资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,在实际问题中,试验结果有时需要同,时用两个或两个以上的,r.v,.,来描述,.,例如 用温度和风力来描述天气情况,.,通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究,需考虑多维,r.v,.,及其取值规律,多维分布,.,钢的成分,.,要研究这些,r.v,.,之间的联系,就,第六讲 多元随机变量及其分布,定义,设,为随机试验的样本空间,，,则称,(,X,Y,),为,二维,r.v,.,或,二维随机向量,讨论：,二维,r.v,.,作为一个整体的概率特性,其中每一个,r.v,.,的概率特性与整体,的概率特性之间的关系,3.1,二维随机变量的联合分布函数,定义,设,(,X,Y,),为二维,r.v,.,对于,定义了一个二元,实函数,F,(,x,y,),，,称为二维,r.v,.,(,X,Y,),的分布函数，即,(,记为,),的概率,任何一对实数,(,x,y,),事件,分布函数的几何意义,如果用平面上的点,(,x,y,),表示二维,r.v,.,(,X,Y,),的一组可能的取值，则,F,(,x,y,),表示,(,X,Y,),的取值落入图所示角形区域的概率,.,(,x,y,),x,y,联合分布函数的性质,x,y,(,x,y,),x,y,F,性质,x,y,x,y,固定,x,对任意的,y,1,y,2,固定,y,对任意的,x,1,x,2,F,(,x,0,y,0,) =,F,(,x,0,+ 0 ,y,0,),F,(,x,0,y,0,) =,F,(,x,0,y,0,+ 0 ),对每个变量单调不减,对每个变量右连续,F,(,x,y,1,),F,(,x,y,2,),F,(,x,1,y,),F,(,x,2,y,),F,(,b,d,) ,F,(,b,c,) ,F,(,a,d,) +,F,(,a,c,), 0,事实上,对于任意,a b,c ,X,2,);,(,X ,Y,),在平面上的落点到,y,轴距离小于,0.3,的概率,.,例,6,求,解,(1),y=x,1,0,x,y,1,G,(2),y = x,2,(3),y = x,1,0,x,y,1,0.3,若,r.v,.,(,X ,Y,),的联合为,则称,(,X ,Y,),服从参数为,1,1,2,2,2,2,的,正态,分布,记作,(,X ,Y,) ,N,(,1,1,2,;,2,2,2,;,),其中,1,2,0, -1, -2.869, 1.790, 0.110,AspectRatio,-0.6,PlotPoints-30;,二维正态分布图,二维正态分布剖面图,正态分布的边缘分布仍为正态分布,令,B,为正定矩阵,再令 则,二维正态,联合,d.f,.,为,推广,3.2,二维随机变量的条件分布,将条件概率概念推广到随机变量,设二维离散型,r.v,.(,X ,Y,),的分布,若,则称,为,在,X = x,i,的条件下,Y,的条件分布律,二维离散,r.v,.,的条件分布律,3.2,离散条件分布,若,则称,为,在,Y =,y,j,的条件下,X,的条件分布律,类似乘法公式,类似于全概率公式,例,1,把三个球等可能地放入编号为,1, 2, 3,的三个盒子中,每盒可容球数无限,.,记,X,为落入,1,号盒的球数,Y,为落入,2,号盒的,球数，求条件分布,例,1,P,(,X,=,i,|,Y =,0,),P,(,Y = j | X =,2,),解,先求联合分布，,其联合分布与边缘分布如下表所示,X,Y,p,ij,0 1 2 3,0,1,2,3,0,0,0,0,0,0,p,i,1,p, j,X,0 1 2 3,Y,0 1,由此得条件分布,例,2,一射手进行独立射击,已知每次击中目,标的概率为,p,( 0 ,p, 1 ),射击一直进行到,击中两次目标为止,.,令,X,表示他首次击中目,标所进行射击的次数,Y,表示他总共进行射,击的次数,.,求,X,和,Y,的联合分布律、条件分,布律和边缘分布律,.,解,第,n,次击中目标,前,n ,1,次恰,有一次击中目标,例,2,边缘分布律为,故联合分布律为,条件分布律为,对每个,n,对每个,m,3.3,随机变量的独立性,将事件独立性推广到随机变量,设,(,X,Y,),为二维,r.v,.,若对,任何,则称,r.v,.,X,和,Y,相互独立,两个,r.v,.,相互独立性,实数,x, y,都有,3.3,定义,由定义知,二维,r.v,. (,X, Y,),相互独立,二维离散,r.v,.(,X, Y,),相互独立,即,二维连型,r.v,. (,X, Y,),相互独立,二维连续,r.v,. (,X,Y,),相互独立,二维,r.v,. (,X, Y,),相互独立,则边缘分布完全确定联合分布,证,对任何,x,y,有,取,相互独立,命题,故,将,代入,即得,例,1,已知,(,X, Y,),的联合,d.f,.,为,(1),(2),讨论,X ,Y,是否独立？