微积分自考复习资料

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,Ordinary differential equation,王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编,电子课件,常微分方程,Ordinary differential equation,第一章,绪 论,第二章,一阶微分方程的初等积分法,第三章,一阶微分方程的解的存在定理,第四章,高阶微分方程,第五章,线性微分方程组,第六章,定性理论初步,1,2,第七章,一阶线性偏微分方程,课程目的,/Major Subjection of Course/,学习各类可求解的常微分方程和方程组的类型及其求解方法。,熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等内容，了解研究常微分方程的基本方法，如稳定性分析、定性分析等。,参考书目,/Reference Books/,叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。,王柔怀，伍卓群，常微分方程讲义，人民教育出版社。,第一章 绪 论,Introduction,微分方程概述,/Sketch of ODE/,基本概念,/Basic Conception/,练习题,/Exercise/,本章要求,/Requirements/,能快速判断微分方程的类型；,掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；,理解微分方程解的意义。,CH.1 Introduction,微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。,1676,年，莱布尼兹在给,Newton,（牛顿）的信中首次提到,Differential Equations,（微分方程）这个名词。,微分方程研究领域的代表人物：,Bernoulli,、,Cauchy,、,Euler,、,Taylor,、,Leibniz,、,Poincare,、,Liyapunov,等。,微分方程理论发展经历了,三个过程,：求微分方程的解；,定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。,1.1,微分方程概述,/,Sketch of ODE/,1.1 Sketch of ODE,含有未知量,(,数,),的等式,(,或关系式,),。例如,:,1,代数方程,(,组,),，其未知量为数,一元,n,次代数方程：,无理方程：,方程组：,2,超越方程（组）,，其含有超越函数,三角方程：,指数方程：,其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）,方程,/Equation/,1.1 Sketch of ODE,例,3,函数方程（或泛函方程）,，其未知量为函数,其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。,定义,：,一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某,些阶导数（或微商）的关系式，称之为,微分方程,。,1.1 Sketch of ODE,n,阶隐式方程,n,阶显式方程,方程组,偏微分方程,偏微分方程,不是微分方程,1.1 Sketch of ODE,1.2,基本概念,/Basic Conception/,1.,常微分方程和偏微分方程,2.,一阶与高阶微分方程,3.,线性和非线性微分方程,4.,解和隐式解,5.,通解和特解,6.,积分曲线和积分曲线族,7.,微分方程的几何解释,-,方向场,常微分方程与偏微分方程,/ODE and PDE/,常微分方程,/ODE /,在微分方程中，,自变量,的个数只有,一个,的微分方程,称为,常微分方程,。,偏微分方程,/ PDE/,自变量,的个数有,两个或两个以上,的微分方程称为,偏,微分方程,。,1.2,Basic Conception,一阶与高阶微分方程,/First and Higher ODE/,微分方程的,阶,/Order/,在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最,高阶数,n,称为该方程的,阶,。,当,n=1,时，称为,一阶微分方程,；,当,n1,时，称为,高阶微分方程,。,例如,1.2,Basic Conception,一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：,一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：,类似的，,n,阶隐方程的一般形式可表示为：,n,阶显方程的一般形式为,其中,F,及,f,分别是它所依赖的变元的已知函数。,1.2,Basic Conception,线性和非线性微分方程,/Linear and Nonlinear ODE/,如果方程,的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为,线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。,例如：,1.2,Basic Conception,n,阶线性微分方程的一般形式为：,其中,均为 的已知函数,如：,2,阶线性方程的一般形式,1.2,Basic Conception,解和隐式,/Solution/,对于方程,若将函数,代入方程后使其有意义且两端成立,即,则称函数 为该方程的一个,解,.,或,一阶微分方程,有解,即关系式,若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程,的,隐式解,。把方程解和隐式解统称为,方程的解,。,包含了方程的解，,1.2,Basic Conception,通解和特解,/General Solution and Special Solution/,常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常,数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程,的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的,通解,。,常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的,特解,。,例：二阶方程,其通解,而,是方程满足初始条件,解。,1.2,Basic Conception,积分曲线和积分曲线族,/Integral Curve(s)/,一阶微分方程,的解,平面的一条,曲线，我们称它为微分方程的,积分曲线,，而微分方程的通解,表示,表示,平面的一族曲线，称它们为微分方程,的,积分曲线族。,1.2,Basic Conception,