小波变换课件ch1小波分析及其在信号处理中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,西北大学信息学院,小波分析及其在信号处理中的应用,教材&参考书,教材,：小波分析及其在信号处理中的应用，王大凯，彭进业编著，电子工业出版社,1、小波分析导论，程正兴译，【美】崔锦泰著，西安交通大学出版社出版。,2、小波分析与工程应用，杨建国，机械工业出版社。,3、信号处理的小波导引，Stephane Mallat著，杨力华，戴道清，黄文良，湛秋辉译，机械工业出版社。,4、Matlab小波分析与工程应用 ，张德丰 ，国防工业出版社,要求,了解小波变换与傅立叶变换的区别,理解掌握基本的小波变换理论。,理解多分辨率分析的基本思想，了解正交小波的基本性质，掌握构造正交小波的基本方法。,掌握塔式分解算法；,了解双正交小波的基本性质，掌握其构造的方法，分解和重构的相关理论和方法；,了解小波变换的信号处理领域内的应用；,利用MATLAB编程实现小波的构造和简单应用仿真等。,课程安排,36学时：,1、引论,2、小波变换,3、多分辨率分析与正交小波的构造,4、塔式算法及二维小波,5、双正交小波,6、DWT在图像编码中的应用,授课形式,课本内容,Matlab小波分析工具,论文学习与仿真,分小组自由讨论、实现、讲述,考察方式,读书报告,课堂表现,课后作业,期中大作业,期末大作业,第1章 引论,从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间,L,2,(,R,)（实数域平方可积空间）上满足,容许条件（P,24,式2.1.1,）,的函数，这样认识小波需要,函数空间（泛函分析）,的基础知识。,从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要,傅立叶变换,、,傅立叶级数,等的基础知识。,泛函分析,是20世纪初开始发展起来的一个重要的数学分支，它是以集合论为基础的现代分析手段，它用更加抽象的概念来描述熟知的对象。,傅里叶（Fourier)分析,是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。,泛函简介,泛函就是以函数为自变量的函数.泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。,比如曲线的长度,闭合曲线围成的面积等都和曲线的函数是一种泛函关系.设对于任何y(x),有另一个数Jy与之对应,则称Jy为y(x)的泛函. 这里的定义域,即函数集合,通常包含要求y(x)满足的一定边界条件,并且具有连续的二阶导数. 泛函和复合函数不同,泛函必须给出区间上整个函数y(x),才可以得到一个泛函值.,泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。,1.1 函数空间,1.1.1 线性空间,一个,线性空间,是一个在标量域（实或复）,F,上的非空矢量集合,L,，并且对于其元素定义了如下性质的加法和标量乘法：,加法的封闭性；加法的交换律；加法的结合律；零元；加逆；乘法的封闭性；乘法结合律；存在单位标量1，,1,x,x,；乘法的分配律。,1.1.2 线性空间的范数,在一个线性空间,L,中的,泛函,p,(,x,),如果满足,（1）非负性，零元的函数值为零的唯一性；,（2）正齐次性；,（3）三角不等式,则称,p,(,x,)为,L,的,范数,物理意义：元素,x,到0的距离，,泛函就是以函数为自变量的函数,1.1.3,Euclidean,空间,如果对于线性空间的每一对元素定义了如下性质的内积：,那么称,是一个,Euclidean,空间,(赋范空间)。这时它的范数定义为,1.1.4,Hilbert,空间,一个完备的可分离的无限维,Euclidean,空间称为一个,Hilbert,空间,记为,H.,测度（度量）,：设,X,是一个集合，映射,称为,X,上的一个度量，如果,处处稠密,：设A和B为度量空间 的子集，如果有 ， 称A在B中稠密；,如果有 ， 称A在B中处处稠密。,例：实数集,R,按照度量 是一个度量空间， 是有理数集。,因为,所以,G,在,R,中处处稠密。,A的闭包,1.1.5 平方可积空间与平方可和空间,如果,将,Euclidean,空间中的内积定义具体化为,则称以满足,的,f,(,x,),为元素的线性空间为,平方可积空间,，记为 。,平方可积空间是Hilbert空间,希腊字母：kai,若内积定义为,式中,c,为一序列，则称以满足,的序列为元素的线性空间为,平方可和空间,，记为 。,1.1.6,Schwartz（施瓦茨,）不等式,证明：过程见p3.,用到的理论：,1、内积的性质,2、判别式的性质,1.1.7 绝对可积空间与绝对可和空间,若定义,则称以满足 ,的,f,为元素的线性空间为,绝对可积空间,，记为 。,类似可定义绝对可和空间。,平方可积不一定绝对可积,例：考察函数,1.2,L,2,(,R,)空间的基函数,1.2.1 正交基,信号的分解与重构,f,(,x,),c,n,分解,重构,信号,分解系数,基函数的对偶,完全重构,如果,则重构公式为,当下式成立时，,上面的重构公式成立。