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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,6,章,数列,目录,Contents,6.1,数列的概念,6.2,等差数列,6.3,等比数列,6.4,数列的实际应用举例,PART,6.1,数列的概念,数列,6.1,数列的概念,某场地堆放着一些圆钢,(,见图,6,-,1),，最底层有,100,根，在其上一层（称为第二层）有,99,根，第三层有,98,根，依此类推,.,问：,(1),第四层有多少根？,(2),从第五层到第十层的圆钢数分别为多少？,情景,导入,数列,细胞一小时分裂一次，,1,个细胞分裂一次变成,2,个，分裂两次变成,4,个,，,，,各次分裂后的细胞数排成一列数,：,2,，,4,，,8,，,16,，,.,（,1,）,自然数,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,的倒数排成一列数,：,1,，,1,/,2,，,1,/,3,，,1,/,4,，,1,/,5,，,.,（,2,）,-,1,的,1,次幂，,2,次幂，,3,次幂，,4,次幂,，,排成一列数,：,-1,，,1,，,-1,，,1,，,.,（,3,）,6.1,数列的概念,知识探究,数列,“,零存整取,”,存款，每月存入,500,元，每月存款数排成一列数：,500,，,500,，,500,，,500,，,.,（,4,）,像上述例子中那样，,按照一定次序排成的一列,数，称为,数列,.,6.1,数列的概念,知识探究,数列,数列中的每一个数都叫作这个,数列的项,，其中第1个数为第1项，第2个数为第2项,第n个数为第n项，第n项中的,“,n,”,称为该项的序号.有有限多项的数列称为,有穷数列,.有无限多项的数列称为,无穷数列,.用项数n来表示该数列相应项的公式，叫作,数列的通项公式,.一个数列的第n项记作a,n,（nN*)，第n项为a,n,的数列记做a,n,.例如，数列（1） 的通项公式是a,n,=2,n,（nN*）.,由数列通项公式的定义可知，数列的通项是以正整数集的子集为其定义域的函数。故通项为,6.1,数列的概念,知识探究,数列,像数列,这样,，如果一个数列的第n项（nN*）能用它前面若干项来表示，则把这个公式称为这个数列的,递推公式.,从第2项起，每一项都比前一项大，这样的数列叫作,递增数列,.从第2项起，每一项都比前一项小，这样的数列叫作,递减数列,.,6.1,数列的概念,知识探究,数列,例,1,根据通项公式，求出下面数列,a,n,的前,5,项,.,（,1,）,a,n,= ;,（,2,）,a,n,=,（,1,）,n,n,.,6.1,数列的概念,例题分析,数列的概念,解,（,1,）在通项公式中依次取,n,=1,2,3,4,5,，得到数列的前五项为,（,2,）在通项公式中依次取,n,= 1,2,3,4,5,，得到数列的前五项为,-1 , 2,，,-3 , 4,，,-5,6.1,数列的概念,例题分析,数列的概念,例,2,根据数列,a,n,的首项和递推关系写出数列的前,5,项，并推测通项公式,.,（,1,）,a,1,=0,a,n,+1=a,n,+,（,2n-1,）（,nN*,）,;,（,2,）,a,1,=1,a,n,+1=,（,nN*,）,解,（1） 由已知a,1,=0，得,a,2,=a,1,+1=1,a,3,=a,2,+3=4,a,4,=a,3,+5=9,a,5,=a,4,+7=16.,由a,1,=（1-,1）,a,2,=（2-1）,2,a3,=（3-1）,2,a,4,=（4-1）,2,a,5,=（5-1）,2,可推测出,a,n,=（n-1）,2,.,6.1,数列的概念,例题分析,数列的概念,解,（2） 由已知a,1,=1,得,由,可推测出,6.1,数列的概念,例题分析,数列的概念,1.根据下列数列a,n,的通项公式，写出它的前5项.,(1) a,n,=5n ; (2) a,n,=n(n+1);,(3) a,n,=n,2,; (4) a,n,=(-1),n,.,2.