命题的等价性及反证法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,等价关系与反证法,P18P19,1,例题：把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题， 否命题， 逆否命题。,（1）. 负数的平方是正数,“若p则q”的形式是_,逆命题是_,否命题是_,逆否命题_,若一个数是负数,则它的平方是正数.,若一个数的平方是正数,则它是负数,.,若一个数不是负数,则它的平方不是正数.,若一个数平方不是正数,则它不是负数.,2,原命题 逆命题,否命题 逆否命题,若p则q,互 逆,互 逆,互否,互否,互为 逆否,四种命题之间的相互关系,若 p则 q,若 q则 p,若q则p,3,练习二：选择题,1.命题“两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。”是命题“平行四边形的两条对角线相等。”的（ ）,A.,逆命题,B.,逆否命题,C.,否命题,D.,非四种命题关系,2.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则命题p的逆命题t与s的关系是（ ）,A.,互为逆命题,B.,互为否命题,C.,互为逆否命题,D.,同一个命题,B,B,4,2）原命题：若a=0, 则ab=0。,逆命题：若ab=0, 则a=0。,否命题：若a 0, 则ab0。,逆否命题：若ab0,则a0。,(真),(假),(假),(真),(真),2.四种命题的真假,看下面的例子：,1）原命题：若x=2或x=3, 则x,2,-5x+6=0。,逆命题：若x,2,-5x+6=0, 则x=2或x=3。,否命题：若x2且x3, 则x,2,-5x+60 。,逆否命题：若x,2,-5x+60，则x2且x3。,(真),(真),(真),3) 原命题：若a b, 则 ac,2,bc,2,。,逆命题：若ac,2,bc,2,则ab。,否命题：若ab,则ac,2,bc,2,。,逆否命题：若ac,2,bc,2,则ab。,（假）,（真）,（真）,（假）,5,想一想？,（2）,若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。,由以上三例及总结我们能发现什么？,即,(1),原命题与逆否命题同真假。,原命题的逆命题与否命题同真假。,（1）,原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否,命题不一定为真。,总结：,(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).,6,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,真,真,真,真,真,假,假,真,假,真,真,假,假,假,假,假,一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:,7,练一练,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。,答：0个、2个、4个。,如：原命题：若AB=A, 则AB=。,逆命题：若AB=，则AB=A。,否命题：若ABA，则AB。,逆否命题：若AB，则ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,8,例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。,分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的,否定为“或” “且”。,解：逆命题：若m+n0，则m0或n0。,否命题：若m0且n0, 则m+n0.,逆否命题：若m+n0, 则m0且n0.,（真）,（真）,（假）,小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的,真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命,题真假等价。,9,引例,：,已知BD、CE分别是,ABC的,B、C,的角平分线，BDAC.,求证：ABAC.,10,证明：一个三角形中不能有,两个角是直角,已知：,A、B、C,是,ABC的三个内角,求证：,A,、,B,、,C,中不能,有两个角是直角,11,反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假,设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假设不正确，,从而肯定命题的结论正确。,反设,归谬,结论,12,反,证,法,证： 假设,若_时,则_,x,2,+y,2,0,与,x,2,+y,2,=,0,矛盾,若_时,则_,x,2,+y,2,0,与,x,2,+y,2,=,0,矛盾,所以假设不成立,从而_成立。,x、y,至少有一个不为0,x,0,x,2, 0,例 证明：若,x,2,+y,2,=,0, 则,y,0,y,2, 0,x,=y=0。,x,=y=0。,13,反证法证明,证： 假设_或_,由于_时,_,与,(,x-a,)(,x-b,)0,矛盾,又_时,_,与,(,x-a,)(,x-b,)0,矛盾,所以假设不成立,从而_。,x,=,a,x=b,x,=,a,(,x-a,)(,x-b,)=0,x=b,(,x-a,)(,x-b,)=0,x,a,且,x,b,用反证法证明,若(,x-a,)(,x-b,)0,则,x,a,且,x,b,.,14,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知,：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.,求证：,弦AB、CD不被P平分.,P,O,B,A,D,C,例 1,由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有,OPAB，OPCD，,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。,15,D,P,O,B,A,C,假设弦,AB,、,CD,被,P,点平分,证明:,连结,AD、BD、BC、AC,因为弦,AB、CD,被,P,点平分，所以四边形,ABCD,是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线,AB、CD,必是,O,的直径，这与已知条件矛盾。,证法二,所以结论“弦,AB、CD,不被,P,点平分”成立。,16,例 2,证明:,17,用反证法证明,:,若方程,ax,2,+,bx+c=,0 (,a,0),有两个不相等的实数根,则,b,2,-4,ac,0.,2. 用反证法证明:在ABC中,若C是 直角,则B一定是锐角.,演练反馈,18,总结提炼,1,.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设,归谬,结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,19,小结：,（1）四种命题的关系,（2）四种命题的真假关系,（3）渗透思想方法：,20,