学案6空间向量及其运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案6 空间向量及其运算,1,空间向量及其运算,1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.,2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.,3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.,2,1.在高考中一般以选择、填空题的形式出现，属于低档题.,2.空间向量是一种重要的数学工具，空间向量的运算与平面向量的运算有很多相似或相同之处.在高考中，有时会单独考查空间向量的运算及性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算的坐标表示，可以解决立体几何中的位置关系的证明、判断及空间角的计算；对解决探索性问题有独到之处.,3,1.空间直角坐标系的概念,（1）OABCDABC是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA,OC,OD的方向为正方向，以线段OA,OC,OD的长为单位长，建立三条数轴:x轴、y轴、z轴.也就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，_叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做_,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.,x轴、y轴、z轴,坐标平面,4,(2)在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy=_，yOz=_.,2.空间向量,与平面向量一样，在空间，我们把具有_,和_的量叫做,空间向量，向量的,叫做向量的长度或模.,大小,方向,大小,90,135,5,3.共线向量,（1）共线向量的定义,与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线,，则这些向量叫做共线向量或平行向量.,（2）共线向量定理,对于空间任意两个向量a,b(b0)，ab的充要条件是存在实数,使,.,互相平行或重合,a=b,6,4.共面向量,（1）共面向量的定义：,通常把,的向量，叫做共面向量.,（2）共面向量定理：,如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb.,平行于同一个平面,7,5.空间向量的数量积及运算律,（1）数量积及相关概念,两向量的夹角,已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OB=b,则AOB叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_，若,a,b= ,则称a与b_,记作ab.,互相垂直,0,a,b,8,两向量的数量积,已知空间两个非零向量a,b,则_叫做向量a,b的数量积，记作_，,即_.,（2）空间向量数量积的运算律,结合律：（a）b_.,交换律：ab=_;,分配律：a（b+c)=_.,|a|b|cos ,ab=|a|b|cosa,b,ab,(ab),ab + ac,ba,9,6.空间向量的坐标表示及应用,（1）数量积的坐标运算,设a=（a,1,a,2,a,3,),b=（b,1,b,2,b,3,),则ab_.,（2）共线与垂直的坐标表示,设a=（a,1,a,2,a,3,),b=（b,1,b,2,b,3,),则ab _, _, _,_,ab _ _（a,b均为非零向量).,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,3,b,3,a=b,a,2,=b,2,a,3,=b,3,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,3,b,3,=0,a,1,=b,1,ab,0,10,（3）模、夹角和距离公式,设a=（a,1,a,2,a,3,),b=（b,1,b,2,b,3,),则a= =_.,cosa,b= =_.,设A（a,1,b,1,c,1,）,B（a,2,b,2,c,2,),则d,AB,= =_.,11,考点1 空间向量的线性运算,12,13,14,15,16,17,如图所示，在平行六面体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，设AA,1,=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA,1,，BC，C,1,D,1,的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,(1) AP;,(2) A,1,N;,(3)MP+NC,1,.,考点2 空间向量的线性运算,18,【解析】,（1）P是C,1,D,1,的中点，,AP=AA,1,+A,1,D,1,+D,1,P=a+AD+ D,1,C,1,=a+c+ AB=a+c+ b.,(2)N是BC的中点,A,1,N=A,1,A+AB+BN=-a+b+ BC,=-a+b+ AD=-a+b+ c.,【分析】,根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.,19,（3）M是AA,1,的中点，,MP=MA+AP= A,1,A+AP,=- a+a+c+ b= a+ b+c，,又NC,1,=NC+CC,1,= BC+AA,1,= AD+AA,1,= c+a，,MP+NC,1,= a+ b+c+a+ c,= a+ b+ c.,20,【评析】,用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.,21,由线段中点的向量表示式，得OG=OM+MG=OM+ MN,= OA+ （MO+OC+CN）,= a+ - a+c+ (b-c),= a- a+ c+ b- c,= a+ b+ c.,已知空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设OA=a,OB=b,OC=c,试用基底a，b，c表示向量OG.,22,如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.,（1）求证：E,F,G,H四点共面；,（2）求证：BD平面EFGH；,【分析】,（1）要证E,F,G,H四点共面，可寻求x，y使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行.,考点3 用空间向量证平行问题,23,【证明】,（1）如图,连接BG，则EG=EB+BG,=EB+ (BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知：E,F,G,H四点共面.,（2）因为EH=AH-AE,= AD- AB= (AD-AB)= BD，,所以EHBD.,又EH平面EFGH，,BD平面EFGH，,所以BD平面EFGH.,24,【评析】,(1)证明共线问题的方法,若A,B,C共线，则存在唯一实数x使AB=xBC.,(2)证明共面问题的方法,若P,A,B,C共面，则存在实数x,y，使AP=xAB+yAC.,(3)证明线面时，可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc，或a与面内向量d满足ad.,25,如图,平行六面体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，E，F，G分别是A,1,D,1,，DD,1,，D,1,C,1,的中点，请选择适当的基底向量证明：,（1）EGAC；,（2）平面EFG平面AB,1,C.,26,证明,:(1)取AB=a,AD=b，AA,1,=c为一组基底，,E，F，G分别是A,1,D,1,，DD,1,，D,1,C,1,的中点，,EG=ED,1,+D,1,G= （a+b），,AC=AB+BC=a+b，EG= AC，即EGAC，从而EGAC.,(2)由（1）EGAC，同理可得EFB,1,C，又EGB,1,C=C,平面EFG平面AB,1,C.,27,如图，在棱长为a的正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，G为,BC,1,D的重心.,（1）试证A,1,G,C三点共线；,（2）试证A,1,C平面BC,1,D;,（3）求点C到平面BC,1,D的距离.,考点4 数量积及其运算,28,【分析】,(1)即证CGCA,1,.,(2)可证CA,1,BC,1,=0,CA,1,BD=0.,(3)利用CG= CA,1,可求.,【解析】,（1）证明：CA,1,=CB+BA+AA,1,=CB+CD+CC,1,.,CG=CC,1,+ (C,1,B+C,1,D),= (CB+CD+CC,1,)= CA,1,CGCA,1,即A,1,G,C三点共线.,29,（2）证明：设CB=a,CD=b,CC,1,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且ab=bc=ca=0.,CA,1,=a+b+c,BC,1,=c-a,CA,1,BC,1,=(a+b+c)(c-a)=c,2,-a,2,=0,CA,1,BC,1,同理可证，CA,1,BD.,又BDBC,1,=B,因此A,1,C平面BC,1,D.,30,(3)由（2）知，A,1,C平面BC,1,D，则C到平面BC,1,D的距离为|OG|,由（1）知CG= CA,1,CA,1,=a+b+c,CA,1,2,=a,2,+b,2,+c,2,=3a,2,即|CA,1,|= a,因此|CG|= a.,31,【评析】,用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.,(1)求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式cos=,(2)由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中|a|,2,=aa提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.,32,已知一个60的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求:,(1)CD的长;,(2)AB与CD成的角的余弦值.,33,【解析】,(1)如图,CAAB,BDAB=120.,CD=CA+AD=CA+AB+BD,且CAAB=0,BDAB=0,|CD|,2,=CDCD,=(CA+AB+BD)(CA+AB+BD),=|CA|,2,+|AB|,2,+|BD|,2,+2CABD,=|CA|,2,+|AB|,2,+|BD|,2,+2|CA|BD|cos,=6,2,+4,2,+8,2,+268（- ）=68,|CD|=2 ,故CD=2 .,34,35,1.空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解.2.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.3.在解决向量问题时，应注意数与形的结合，如 =a, =b,则|a+b|和|a-b|分别表示以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线.4.通常解决向量问题的方法主要有两种：一是选择适当的基底表示出相关向量；二是建立直角坐标系，用坐标表示出相关向量.,36,1.熟练掌握空间向量的运算、性质及其基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理，数量积的性质等.,2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题转化为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础.,37,3.利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.,4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零.,5.空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解.,6.几何中向量问题的解决，选好基底是关键.,38,祝同学们学习上天天有进步！,名师伴你行,SANPINBOOK,39,