观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式 .,(1) 2 , 4 , ( ) , 16, 32 , ( ), 128;,(2) -1 , 12 , ( ), 14, -15 , 16 , ( ).,6.1,数列的概念,课堂练习,PART,6.2,等差数列,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,某班参加义务植树劳动，分为,5,个小组，第,1,小组到第,5,小组植树的棵数恰好构成下面的数列：,20,，,22,，,24,，,26,，,28.,在过去的,300,多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星，可以得到下面的数列：,1682,，,1758,，,1834,，,1910,，,1986.,情景,导入,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,2008,年，在北京举行的奥运会上，女子举重项目共设置了,7,个级别,.,其中较轻的,4,个级别体重构成下面的数列（单位：,kg),：,48,，,53,，,58,，,63.,试分析上述的,3,个数列有什么共同的特点,.,情景,导入,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,观察数列,20,，,22,，,24,，,26,，,28.,我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第,2,项起，每一项与它的前一项的差都等于,2.,观察数列,1682,，,1758,，,1834,，,1910,，,1986.,我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第,2,项起，每一项与它的前一项的差都等于,76.,知识探究,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,观察数列,48,，,53,，,58,，,63.,我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第,2,项起，每一项与它的前一项的差都等于,5.,一般地，如果一个数列从它的第,2,项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫作,等差数列,，这个常数叫作等差数列的,公差,，通常用字母,d,来表示,.,知识探究,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,例如，数列,1,，,3,，,5,，,7,，,，,2,n,-1,，,就是等差数列，它的公差,d,=2.,特别地，数列,2,，,2,，,2,，,2,，,也是等差数列，它的公差为,0.,公差为,0,的数列叫作,常数数列,.,如果一个数列, , , ,是等差数列，它的公差是,d,那么,.,由此可知，如果已知首项和公差，则等差数列, ,的,通项公式,可表示为,.,知识探究,数列,例,1,求等差数列,12,，,8,，,4,，,0,，,的通项公式与第,10,项,.,解,因为 ,d,=8-12=- 4,所以这个等差数列的通项公式为,即 .,从而 .,例题分析,6.2.1,等差数列及其通项公式,数列,例2,等差数列,-1，2，5，8，,的第几项是152,？,解,设这个等差数列的第,n,项是152.由于, , ,因此由通项公式得,152=,-,1+（,n,-1）,3,解得,n,=52. 即这个数列的第52项是152.,例题分析,6.2.1,等差数列及其通项公式,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,在 与,b,两个数之间插入一个数,D,，使得,D,b,成等差数列,.,即,D,是 与,b,的算术平均数,.,一般地，如果,D ,b,成等差数列，那么,D,称为 与,b,的,等差中项,.,从上述讨论看到，,D,是 与,b,的等差中项,.,当且仅当,D,是 与,b,的算术平均数,.,在一个等差数列, ,中，任取连续的,3,项，这,3,项当然是等差数列，因此中间项就是它的前一项与后一项的等差中项,.,.,知识探究,数列,6.2.1,等差数列及其通项公式,例,3,已知,3,个数成等差数列，它们的和为,21,，积为,168,，求这,3,个数,.,解,设这,3,个数分别为,a-d,a,a+d,则,（,a-d,）,+a+,（,a+d,）,=21,（,a-d,）,a,（,a+d,）,=168,，,整理，,得,3a=21,a(,a,2,-,d,2,)=168.,解得,a=7,d=,5,.,因此所求的,3,个数为,2,，,7,，,12,或,12,，,7,，,2,.,例题分析,数列,1.（1） 求等差数列3，7，11，,的第4，7，10项；,（2） 求等差数列10，8，6，,的第20项.,2.求满足下列条件的等差数列的通项公式.,（1） （2）,3.求下列各组数的等差中项.,（1） 100与20；（2） - 6 与42.,课堂练习,6.2.1 等差数列及其通项公式,数列,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,如图,6,-,2,所示，某剧场共有,20,排座位，第一排有,38,个座位，以后每一排都比前一排多,2,个座位,.,某校一年级全体师生共,840,人要到该剧场举行联欢会，分析他们能否使用此剧场，你是如何分析的？