工科数学分析全微分课件

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二、全微分在数值计算中的应用,一元函数,y = f,(,x,),的微分,近似计算,估计误差,本节内容,:,一,、全微分的定义,1,一,、全微分的定义,定义,:,如果函数,z = f,(,x,y,),在定义域,D,的内点,(,x,y,),可表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,有关，,称为函数,在点,(,x,y,),的,全微分,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,),在点,(,x,y,),可微,，,处,全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,记作,2,(2),偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系,:,(1),函数可微,函数,z = f,(,x, y,),在点,(,x, y,),可微,由微分定义,:,得,函数在该点,连续,偏导数存在,函数可微,即,3,定理,1,(,必要条件,),若函数,z = f,(,x,y,),在点,(,x, y,),可微,则该函数在该点,偏导数,同样可证,证,:,由全增量公式,必,存在,且有,得到对,x,的偏增量,因此有,4,反例,:,函数,易知,但,因此,函数在点,(0,0),不可微,.,注意,:,定理,1,的逆定理不成立,.,偏导数存在函数 不一定可微,!,即,:,5,定理,2,(,充分条件,),证,：,若函数,的,偏导数,则函数在该点,可微分,.,6,所以函数,在点,可微,.,注意到,故有,7,推广,:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题,.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为,于是,8,例,1.,计算函数,在点,(2,1),处的全微分,.,解,:,例,2.,计算函数,的全微分,.,解,:,9,可知当,二、全微分在数值计算中的应用,1.,近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式,:,(,可用于近似计算,;,误差分析,),(,可用于近似计算,),10,例,3.,计算,的近似值,.,解,:,设,则,取,则,11,内容小结,1.,微分定义,:,2.,重要关系,:,偏导存在,函数可微,偏导数连续,函数连续,12,3.,微分应用,近似计算,13,思考与练习,函数,在,可微的充分条件是,( ),的某邻域内存在,;,时是无穷小量,;,时是无穷小量,.,1.,选择题,14,2.,设,解,:,利用轮换对称性,可得,注意,:,x,y,z,具有,轮换对称性,15,在点,(0,0),可微,.,在点,(0,0),连续且偏导数存在,续,证,:,1),因,故函数在点,(0, 0),连续,;,但偏导数在点,(0,0),不连,3.,证明函数,所以,16,同理,极限不存在,在点,(0,0),不连续,;,同理,在点,(0,0),也不连续,.,2),3),17,4),下面证明,可微,:,说明,:,此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件,.,令,则,18,