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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章 基于遗传算法的随机优化搜索,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,为什么需要模糊,(Fuzzy),1.,无法描述日常事物,日常生活中存在很多事物不存在精确的分类标准，对该事物是否属于某一类很难做出明确肯定的断言。,例：高低、冷热、快慢、年轻人、中年人、老年人,2.,容易引起逻辑悖论,传统的数学方法都是精确方法，是基于传统的二值逻辑，即,非此即彼。但把经典的二值逻辑用于处理,Fuzzy,概念和,Fuzzy,命题时，将会在理论上导致,逻辑悖论,。,例：秃头悖论，沙堆悖论,1,为什么需要模糊,(Fuzzy),3.,大师的话,爱因斯坦：“,So far as the laws of mathematics refer to reality,they are not certain,And so far as they are ceitain, they do not refer to reality.”,关于现实的数学定理是不确定的，而确定的数学定理并不能描述现实。,不相容原理：,(L.A.Zadeh 1975,提出,),“,当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减低，在达到一定的阈值时，复杂性和精确性将相互排斥。”,2,模糊,(Fuzzy),是随机吗？,模糊性也是一种不确定性，但不同于随机性，模糊理论不同于概率论。,模糊性指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性，主要是人为的主观理解上的不确定性。,随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。,3,模糊集合,处理某一问题时对有关议题的,限制范围,称为该问题的论域。,1,、论域,2,、集合,在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。,3,、特征函数,设,A,是论域,U,上的一个集合，对任何,uU,，令,则称,C,A,(u),为集合,A,的特征函数。显然有：,A= u | C,A,(u) =1 ,4,模糊集合,例,1,、设有论域：,U= 1,2,3,4,5 ,，,A= 1,3,5 ,，求其特征函数。,其特征函数为：,4,、隶属函数,设,U,是论域，,A,是将任何,uU,映射为,0,，,1,上某个值的函数，即：,A,：,U0,，,1,u ,A,(u),则称,A,为定义在,U,上的一个,隶属函数,5,模糊集合,5,、模糊集,设,A= ,A,(u) | uU ,则称,A,为论域,U,上的一个,模糊集,。,当隶属函数只取,0,1,时，隶属函数就是特征函数。,A,(u),称为,u,对模糊集,A,的,隶属度,。,例,2,、设,A,表示远大于,0,的实数集合，则它的隶属度函数可以用下式来定义,计算,5,10,20,为属于集合,A,的隶属度。,6,模糊集合,表示,5,属于远大于零的程度为,0.2,，也就意味,5,算不上是远大于,0,的数。,20,属于大于零的程度为,0.8,，可以认为是远大于,0,的数,解：,7,模糊集的表示方法,模糊集合可以有以下两种表示方法：,1.,扎德（,Zadeh,）表示法,(1),当论域,U,为离散集合时，一个模糊集可以表示为：,(2),当论域,U,为连续集合时，一个模糊集可以表示为：,注：此处的积分和求和符号都不代表实际运算，只是一种表示方法而已。,8,模糊集的表示方法,2.,序对表示法,模糊集中的每个元素都可以表示成,（元素、隶属度）,这样一个序对，基于这种思想，模糊集可表示如下：,例,3,设论域,U = u,1,(140), u,2,(150), u,3,(160), u,4,(170), u,5,(180), u,6,(190)(,单位：,cm),表示人的身高，那么,U,上的一个模糊集“高个子”,(A),的隶属度,A,(u),为：,0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1,使用扎德表示法和序对表示法表示这个模糊集,9,模糊集的表示方法,解：,1.,扎德表示法,由于集合是离散集合，因此使用第一种形式表示,2.,序对表示法,10,模糊集的表示方法,例,4,设定模糊集合“优秀”为,A,，隶属函数,A,(u),为：,使用扎德表示法和序对表示法表示该模糊集,A,此论域是连续的，所以：,解：,1.,使用扎德表示法,11,模糊集的表示方法,2.,使用序对表示法,12,模糊集的运算,1.,相等,设有两个模糊集合,A,和,B,，,A=B,当且仅当它们的隶属函数在论域,U,上恒等，即,2.,包含,A,包含于,B,（,B,包含,A,）当且仅当对于论域,U,上,记作：,记作：,13,模糊集的运算,3.,并,并（,A,B,）的隶属度函数,A,B,是对,A,、,B,上所有,u,U,的隶属函数逐点取大运算，即,4.,交,为取大运算，即取,A,和,B,的较大值,交（,A,B,）的隶属度函数,A,B,是对,A,、,B,上所有,u,U,的隶属函数逐点取小运算，即,为取小运算，即取,A,和,B,的较小值,14,模糊集的运算,5.,补,模糊集合,A,的不隶属函数 ，对所有的,u,U,，被逐点定义为,例,5,设论域,u=u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,中的两个模糊子集为：,计算,A,B,，,A,B,，,A,，,B,-,-,15,模糊集的运算,16,模糊集的运算,模糊集运算的基本定律：,设,U,为论域，,A,、,B,、,C,为,U,中的任意模糊子集，则下列等式成立：,1.,幂等率,2.,结合率,3.,交换率,4.,分配率,5.,同一率,6.,零一率,7.,吸收率,8.,摩根率,9.,双重否定率,17,模糊集的截集,1.,水平截集,设,0, 1,且,A,=,u | uU,A,(u),，则称,A,为,A,的一个,水平截集,，,称为阈值或,置信水平,。,若,A,=,u | uU,A,(u),，则称,A,为,A,的一个,强截集,性质,(1),设,A,B,均为模糊集合，则有：,(2),若,1,，,2,0, 1,且,1,0,则称,Ker A,为模糊集,A,的,核,，,Supp A,为模糊集,A,的,支集,。,若,KerA,，则称,A,为,正规模糊集,。,19,模糊集的截集,20,模糊集的截集,例,6,设有模糊集：,A=0.3/u,1,+0.7/u,2,+1/u,3,+0.6/u,4,+0.5/u,5,且,分别为,1,，,0.6,，,0.5,，,0.3,分别求其相应的,水平截集、核及支集。,解：,1.,水平截集,2.,核、支集,21,模糊关系,1.,关系的定义,关系是客观世界存在的普遍现象。如父子关系、大小关系、属于关系、二元关系、多元关系、多边关系等等,直积（笛卡尔积）,体现了两个集合之间的关系。在普通集合中，设论域,U,和,V,，从,U,到,V,的一个关系定义为直积,UV,的一个子集,R,，记作：,例,7,设有集合,A=1,2,5,，,B=3,2,，求,A,、,B,的二元关系,R,解：,22,模糊关系,此处的关系,R,同样为二元关系。,隶属函数,表示形式为：,其隶属函数的映射：,元素,(u,0,v,0,),的隶属度为,R,(u,0,v,0,),，表示,u,0,和,v,0,具有关系,R,的程度,2.,模糊关系,设论域,U,和,V,，则,UV,的一个子集,R,，就是,U,到,V,的模糊关系，同样记作：,23,模糊关系,例,8,设有三种物品：苹果、乒乓球，书，分别用,x,1,x,2,x,3,来表示，现在用两两相似程度来表示它们之间的模糊关系，且相似度如下表，试用扎德表示法表示模糊集合,R,R,苹果,乒乓球,书,苹果,1.0,0.7,0,乒乓球,0.7,1.0,0,书,0,0,1.0,解：,24,模糊关系,当论域,U,、,V,是有限集时，模糊关系,R,常常采用矩阵来表示，此时它又称为,模糊关系矩阵,上题利用矩阵可表示成：,若存在两个模糊集合,A,，,B,，两个模糊集合的关系,R,可用下式进行计算：,模糊关系的计算,25,模糊关系,例,9,设论域,U=1,2,3;V=1,2,，模糊集,A,、,B,分别为：,求模糊集,A,，,B,的关系,R,矩阵表示为：,26,关系的合成,设,R,1,是论域,U,和,V,的模糊关系，,R,2,是论域,V,和,W,的模糊关系，那么,R,1,和,R,2,的,合成,是,U,到,W,的一个模糊关系，记作,R,1,R,2,，其隶属度函数为,关系的合成实质表达的是一种关系的,传递,（推理）。,例,10,某家中子女与父母的长相相似关系,R,为模糊关系：,R,父,母,子,0.2,0.8,女,0.6,0.1,用模糊矩阵,R,来表示为,27,关系的合成,该家中父母与祖父母的相似关系,S,也是模糊关系，可表示为,S,祖父,祖母,父,0.5,0.7,母,0.1,0,用模糊矩阵,S,来表示为,那么家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度如何？,P,祖父,祖母,孙子,0.2,0.2,孙女,0.5,0.6,28,模糊推理,经典逻辑推理,-,三段论,人都会死,苏格拉底是人,苏格拉底会死,前提,1,：如果,x,是,A,则,y,是,B,前提,2,：如果,x,是,A,结论：,y,是,B,模糊推理,前提,1,：如果,x,是,A,则,y,是,B,前提,2,：如果,x,是,A,结论：,y,是,B,如果西红柿是红色的，西红柿是成熟的,颜色较红,西红柿较成熟,由于规则是模糊的，所以推理结论也是模糊的。模糊结论使用模糊度来表示。（如“成熟”的模糊度）,29,模糊推理,模糊推理的计算（模糊度的计算）,如何计算模糊规则 的模糊度,?,(1),扎德法,使用如下公式计算：,(2) Mamdani,法,计算较为简单，使用广泛,30,模糊推理,例,11,某单位的效益好，人员的奖金高。假设“好”的模糊集合为,A,，“奖金高”的模糊集合为,B,，计算当效益“较好”时，人员奖金情况。“较好”的模糊集合为,A,解：需要首先计算模糊规则的模糊度,31,模糊推理,模糊规则采用,Mamdani,方法,32,模糊推理,计算奖金情况：,奖金的模糊集为：,可以看出，当效益“较好”时，,4000,元的奖金具有最大隶属度。符合奖金效益“较好”，则奖金“较好”的常识。,33,
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