一维势阱和势垒问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,薛定谔方程的简单应用,找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；,根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解,求出薛定谔方程的通解即波函数,根据波函数应满足的归一化条件写出波函数,对量子力学处理的结果进行分析,1,16-3,一维势阱和势垒问题,2,1.一维无限深势阱,3,4,粒子在,势阱内受力为零，势能为零,。在阱内自由运动。在,阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。,一维无限深方势阱是,金属中自由电子,的简化模型,5,一维无限深方势阱的数学表达形式,：,一维无限深方势阱的图形表达形式,：,0,a,U,(,x,),x,粒子只能在宽为,a,的两个无限高势壁间运动，,这种势称为,一维无限深方势阱,。,6,因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。,定态薛定谔方程,列出各区域的定态薛定谔方程,7,势阱内,0 ,x, 0，令,定态薛定谔方程变为,此薛定谔方程的解为,式中,A,和,是待定常数，由边界条件和归一化条件确定。,9,从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。,考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即,边界条件,波函数改写为：,讨论一：,n,不等于零,10,此时波函数没有物理意义，故舍去。,讨论二：,n,不取负数,此时波函数与,n,取正数时代表相同的概率分布，即无法给出新的波函数，故舍去。,11,这说明：并非任何,E,值所对应的波函数都能满足一维无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的值,E,n,（,体系的能量本征值,）,时，相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中,体系的能量是量子化的,，亦即,体系的能谱是分立的,。,与能量本征值,E,n,相对应的本征波函数,n,(,x,),为：,12,利用归一化条件,取,A,为正实数,波函数：,13,讨论：, 粒子的能量,粒子的最低能量状态称为,基态,，则一维无限深方势阱的基态能量为：,零点能,与,零点能,相对应的，应存在,零点运动,。这与经典粒子的运动是相矛盾的。,零点能是微观粒子波动性的表现,，因为“静止的波”是没有意义的。,14,（1）一维无限深势阱的粒子波函数, 图形,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,基态的波函数,(,n,=1),无节点，,第一激发态,(,n,=2),有一个节点，,第,k,激发态,(,n,=,k,+1)有,k,个节点。,除端点外,，,15,（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分布,16,时,量子,经典,a,|,2,n,|,n,很大,E,n,0,17,一维无限深势阱,18,例1,:,证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有,正交性,：,即不同能级的波函数是互相正交的。,解:,波函数 取其复共轭 相乘并积分，得,19,属于不同能级的波函数是正交的,。,把波函数的正交性和归一性表示在一起，,克罗内克符号,20,二、势垒穿透和隧道效应,有限高的方形势垒,数学形式：,图形形式：,考虑粒子的动能,E,小于势垒高度,U,0,的情况。（,E,U,0,）,21,粒子在,x, a,的区域。,这种势能分布称为,一维势垒,。,在量子力学中，情况又如果呢？,为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：,O,III,I,II,在各个区域的波函数分别表示为,1,、,2,、,3,。,22,O,III,I,II,令：,三个区间的薛定谔方程简化为：,23,方程的通解为：,三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波。,1,右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。,2,右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。,3,右边的第一项表示穿出势垒的透射波，,3,的,第二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波(B,3,=0)。,24,定义,反射系数,：,粒子被势垒反射的概率,被势垒反射的粒子数,/,入射到势垒上的粒子数,定义,透射系数,：,粒子穿过势垒的概率,穿过势垒的粒子数,/,入射到势垒上的粒子数,概率守恒,25,反射系数,R,和透射系数,T,的具体值，需要根据波函数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数在全空间连续）来确定。,利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：,26,求出解的形式画于图中。,I,II,III,讨论：,（1）EU,0,按照经典力学观点,在EU,0,情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。,而在微观粒子的情形，却会发生反射。,27,I,II,III,（2）Ea,区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入xa区域。,粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为,隧道效应,。,28,经典,量子,隧道,效应,29,当 时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。,结果表明：,势垒高度U,0,越低、势垒宽a度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。,如果a或,为宏观大小时， ，粒子实际上将不能穿过势垒。,30,隧道效应和扫描隧道显微镜STM,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于,表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，,而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。,只要将原子线度的极细探针,以及被研究物质的表面作为,两个电极，当样品与针尖的,距离非常接近时，它们的表,面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖之间,加一微小电压U,b,电子,就会穿过电极间的势,垒形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。,若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品,方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。,Scanning tunneling microscopy,31,因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。,若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可,得到表面态密度的分布；,使人类第一次能够实时地观,测到单个原子在物质表面上,的排列状态以及与表面电子,行为有关的性质。在表面科,学、材料科学和生命科学等,领域中有着重大的意义和广,阔的应用前景。,空气隙,STM工作示意图,样品,探针,利用STM可以分辨表面上,原子的台阶、平台和原子,阵列。可以直接绘出表面,的三维图象,32,与其它表面分析技术相比，,STM,所具有的,独特优点,是：,1.,具有原子级高分辨率,。STM在平行和垂直于样品表面方向的分辨率分别可达,0.1nm,和,0.01nm,，即可分辨出单个原子。,33,2. 可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整个表面的平均性质。,34,3. 利用STM针尖，可以对原子和分子进行操纵。,35,照片是扫描隧道显微镜下的48个原子在铁的表面排列成直径为14.3nm的圆圈构成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波,36,