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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,XYZ123,5.2,二,元函数的偏导数与全微分,一、,偏导数,二、高阶偏导数,三、全微分,四、全微分在近似计算中的应用,5.2,二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数,1,、,偏导数的定义,5.2,二元函数的偏导数与全微分,5.2,二元函数的偏导数与全微分,5.2,二元函数的偏导数与全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,5.2,二元函数的偏导数与全微分,例,1,求,解法,1,解法,2,在点,(,1 , 2,),处的偏导数,.,5.2,二元函数的偏导数与全微分,例,2,设,证,例,3,求,的偏导数,.,解,求证,:,5.2,二元函数的偏导数与全微分,偏导数记号是一个,例,4,已知理想气体的状态方程,求证,:,证,说明,:,(,R,为常数,) ,不能看作,分子与分母的商,!,此例表明,整体记号,5.2,二元函数的偏导数与全微分,2,.,偏导数的几何意义,如图,5.2,二元函数的偏导数与全微分,（,1,）,几何意义,:,5.2,二元函数的偏导数与全微分,（,2,）偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续,.,偏导数存在 连续,.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,则称它们是,z = f,(,x , y,),5.2,二元函数的偏导数与全微分,二、高阶偏导数,设,z = f,(,x , y,),在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数,:,5.2,二元函数的偏导数与全微分,类似可以定义更高阶的偏导数,.,例如，,z = f,(,x , y,),关于,x,的三阶偏导数为,z = f,(,x , y,),关于,x,的,n,1,阶偏导数,再关于,y,的一阶,偏导数为,第二、三个偏导数称为,混合偏导数,.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,.,5.2,二元函数的偏导数与全微分,解,5.2,二元函数的偏导数与全微分,例,6,求函数,解,注意,:,此处,但这一结论并不总成立,.,的二阶偏导数及,5.2,二元函数的偏导数与全微分,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,问题,例如,对三元函数,u = f,(,x , y , z,) ,当三阶混合偏导数,在点,(,x , y , z,),连续时,有,5.2,二元函数的偏导数与全微分,证,5.2,二元函数的偏导数与全微分,例,8,证明函数,满足,证,利用对称性,有,方程,5.2,二元函数的偏导数与全微分,三、全微分,全增量,5.2,二元函数的偏导数与全微分,定义,2,如果函数,z = f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,有关，,称为函数,在点,(,x,y,),的,全微分,记作,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,，,的全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,5.2,二元函数的偏导数与全微分,证,“,可微”与“连续”的关系？,5.2,二元函数的偏导数与全微分,“,可微”与“偏导数存在”的关系？,5.2,二元函数的偏导数与全微分,同样可证,证,由全增量公式,得到对,x,的偏增量,因此有,5.2,二元函数的偏导数与全微分,反例,:,函数,易知,但,注,:,定理,3,的逆定理不成立,.,偏导数存在函数,不一定可微,!,因此,函数在点 不可微,.,5.2,二元函数的偏导数与全微分,定理,4,(,可微的充分条件,),若函数,的偏导数,则函数,在点,连续，,在该点,可微,.,且,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,.,例如,三元函数,的全微分为：,5.2,二元函数的偏导数与全微分,例,9,计算函数,在点,(2,1),处的全微分,.,解,例,10,计算函数,的全微分,.,解,5.2,二元函数的偏导数与全微分,可知当,*,四、全微分在数值计算中的应用,近似计算,:,由全微分定义,较小时,及,有近似等式,:,(,可用于近似计算,;,误差分析,),(,可用于近似计算,),5.2,二元函数的偏导数与全微分,例,11,计算,的近似值,.,解,设,则,取,则,5.2,二元函数的偏导数与全微分,半径由,20cm,增大,解,已知,即受压后圆柱体体积减少了,例,12,有一圆柱体受压后发生形变,到,20.05cm,则,高度由,100cm,减少到,99cm,体积的近似改变量,.,求此圆柱体,5.2,二元函数的偏导数与全微分,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,内容小结,5.2,二元函数的偏导数与全微分,思考练习,则（ ）,(,A,),(,C,),(,B,),曲面 在点,的法向量,为,曲线 在点,的切向量,为,设函数,在点 附近有定义，且,5.2,二元函数的偏导数与全微分,思考练习,(,D,),曲线 在点,的切向量,为,答案（,C,）,5.1,多元函数的概念,思考练习,设函数,证明 在点,0,0),处的一阶偏导数存在，但在该,点不连续,.,5.1,多元函数的概念,内容小,思考练习,证,又由例,6,知，该函数在 点极限不存在，故在该点不连续。,
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