,-,3,),2,、,(,3,- ,1,),2,为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积,(,包括三个圆周,),之内。,1.5,应力和应变的,Lode,参数,若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态,(,各向等拉或各向等压,),，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。,应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小,(,直径,),则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。,一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大,(,应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变,),，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。,1.5,应力和应变的,Lode,参数,二、,应力,Lode,参数,:,几何意义,:,应力圆上,Q,2,A,与,Q,1,A,之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。,球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数,Lode,参数,：,Lode,参数：表征,Q,2,在,Q,1,与,Q,3,之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,(1.64),1.5,应力和应变的,Lode,参数,应力,Lode,参数的,物理意义,：,1,、与,平均应力无关；,2,、其,值确定了应力圆的三个直径之比；,3,、,如果两个应力状态的,Lode,参数相等，就说明两个应力状态 对应的应力圆是相似的，即,偏量应力张量的形式相同,；,Lode,参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。,(1.65),1.5,应力和应变的,Lode,参数,简单应力状态的,Lode,参数：,Q,3,O,Q,1,Q,2,s,t,A,Q,1,O,Q,2,Q,3,s,t,A,单向压缩(,s,1,=,s,2,=0,s,3,0,s,2,=,s,3,=0),m,s,=1,m,s,=,-,1,1.5,应力和应变的,Lode,参数,简单应力状态的,Lode,参数：,Q,2,O,Q,1,Q,3,s,t,纯剪(,s,1,0,s,2,=0,s,3,=,-,s,1,):,m,s,=0,1.5,应力和应变的,Lode,参数,为表征偏量应变张量的形式，引入,应变,Lode,参数,：,三、,应变,Lode,参数,:,如果两种应变状态的,m,e,相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。,几何意义：应变莫尔圆上,Q,2,A,与,Q,1,A,之比,(1.66),1.6,弹性力学的基本方程,应力分量满足平衡方程：,一、平衡方程,(1.67),1.6,弹性力学的基本方程,弹性体的应力,-,应变关系服从虎克定律,二、物理方程,(1.72),1.6,弹性力学的基本方程,x,对,y,， ,y,对,x,求两次偏导，有：,三、应变协调方程,保证物体在变形后不会出现,撕裂,，,套叠,的现象,1.6,弹性力学的基本方程,类似可得三维问题的,应变协调方程,：,(1.82),1.6,弹性力学的基本方程,例题：,设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。,解：,如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程。根据给定的应变分量，式,(1.82),中的五个式子均恒满足、余下必须满足的应变协调方程为,:,代入给定的应变分量有,:,比较两边对应项系数有,:,所以解为：,