,情景,导入,数列,数列的前,n,项和通常记做,.,已知数列,2,n,，求它的前,100,项的和,（,1,）,将上式右边各项的次序反过来，,S,100,又可写成,（,2,）,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,知识探究,数列,将（,1,）（,2,） 两式上下对应项相加，我们发现其和都等于,202,，所以将（,1,）（,2,） 两式的两边分别相加，得,一般地， （,3,）,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,知识探究,数列,再把各项次序反过来，,又可写成,（,4,）,把（,3,）（,4,）两式分别相加，得,由此可得到等差数列,前,n,项和公式,（,5,）,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,知识探究,数列,因为,.,所以式（,5,）又可写成,（,6,）,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,知识探究,数列,例4,求前1000个正整数的和.,解,正整数从小到大排成一个等差数列，首项为1，第1000项为1000，从而前1000个正整数的和为,例5,已知一个等差数列的首项 =-5,公差,d,=3，求它的前20项的和.,解,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,例题分析,数列,1.,求前,1500,个正整数的和,.,2.,根据下列各题条件，求相应等差数列, ,的前,n,项和,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,6.2.2,等差数列的前,n,项和公式,课堂练习,PART,6.3,等比数列,数列,一辆汽车的售价为,15,万元，年折旧率约为,10%,，那么，该车今后,5,年的价值构成下面的一个数列（单位：万元）,：,复利存款问题：月利率,5%,，那么,1000,元存入银行，从第,1,个月后到第,12,个月后的本利和构成下面的一个数列（单位：元）：,情景导入,6.3.1,等比数列及其通项公式,数列,观察数列,这个数列有这样的特点：从第,2,项起，每一项与它前一项的比都等于常数,0.9.,观察数列,这个数列有这样的特点：从第,2,项起，每一项与它前一项的比都等于常数,1.05.,知识探究,6.3.1,等比数列及其通项公式,数列,一般地，如果一个数列从第,2,项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为,等比数列,.,这个常数称为这个等比数列的,公比,，通常用字母,q,来表示,.,由于,0,不能做分母，因此如果, ,是等比数列，那么它的任何一项都不等于,0,，从而公比,q,0.,因为在一个等比数列里，从第,2,项起每一项与它前一项的比都等于公比，所以每一项都等于它的前一项乘以公比,.,这就是说，如果等比数列,.,的公比是,q,，那么,知识探究,6.3.1,等比数列及其通项公式,数列,. .,由此可知，等比数列, ,的通项公式是,，,从等比数列的通项公式看出，只要知道首项 和公比,q,就可以求出等比数列的任何一项,.,知识探究,6.3.1,等比数列及其通项公式,数列,例,1,求等比数列,. .,的通项公式以及第,7,项、第,10,项,.,解,因为,所以这个等比数列的通项公式是,于是,6.3.1,等比数列及其通项公式,例题分析,数列,例2,在等比数列a,n,中，a,1,=4,q=2.试问：第几项是1024？,解,设第n项是1024，根据通项公式得,4,2,n-1,=1024,即 2,n-1,=256,从而 n-1=8,因此 n=9.,即这个等比数列的第9项是1024.,6.3.1,等比数列及其通项公式,例题分析,数列,在两个数,a,与,b,之间插入一个数,G,，使得,a ,G ,b,成等比,数,列,.,即,.,一般地，如果 和 两个数之间插入一个数,使 ， ， 成等比数列，则 称为 和 的,等比中项,.,从上述推导过程看到，当 与 都是正实数时，它们的等比中项 