,正交归一化条件,满足正交归一化条件的函数序列称为,正交归一化函数系,。,一个完备的正交归一化函数系称为,正交归一化基,。,正交归一化基的优点是“能量守恒”定理（,Parsvel,定理）成立：,验证,L,2,(0,2,),空间中的,e,n,(,x,)是否为正交归一化基,1.2.2,框架(frame),如果一个函数序列 对于任何 有下式成立：,式中A、B为满足 的常数，则称 为一个,框架,。A、B分别称为框架的下界和上界。当AB,时，则称此框架为,紧框架,。,设 为框架，其界为,A,和,B,。有线性变换,框架条件,保证了,T,的可逆性。,由 定义的,对偶框架,满足,框架一般不是线性无关的，其对偶也不唯一。,1.2.3,Riesz,基,如果函数序列 对于任何数列,有,则称 为一个,Riesz,基。式中,0A,B，A、B分别称为Riesz下界和上界,。,Riesz,基是线性无关的框架，其对偶是唯一的且线性无关的。,1.3 连续,Fourier变换与Fourier,级数,若函数 ，则称,为 的,Fourier,变换,（FT）,。,如果 ，则可以证明 的每一连续点上，下列,逆变换,定理成立：,信号的频谱,如果 是以,T,为周期的周期信号，则有如下,Fourier级数,表达式：,式中,作变量代换 ，则,离散的频谱,以 为周期,1.4 序列Fourier变换与离散Fourier变换,对于一个序列 ,称之为 的,序列Fourier变换,（SFT）。,对于,SFT, 如下,逆变换,成立：,对于一个有限长序列 ,称,为它的,离散,Fourier,变换,(Discrete Fourier Transform, DFT),。,逆变换,定理：,在过去200年里， Fourier分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但Fourier分析也有不足：,用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。,傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。,傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。,利用,DFT,作信号分析，就是通过在频域上用等间隔划分的窗口对信号进行的“观察”，而这一“观察”数据是时域上,N,点数据的共同贡献。,(a) (b) (c),对,f,(,x,)作FT得如图 (b)所示的振幅谱, 从中可以看到 处存在谱峰, 但无法知道这一频率成分在时域信号中仅仅出现在,x,0附近的一个短暂的时段内. 图 (c)所示的信号看起来与图(a)毫无共同之处, 但它确有与如图 (b)完全相同的振幅谱.,缺乏时域定域性,又例：歌声信号,歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。,其他实际问题：,对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；,图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。,这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析,目标：获取具有频域和时域双重定域性的信息,Doppler,雷达信号处理检测回波的到达时刻可获得目标的位置信息，检测回波频率可获得目标的运动速度信息,时频会师窗口,Fourier,变换,1.5 窗口,Fourier,变换,1.5.1 窗函数,当函数 满足条件,时，称它为一个,时域窗函数,时域窗函数,中心时间,时域窗函数,有效时间半径,通过适当平移，可使中心时间为零,定义,频域窗函数,，其条件是,频域窗函数的,中心频率,频域窗函数的,有效频率半径,考察,正频率,窗函数的定义实际上就是对函数衰减性的控制，也就是说窗函数具有在坐标轴上具有很好的衰减性，从而达到对坐标轴进行局部化的目的。窗函数所确定的窗口是对它的局部性的一次刻画，它是可用来对信号进行时频局部化分析的基本函数，而窗函数本身则可由窗口的尺度来表征其局部性，,若 越小，则说明 在时域上的局部化程度越高。,如果某一函数既满足时域窗函数条件，也满足频域窗函数条件，则简称为,窗函数,。,测不准关系,等号成立的充要条件是,W,(,x,)为Gaussian型窗函数：,时域与频域局部性的矛盾,测不准关系的部分证明：,分部积分公式,1.5.2 窗口Fourier变换的定义,用一个平移的窗函数对信号加窗，可以在获取频域信息的同时，不完全丢失时域信息。,窗口Fourier变换(Windowed Fourier Transform， WFT)的定义为,由于常用的窗函数具有相对较小的时间窗宽，故又称为短时Fourier变换(Short Time FT,STFT),窗函数,系数 表征着信号在 附近所含有的,*+,0,附近的频率成分的大小。