,例,1,解,(1),由图知边缘,d.f,.,数为,1,1,显然，,故,X ,Y,相互独立,(2),由图知边缘,d.f,.,为,显然，,故,X ,Y,不独立,1,1,判断连续型二维,r.v,.,相互独立的,两个重要结论,设,f,(,x,y,),是连续二维随机变量,(,X ,Y,),的联合,密度函数,r,(,x,),g,(,y,),为非负可积函数,且,则,(,X ,Y,),相互独立,且,利用此结果,不需计算即可得出,(1),中的随机,变量,X,与,Y,是相互独立的,.,再如,服从矩形域,(,x,y,)|,axb, cyd,上,均匀分布的二维随机变量,(,X ,Y,),X ,Y,是相互独立的,.,且其边缘分布也是均匀分布,若,则,X ,Y,是相互独立的,且其边缘分布为,若,则,X ,Y,是相互独立的,且其边缘分布为,对于分布函数也有类似结果,设,F,(,x,y,),是二维连续,r.v.(,X,Y,),的联合分布,函数,则,(,X ,Y,),相互独立的充要条件为,且,设,X ,Y,为相互独立的,r.v,.,u,(,x,),v,(,y,),为连续,函数,则,U=,u,(,X,),V=v,(,Y,),也相互独立,.,事实上,设,X,与,Y,的密度函数分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),则,因此，,例如，若,X ,Y,为相互独立的,r.v,.,则,aX,+ b,cY,+ d,也相互独立；,X,2, Y,2,也相互独立；,随机变量相互独立的概念,可以推广到,n,维随机变量,若,则称,r.v,.,X,1, X,2, , X,n,相互独立,若两个,r.v,.,相互独立,且又有相同,分布,不能说这两个,r.v,.,相等,.,如,X,P,-1 1,0.5,0.5,Y,P,-1 1,0.5,0.5,X ,Y,相互独立，则,X,-,1,1,-1 1,0.25,0.25,Y,p,ij,0.25,0.25,P,(,X = Y,) = 0.5,故不能说,X = Y,.,注意,正态随机变量的结论,若,X ,Y,相互独立,则,若,(,X ,Y,),则,若,相互独立,则,推广,极值分布：即极大值，极小值的分布,对于离散型随机变量的极值分布可直接计算,只讨论相互独立的随机变量的极值分布,max,X,Y,P,1 0,0.75 0.25,例,2,X, Y,相互独立,都服从参数为,0.5,的,0-1,分布,.,求,M =,max,X,Y,的概率分布,解,Y,X,p,ij,1 0,1,0,0.25,0.25,0.25,0.25,例,6,设连续随机变量,X ,Y,相互独立,X F,X,(,x,),Y F,Y,(,y,),M =,max,X,Y,N =,min,X,Y,求,M ,N,的分布函数,.,推广,相互独立，且,设,则,例,3,系统,L,由相互独立的,n,个元件组成，,其连接方式为,串联；,并联；,冷贮备,(,起初由一个元件工作,其它,n ,1,个元件做冷贮备,当工作元件失效时，,贮备的元件逐个地自动替换,),；,(4),L,为,n,个取,k,个的表决系统,(,即,n,个元,件中有,k,个或,k,个以上的元件正常工作时，,系统,L,才正常工作,).,例,7,若,n,个元件寿命分别为,且,求在以上,4,种组成方式下,系统,L,的,寿命,X,的密度函数,.,解,(1),(2),(3),n =,2,时，,t,x,x = t,可证,X,1,+,X,2,与,X,3,也相互独立,故,归纳地可以证明，,(4),每周一题,10,设一部机器在一天内发生故障的,发生二次故障获利,0,万元,；,发生三次,概率为,0.2,，,发生故障时全天停止工作,.,若一周,5,个工作日里无故障,，,可获利,10,万元,；,发生一次故障可获利,5,万元,；,或三次以上故障要亏损,2,万元,.,求一周,内期望利润,.,附录,附 录,关于二项分布可加性的证明,设,X B,(,n,1, p,),Y B,(,n,2,p,),且独立，,则,X + Y B,(,n,1,+,n,2,p,),X B,(,n,1,p,),Y B,(,n,2,p,),则,Z=X+Y,的可能取值为,0,1,2,n,1,+,n,2,设,n,1,n,2,当,k,n,1,时，,可加性的证明,其中,当,n,1, k,n,2,时,当,n,2, k,n,1,+,n,2,时,故,X + Y B,(,n,1,+,n,2,p,),事实上,由二项分布的背景,不难理解,X + Y,表示做了,n,1,+,n,2,次独立试验事件,A,发生的次数,
展开阅读全文