等于这两个正实数的几何平均数或者几何平均数的相反数.,6.3.1,等比数列及其通项公式,知识探究,数列,例,3,求,-4,和,7,的等比中项,.,解,-4,和,-7,的等比中项为,.,6.3.1,等比数列及其通项公式,例题分析,数列,例,4,已知,3,个数成等比数列，它们的和为,14,，积为,-216,，求这,3,个数,.,解,设这,3,个数是,a,aq.,由已知条件得,+,a+aq,=14,a,aq=-216.,由第二个方程，得,a,3,=-216,，所以,a=-6.,代入第一个方程，得,-6,(,+1+q,),=14,整理，得,3q,2,+10q+3=0,解得,q=-,或,q=-3.,从而所求的,3,个数为,18,，,-6,，,2,或,2,，,-6,，,18,.,6.3.1,等比数列及其通项公式,例题分析,数列,1.,求下列等比数列的第五项与第十项,.,（,1,）,.,；,（,2,）,.,；,（,3,）,.,； （,4,）,.,；,2,.,求下列各对数的等比中项,.,（,1,）,2,与,8,； （,2,）,16,与,4,；,6.3.1,等比数列及其通项公式,课堂练习,数列,假如你是经销商， 一位供货商提出要与你签订一份交易合同， 合同的期限为,30,天， 他每天给你提供价值,10,万元的商品， 而你第一天只需付给他,1,分钱的货款， 第二天付给他,2,分钱的货款， 第三天付给他,4,分钱的货款， 依此类推， 以后每天所付的货款都是前一天所付货款的,2,倍,.,你是否同意签这份合同呢？,6.3.2,等比数列的前,n,项和公式,情境导入,数列,根据等比数列,an,的通项公式，等比数列, ,的前,n,项和 可以写成,（,1,）,我们知道，把等比数列的任一项乘以公比，就可得到它后面相邻的一项,.,现将式（,1,）的两边分别乘以公比,q,得,（,2,）,比较（,1,）（,2,）两式，我们可看到式（,1,）的右边第二项到最后一项，与式（,2,）的右边第一项到倒数第二项完全相同。,6.3.2,等比数列的前,n,项和公式,知识探究,数列,于是将式（,1,）的两边分别减去式（,2,）的两边，可以消去相同的项，得到,从而得出 时，等比数列的,前,n,项和公式,为,（,3,）,因为,所以等比数列的前,n,项和公式还可写成 （,4,）,当,q,=1,时，经计算可知,6.3.2,等比数列的前,n,项和公式,情境导入,数列,例,5,求等比数列,.,的前,10,项和,.,解,因为 所以,6.3.2,等比数列的前,n,项和公式,例题分析,数列,例,6,设数列,a,n,的通项公式是,a,n,=2,n-1,，,nN*.,求这个数列的前,n,项的和,.,解,因为,nN*,因此,a,n,是一个等比数列，它,的公比,q=2,，首项,a,1,=1.,从而它的前,n,项和为,S,n,=,=,2n-1,即,1+2+2,2,+2,3,+,+2,n-1,=2,n,-,1.,6.3.2,等比数列的前,n,项和公式,例题分析,数列,1. （1） 求等比数列1，2，4，,从第5项到第10项的和；,（2） 求等比数列,从第3项到第7项的和.,2. 已知一个等比数列的前5项的和是242，公比为3，求它的第5项.,6.3.2,等比数列的前,n,项和公式,课堂练习,数列,在科学研究与工农业生产中，经常会碰到等差数列和等比数列.等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式在计数中起着重要作用.,6.4,数列的实际应用举例,情境导入,数列,例1,图6-3表示堆放的钢管，共堆了6层，求这堆钢管的数量.,解,由图6-3可知，每层放的钢管数构成等差数列 ，,其中,所以,6.4,数列的实际应用举例,情境导入,数列,例2,某企业2008年的生产利润为5万元，计划采用一项新技术，有望在今后5年使生产利润每年比上一年增长20%，如果这一计划得以实现，那么该企业从20082013年的总利润是多少万元（结果保留到小数点后面两位）？,6.4,数列的实际应用举例,情境导入,数列,解,由于该企业计划在今后5年使生产利润每年比上一年增长20%，因此20082013年每年的生产利润组成的数列为,5，5,1.2, 5,1.2,2, 5,1.2,3, 5,1.2,4, 5,1.2,5,这是一个等比数列，首项为5，公比为1.2，从而该企业20082013年的总利润是等比数列的前6,项的和,即总利润为49.65万元.,6.4,数列的实际应用举例,情境导入,数列,1. 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是cm）：,这些尺码是否构成等差数列?如果是，公差是多少？,2. 一个阶梯形教室，共有10排座位，从第二排起，每一排比前一排少2个座位，最后一排有22个座位.试问：这个教室有多少个座位？,3. 某林场计划第1年造林80公顷,以后每一年比前一年多造林20%，第5年造林多少公顷？,课堂练习,6.4,数列的实际应用举例,THANK,YOU,第,7,章,平面向量（矢量）,目录,Contents,7.1,平面向量的概念,7.2,平面向量的运算,7.3,平面向量的坐标表示,7.4,平面向量的内积,PART,7.1,平面向量的概念,平面向量（矢量）,7.1,平面向量的概念,如图,7,-,1,所示，一只老鼠由,O,处向正西方向跑，,1 min,后，一只猫由,O,处向西北方向追,.,思考：猫能否追上老鼠？