2010年数学建模讲座

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学模型与数学建模竞赛,1,数学模型与数学建模竞赛,数学模型,及其分类,数学建模的方法和步骤,数学建模的重要意义,数学建模教学与数学建模竞赛,历届赛题及数学建模方法回顾,2,数学模型 (Mathematical Model) 和,数学建模（Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学结构,。,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,3,问题,计算(预测)某地域,某种生物的数量,生物种群的数量,指数增长模型马尔萨斯提出 (,1798,),模型假设,生物群体的总数原来是整数，因此是离散量，,但当群体较大时，不妨用一个连续量 来表示，,即 是,t,时刻该生物种群的数量，并假设其连续可微,该群体的自然增长率（出生率与死亡率之差）为常数,r,4,模型建立和求解,考察时段 该种群数量由自然增长引起的变化，应有,两边同除,并令,5,模型建立和求解,若在初始时刻生物总数为,应用分离变量法可得,随着时间增加，种群数量按指数规律无限增长,6,模型检验和评价,观察一片土地上田鼠的数量，开始时为2只，2个月后为5只，6个月后为20只，10个月后增加到109只，设田鼠的自然增长率为0.4，那么田鼠数量满足,月数,0,2,6,10,观察数,2,5,20,109,计算数,2,4.5,22.0,109.2,7,模型改进:阻滞增长模型(,Logistic,模型),种群增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对生物种群增长的阻滞作用,且阻滞作用随种群数量增加而变大,假设,r,固有增长率(,N,很小时),N,m,种群容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,N,的减函数,改进模型,8,求解得,模型检验,草履虫实验:将5个草履虫放在盛有0.5ml营养液的小试管中，,连续6天观察草履虫的个数，发现开始时草履虫的增长率为,239.9%，后来增长逐渐缓慢，第4天草履虫的数量达到最,高水平375个。若用自限模型，时刻t草履虫个数为,上述公式计算的结果和观察值的吻合程度相当令人满意,9,数学模型的分类,应用领域,物理、人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,10,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的,统计分析，找出与数据拟合最好的模型,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,2.,数学建模的方法和步骤,类比仿真（模拟）,是以类比为逻辑基础，用计算机模仿实际系统的运行,过程，在整个运行时间内，对系统状态的变化进行观,察和统计，从而得到系统基本性能的估计和认识. 一,般不能得到解析的结果.,11,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,12,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,13,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,14,1观察、分析实际问题, 作出合理的假设;,2涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适的(解析或近似)解法;,3如何验证模型求解的结果是合理、正确的.,数学建模三难点,15,3.研究,数学模模的重要意义,数学模型有悠久的历史,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学模型在其他科学中的应用,物理和力学 化学和生物,生物医学 经济和社会,16,数学建模在国民经济中具体应用,产品的设计和制造,质量控制,控制与优化,预测与管理,资源和环境,其他,17,数学模型和数学技术,高新技术的新特征之一,数学不仅是科学而且是技术,数学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术,高技术本质上是一种数学技术,18,数学建模教学与数学建模竞赛,开设数学建模课程,科学技术发展的需要,培养高质量、高层次科技人才的需要,教育改革的需要,发现和总结建立数学模型的规律和方法,上世纪七十年代，国外开设数学建模课程,二十世纪八、九十年代我国各高校相继开设数学 建模课程,1985年，美国大学生数学建模竞赛（UCMCM）开始举行，每年一次，2月份,1992年，我国大学生数学建模竞赛开始举行（CUMCM），每年一次，9月,19,竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。,竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。,评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。,竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,全国大学生数学建模竞赛,20,运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力,面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力,关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风,团结合作精神和进行协调的组织能力,勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志,查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力,数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质,21,每年四道题,大学本科,:A,B,题,任选一题,;,专科高职,:C,D,题,任选一题,),A,C,为连续型题目;,B,D,为离散型题目,优秀论文登在,(,2001,年起,),(,2001,年前,),来年第,1,期上,22,数学建模竞赛的准备（培训）内容,1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）,2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。,只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。,23,3）数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，如 MATLAB ,MATHEMATICA, LINDO,LINGO,SAS,等。,4）历届赛题的研讨。,5）撰写数学建模论文的练习。,数学建模竞赛准备的（培训）内容,24,历届赛题及数学建模方法回顾,优化方法一般函数优化用微积分的方法解决（小规模）；规划问题使用软件求解（包括线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、整数优化、组合优化（离散优化、网络优化）；,数据处理方法曲线拟合，数据回归分析，插值；,概率统计方法期望分析，排队论，回归分析，模式识别，判别分析；,微分方程方法稳定性分析，预测；,图论方法最短路问题，最大流问题，最小生成树；,计算机技术图像处理，随机模拟，各种算法实现，神经网络方法；,离散方法层次分析法，决策分析，对策论；,模糊数学模糊聚类分析，模糊层次分析，模糊规划,25,常用的软件工具,MATLAB,科学计算，最优化求解，微分方程求解，统计分析，编程、符号运算、结果可视化,SPSS,SAS,统计分析,LINDO/LINGO,最优化求解,MATHEMATICA,符号运算、科学计算，最优化求解，微分方程求解，统计分析，编程,26,参考资料,数学模型（第三版），姜启源等编， 高等教育出版社 2005,数学模型， 谭永基等编，复旦大学出版社，2005,Models in Applied Mathematics,Vol1-3,F.Lacos,Springer-Verlag,New York,1983,数学建模，Giordano 著 叶其孝等译 机械工业出版社，2005,数学模型引论（第三版）唐焕文等编，高等教育出版社,27,参考资料,数学模型方法与算法,边馥萍等,高教社,2005,数学建模方法及其应用,韩中庚,高教社,2005,中国大学生数学建模竞赛(第二版),李大潜,高教社,2001,优化建模与LINDO/LINGO软件,谢金星等,清华大学出版社,2005,数学建模与数学实验,赵静等,高教社,2003,数学模型案例选集,姜启源等编， 高等教育出版社 2006,28,参考资料,数学模型与数学建模,刘来福等,北京师范大学出版社,2005,数学模型讲义,雷功炎,北京大学出版社,1994,数学模型案例集,杨启帆等,高教社,2006,经济管理数学模型案例教程,谭永基等,高教社,2006,全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000),中国物价出版社,2002,29,参考资料,科学计算技术与MATLAB,刘则毅等,科学出版社,2001,最优化模型与实验,朱德通,同济大学出版社, 2003,现代优化计算方法,刑文训等,清华大学出版社,2005,网络优化，谢金星等，清华大学出版,2005,LINGO和EXCEL在数学建模中的应用，袁新生等，科学出版社，2007,30,谢 谢,预祝大家在数学建模竟赛,中取得优异成绩,31,