它的时间分辨率取决于窗函数的时宽，而频率分辨率取决于窗函数的频宽,WFT可以形象地看成是以,固定尺寸,为,x,的矩形,时频窗口在时频域对,信号进行“观察”。,特别的，当,有,从而达到测不准关系的下限。,假设,f,(,x,)的傅立叶变换为,F,(,)，,W,(,x,)的傅立叶变换为,W,()，则,窗口傅立叶变换频域上的物理意义：,若,W,(),的有效窗口宽度为,，则,WFT,(b,)给出的是,F,(,)在局部频率范围,-,/2,+,/2内的频谱信息。,越小，对信号的频率定位能力越强。,1.5.3 Gabor变换及其数值计算,如果在WFT中Gauss,ian函数作为窗函数,，则这种特定的WFT称为,Gabor变换,Gabor变换是最佳的窗口Fourier变换：Gauss,ian,窗的时宽与频宽的乘积达到测不准关系的下限, 兼顾时间分辨率和频率分辨率。,Gabor变换的数值计算方法,（1）信号和窗函数的离散化,（2）对平移量,b,进行离散化,（3）对 做,DFT,数据冗余,计算量大,1946年，Gabor提出了窗口傅里叶:变换在传统的傅里叶分析之前，对信号进行了加窗处理。这里的窗函数 的选择有些特殊：首先，它时实对称函数；其次，它在某个小区间内衰减很小，而在区间外迅速衰减为 0。,Gabor在最初的处理中采用的时Gauss窗 作为基本窗函数，通过在时间轴上平移得到一组窗函数 。,Gabor变换的定义如下：,设 ，即 ，且 为实对称函数，则信号 的窗口傅里叶变换（Gabor)变换定义为,其中， 称为基本窗函数，其能量集中于 附近，在远离 区域，它迅速衰减为0。,保留了信号在 附近的信息而屏蔽了远区信息。,是将窗函数平移到 ，因此， 保留的是 附近的信号信息。故，,实际上分析了 附近的频率特性。,1.5.4 窗口Fourier变换的不足,窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。,在分析既有突变又有缓变的信号时, 比较理想的信号分析方法应是：对信号的高频成分使用时间分辨率高（即,x,小）而频率分辨率低（即,大）的窗口；反之, 对信号的低频成分，则用,小，,x,大的窗口。,小波变换：,引入窗口变化机制,在低频部分的频窗比较窄，,在高频部分的频窗比较宽,仍以歌声信号为例，信号变换到小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。,1.6小波分析发展简史,小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar提出Haar规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的二进频率划分（L-P）理论。,为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1984年法国地球物理学家Morlet引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。,在数学方面所做的探索主要是R. Coifman和G. Weiss创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron使用了非常象“小波”的函数构造了Stein和Weiss的空间的无条件基。,直到1986年，法国数学家Meyer成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数，它的二进伸缩与平移构成的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不可能的，如Daubechies,Grossman和Meyer都退而研究函数系构成的框架的条件去了。,Lemarie和Battle继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。,1988年Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基。,Coifman, Meyer等人在1989年引入了小波包的概念。,基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。,1992年A. Cohen, I. Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基,近年来，一种简明有效的构造小波基的方法-提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发展和重视，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波。,Goodman, Lebrun等人提出的多小波(Multi-wavelet)理论, Candes 和Donoho等提出的脊小波(Ridgelet )和曲小波(Curvelet)理论, 等等。,