,情景,导入,平面向量（矢量）,如图,7,-,2,所示，拉木块的力,F,它是既有大小又有方向的物理量,我们称既有大小又有方向的量为,向量,，物理学中又叫做,矢量,.,例如力、速度、加速度、位移等都是向量,.,7.1,平面向量的概念,知识探究,平面向量（矢量）,向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向,.,如图,7,-,3,中所示的向量可以用有向线段,来表示,，其中,，,的长度表示向量的大小,，,起点,A,往终点,B,的方向（箭头的方向）表示向量的方向,.,我们记图中的向量为向量,向量,的起点为,A,，终点为,B,.,7.1,平面向量的概念,知识探究,平面向量（矢量）,通常用一个黑体的小写英文字母,， ，,来表示向量，书写为,.,大小,和方向是向量的两个要素.向量 的大小，也就是,向量 的,长度，记作|,| ，,读作向量,的,模.,a,的,模记作| |.因此，向量的模不同于向量，它是一个,非负数,，可以进行大小比较.,长度为零的向量叫作,零向量,，记作,0,.也可以用起点,和,终点,重合,的有向线段,AA,或,BB,等,表示.显然，零向量的模为零，它的方向是不确定的.,7.1,平面向量的概念,知识探究,平面向量（矢量）,，,长度等于1个单位长度的向量，叫作,单位向量,.与 同方向的单位向量可以记作 .,观察非零向量,与向量,，,它们大小相等方向相反，我们称 为,的,负向量,（,或反向量,），,记作,.,非,零向量,a,的,负向量记,作,-a,0,的负向量记作,0,.,7.1,平面向量的概念,知识探究,平面向量（矢量）,长度相等且方向相同的向量叫做,相等向量,.,记作,.,零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.例如，在图7,-,4中，,把有向线段,AB,平移,得到,CD,，它们,的长度相等且方向相同，因此向,量,AB,与,向量,CD,相等,.,7.1,平面向量的概念,知识探究,平面向量（矢量）,在同一平面内，方向相同或者相反的非零向量，叫作平行向量，也叫作共线向量.若向量,与向量,平行，记作,/,规定,0,与任何向量都平行.如图7,-,5所示，向量,， ，,是共线的，而向量,与,是不共线的.,7.1,平面向量的概念,知识探究,图,7-5,平面向量（矢量）,例,1,如图,7,-,6,所示，,D,是 的边,BC,的中点,.,在 中找出与向量 相等的向量、 的负向量以及与 共线的非零向量,.,解,与向量 共线的非零向量有,7.1,平面向量的概念,例题分析,平面向量（矢量）,例,2,如图,7,-,7,所示，设,O,是正六边形,ABCDEF,的中,心，,分别找出图中与向量,OA,，,OB,，,OC,相等的向量,.,解,7.1,平面向量的概念,例题分析,平面向量（矢量）,1,.,把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点构成什么图形？,2,.,如图7,-,8所示，,D，E，F,分别是,ABC,中,AB，AC，BC,边的中点，找出与向量 相等、相反、共线,的非零向量.,7.1,平面向量的概念,课堂练习,PART,7.2,平面向量的运算,平面向量（矢量）,7.2.1,平面向量的加法,观察图,7,-,9,，一架飞机从,A,处向正北方向飞行,5 km,到达,B,处，接着又从,B,处沿北偏东,45,方向飞行,5 km,，到达,C,处，显然这两次位移 和 的总效果是飞机从,A,处到达了,C,处，我们称位移 与,的和为,，,记作,情景,导入,平面向量（矢量）,由于向量可以平行移动而且不会改变其大小和方向，当把向量,b,平移，,使,b,的起点与,a,的终点重合，,那么以向量,a,的起点为起点，,以向量,b,的终点为终点的向量就叫作向量,a,与向量,b,的和,.,求向量和的运算，叫作向量的,加法,，上述关于向量和的定义称为向量加法的,三角形法则,.,如图,7,-,10,所示，,，,即,c=a+b,.,7.2.1,平面向量的加法,知识探究,平面向量（矢量）,我们还可以把图,7-10,中的,ABC,补成,ABCD,如图,7-11,所示,，,则向量,a,与,b,的和可以看成是,ABCD,的对角线,AC,，,于是我们得到向量加法的,平行四边形法则：,求不共线的两个向量,a,，,b,的和时，可以从同一起点,A,作有向线段,AB,，,AD,分别表示,a,，,b,然后以,AB,，,AD,作为邻边作平行四边形,ABCD,，则有向线段 （平行四边形,ABCD,的对角线）就表示,a+b.,7.2.1,平面向量的加法,知识探究,平面向量（矢量）,7.2.1,平面向量的加法,知识探究,平面向量（矢量）,例,1,已知向量,a,的长度为,3,，方向水平向右；向量,b,的长度为,2,，方向水平向左,.,求,a+b.,解,如图,7,-,12,所示，作有向线段 表示向量,a,，作有向线段 表示向量,b,，则有向线段 表示,a+b,它的长度为,1,，方向水平向右,.,例题分析,7.2.1 平面向量的加法,平面向量（矢量）,例,2,如图,7,-,13,（,a,）所示，,AD,=,a,AB,=,b,分别用三角形法则和平行四边形法则求,a,+,b,.,例题分析,7.2.1 平面向量的加法,平面向量（矢量）,解,（,1,）,利用三角形法则,.,如图,7,-,13(b),所示，将有向线段,平移得到,，则,=,a,由三角形法则知有向线段,=,a+b,.,（,2,）,利用平行四边形法则,.,如图,7,-,13(c,),所示,，,以,AD,，,AB,为一组邻边作,平行四边形,ABCD,，,连接对角线,AC,，,则由平行四边形法则得有向线段,=,a+b,.,例题分析,7.2.1 平面向量的加法,平面向量（矢量）,类似于实数运算具有运算律，向量的加法满足下列交换律与结合律,.,对于任意向量,a,，,b,，,c,有,（,1,） 交换律：,a+b=b+a,；,（,2,） 结合律：,（,a+b,）,+c=a+,（,b+c,）,.,易得,a+0=0+a=a,a+(-a)=(-a)+a=0.,向量的加法适合交换律与结合律，如图,7-14,所示，有：,7.2.1,平面向量的加法,知识探究,平面向量（矢量）,例3 利用向量加法的运算法则来求下列向量和,.,(1),(2),(3),解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,例题分析,7.2.1 平面向量的加法,平面向量（矢量）,1,.,已知向量a的长度为2，方向水平向右；向量,b,的长度为4,向水平向左.求,a+b,.,2,.,如图7,-,15所示，四边形,ABCD,为平行四边形，求,.,3,.,已知向量,a，b，c,的长度分别为2，3，1，方向分别为正东，北偏东45,，北偏西30,，作出有向线段表示,a+b+c,.,课堂练习,7.2.1 平面向量的加法,平面向量（矢量）,4,.,求下列向量和,.,（,1,）,（,2,）,5,.,非零向量,a,，,b,满足,|,a,|=|,b,|=|,a+b,|,则,a,与,a+b,的夹角为多少？,课堂练习,7.2.1 平面向量的加法,平面向量（矢量）,如图,7,-,16,所示，四边形,ABCD,为平行四边形，求：,(1),；,(2),你能求出 吗？,7.2.2,平面向量的减法,情景导入,平面向量（矢量）,向量,a,加上向量,b,的反向量，叫作向量,a,与向量,b,的差，即,a-b=a+,（,-b,）,.,求两个向量差的运算，叫作向量的减法,.,观察图,7,-,17,中起点相同的两个向量 和 ，则由向量差的定义知，,即,7.2.2,平面向量的减法,知识探究,平面向量（矢量）,于是我们得到两个向量的,减法运算法则,：起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减向量的终点形成的向量,.,例如，在图,7-18,（,a,）中，,；在图,7-18,（,b,）中，,7.2.2,平面向量的减法,知识探究,平面向量（矢量）,例,4,已知,ABC,如图,7,-,9,所示,用向量,AB,和,AC,表示向量,CB,和,BC.,解,7.2.2,平面向量的减法,例题分析,平面向量（矢量）,1,.,在图,7,-,20(a)(b),中，分别画出向量差,.,（,1,）,;,（,2,）,2,.,如图,7,-,21,所示，,在,ABCD,中,，用向量,和,表示向量,，,.,7.2.2,平面向量的减法,课堂练习,平面向量（矢量）,观察本章图,7,-,2,中的力,F,若我们在力,F,的方向上再作用上一个力,F,，而力,F,的大小为力,F,的,2,倍，那么就把力,F,记为,2F,，于是我们引入数乘向量的概念,.,.,7.2.3,平面向量的数乘运算,情景导入,平面向量（矢量）,实数,与向量,a,的积是一个向量，记做,a,它的长度与方向规定如下：,（,1,） 向量,a,的长度为,|,a,|=|,|,a,|;,（,2,） 当,0,时，,a,的方向与,a,的方向相同；当,0,时,a,的方向与,a,的方向相反,.,由上可知,0,a,=0,0,=,0,.,7.2.3,平面向量的数乘运算,知识探究,平面向量（矢量）,可以证明，数乘向量满足下列运算律：,设,，,为任意实数，对于任意,a，b,有,（1） （,a,）=（）,a,;,（2） （+）,a,=,a,+,a,;,（3） （,a+b,）=,a,+,b,.,由数乘向量的定义，可知,1,a,=,a,（-1）,a,=-,a,a,=0,=0或,a,=0.,7.2.3,平面向量的数乘运算,知识探究,平面向量（矢量）,例,5,知向量,a,的长度为,2,，方向水平向右如图,7,-,22(a),所示，分别作有向线段表示,;,解,如图,7-22,（,b), 7-22(c),所示,.,7.2.3,平面向量的数乘运算,例题分析,平面向量（矢量）,例,6,化简下列各式,.,（,1,）,3,（,-2,a,+,b,）,-,（,5,a,-,b,）；,（,2,）,2,（,a,+3,b,-2,c,）,+7,（,-,a,-,b,+3,c,）,.,7.2.3,平面向量的数乘运算,例题分析,平面向量（矢量）,解,（,1,）,3,（,-2,a,+,b,）,-,（,5,a,-,b,）,=-6,a,+3,b,-5,a,+,b,=-11,a,+4,b,.,（,2,）,2,（,a,+3,b,-2,c,）,+7,（,-,a,-,b,+3,c,）,=2,a,+6,b,-4,c,-7,a,-7,b,+21,c,=-5,a,-,b,+17,c,.,7.2.3,平面向量的数乘运算,例题分析,平面向量（矢量）,例,7,如图,7,-,23,所示，设,D,为,ABC,的边,BC,的中点,，用向量,， 表示向量,.,解,因为在,ABC,中,D,为,BC,边上的中点,分别过,B,，,C,点作,BEAC,CEAB,，且,BE,与,CE,交于点,E,，,则在,平行四边形,ABEC,中，,AE,=,2AD,.,故,7.2.3,平面向量的数乘运算,例题分析,平面向量（矢量）,1,.,已知向量,a,方向为正东方向,且,|,a,|=,2,向量,b,方向为北偏东,45,，,且,|,b,|=,3.,以原点,O,为起点，分别作有向线段表示,2,a,+,b,-,a,+,b,.,2,.,化简下列各式,.,（,1,）,5,（,a,+,b,）,-7,（,a,-3,b,）,;,（,2,）,12,（,a,-2,b,+,c,）,-2,（,6,a,+,b,-3,c,）,.,3.,ABCD,的两条对角线交于点O，用向量 ， 表示向量 ， .,4.,ABCD,的两条对角线分别为,AC，BD,，,试用 , 表示 ,7.2.3,平面向量的数乘运算,课堂练习,PART,7.3,平面向量的坐标表示,平面向量（矢量）,如图,7,-,24,所示，在平面直角坐标系,Oxy,中，,向量,， 分别为,x,轴，,y,轴上的单位向量，我们记图中的坐标系为,O,; ,那么，,平面上任何一个向量都可以,由,表示吗,？,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,情景导入,平面向量（矢量）,一般地，在平面直角坐标系中，分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量 ， ，则对平面内任一个向量,a,，都有唯一一对实数,x,，,y,，使得,我们把有序数对（,x,y,）称为向量,a,的直角坐标或者,a,的坐标，记作,a,=,（,x,y,）,其中,x,称为横坐标，,y,称为纵坐标,.,显然有,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,知识探究,平面向量（矢量）,对于同一平面上的两个向量,a,，,b ,如果取定一个直角坐标系,O,; ,后，,a=,（,x,1,y,1,）,b=,（,x,2,y,2,）,如果满足,则称向量,a,与向量,b,相等，记作,a,=,b,或者,.,在同一直角坐标系中，,两个向量相等当且仅当它们的坐标相等,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,知识探究,平面向量（矢量）,例,1,在平面直角坐标系 中，已知向量,a,=,（,n-2m,-m-n,）,b,=,（,-2,5,）,且,a,=,b,求,m,和,n,的值,.,解,由于,a,=,b,所以可得下列方程组,n,-2,m,=-2,-,m,-,n,=5,，,解得,m,=-1,n,=-4.,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,例题分析,平面向量（矢量）,我们已经学过了向量的加法、减法和数乘运算，那么如何利用向量的坐标来进行上述运算呢？我们规定，若在直角坐标系,O,;,e,1,e,2,中，,a,=（x,1,y,1,）,b,=（x,2,y,2,）,则,a,+,b,=（x,1,+x,2,y,1,+y,2,）,a,-,b,=（x,1,-x,2,y,1,-y,2,）,k,a,=（,k,x,1,k,y,1,）.,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,知识探究,平面向量（矢量）,我们只对上述第一个式子进行证明，其他两式请同学们自己证明,.,证明,在直角坐标系,O;e,1,e,2,中，,a,=,x,1,e,1,+,y,1,e,2,b,=,x,2,e,1,+,y,2,e,2,.,因此,a,+,b,=,（,x,1,e,1,+,y,1,e,2,）,+,（,x,2,e,1,+,y,2,e,2,）,=,（,x,1,e,1,+x,2,e,1,）,+,（,y,1,e,2,+,y,2,e,2,）,=,（,x,1,+,x,2,）,e,1,+,（,y,1,+,y,2,）,e,2,即,a,+,b,=,（,x,1,+,x,2,y,1,+,y,2,）,.,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,知识探究,平面向量（矢量）,于是，我们得出向量坐标的,运算法则：,（1）,两个向量的和（差）的坐标等于它们的坐标的和（差）.,（2）,实数,与向量,a,的乘积,a,的坐标等于,乘以,a,的坐标.,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,知识探究,平面向量（矢量）,例,2,已知向量,a,=,（,2,-1,）,b,=,（,-5,4,）,c,=,（,0,-2,）,求,a,+,b,3,b,2,c,-3,b,a,+,b,-,c,的坐标,.,解,a,+,b,=,（,2,-1,）,+,（,-5,4,）,=,（,-3,3,）,3,b,=3,（,-5,4,）,=,（,-15,12,）,2,c,-3,b,=2,（,0,-2,）,-3,（,-5,4,）,=,（,0,-4,）,-,（,-15,12,）,=,（,15,-16,）,a,+,b,-,c,=,（,2,-1,）,+,（,-5,4,）,-,（,0,-2,）,=,（,-3,5,）,.,因此，向量,a,+,b,3,b,2,c,-3,b,a,+,b,-,c,的坐标分别为,（,-3,3,）,（,-15,12,）,（,15,-16,）,（,-3,5,）,.,7.3.1,平面向量的直角坐标及坐标运算,例题分析,平面向量（矢量）,1.,写出下列向量的坐标表示,.,（,1,） （,2),（,3,） （,4,）,2.,已知,a,=(2,-3),，,b,=,（,3,，,4,），求：,(1),a+b,;,(2),a-b,;,(3),3a-b,;,7.3.1 平面向量的直角坐标及坐标运算,课堂练习,平面向量（矢量）,观察图,7,-,25,，在平面直角坐标系 中，已知,P,点坐标为 ，那么点,P,的坐标与向量 的坐标有什么关系？,7.3.2,平面向量的坐标与点的坐标关系,情景导入,平面向量（矢量）,由于,所以向量,的坐标为,，,它与点,P,的坐标相同,.,像图,7,-,25,中的向量 那样，起点在原点的向量叫作,定位向量,.,每个定位向量都被它的终点唯一确定，并且,定位向量的坐标等于它的终点坐标,.,7.3.2,平面向量的坐标与点的坐标关系,知识探究,平面向量（矢量）,因此向量 的坐标为,（,x,2,-x,1,y,2,-y,1,）,它等于终点坐标与起点坐标的差,.,即向量的坐标等于终点的坐标与起点坐标的差,.,不难验证，图,7,-,25,中的定位向量 的坐标也可以看成是用终点坐标减去起点坐标得到的,.,如图,7,-,26,所示的向量 ，从点,M,作,x,轴的垂线，垂足为点,A,，则向量,称为向量 在,x,轴上的射影； 的坐标称为 在,e,1,方向上的分量,.,容易看出， 在,e,1,方向上的分量等于 的横坐标， 在,e,2,方向上的分量等,于 的纵坐标,.,7.3.2,平面向量的坐标与点的坐标关系,知识探究,平面向量（矢量）,例,3,已知,A,，,B,两点的坐标，求 ， 的坐标,.,（,1,）,A,（,1,2,），,B,（,4,5,）； （,2,）,A,（,-7,0,），,B,（,6,-1,）,.,解,（,1,）,，,（,2,）,7.3.2,平面向量的坐标与点的坐标关系,例题分析,平面向量（矢量）,例,4,已知,ABCD,的三个顶点,A,（,-2,1,）,B,（,2,2,）,C,（,3,4,）,求顶点,D,的坐标,.,解,如图,7,-,27,所示,.,=,（,-2,1,）,+,（,3,4,）,-,（,2,2,）,=,（,-1,3,）,.,因此,顶点,D,的坐标为（,-1,3,）,.2,）,7.3.2,平面向量的坐标与点的坐标关系,例题分析,平面向量（矢量）,1.,已知,A,（,3,，,-4,），,B,（,-2,，,3,），求 ， 的坐标,.,2.,已知点,B,（,3,，,-2,），,=,（,-2,，,4,），求点,A,的坐标,.,3.,已知三角形的三个顶点,A,（,4,，,0,），,B,（,-1,，,2,），,C,（,-2,，,1,），,求,， ， 的坐标,.,7.3.2,平面向量的坐标与点的坐标关系,课堂练习,平面向量（矢量）,如果向量,，,和向量 平行，那,么 之间有怎样的关系？,.,7.3.3,平面向量平行的坐标表示,情景导入,平面向量（矢量）,设,其中,b0,那么,a,与,b,平行的充要条件是存在唯一实数,，使,a,=,b,.,如果用坐标表示，可写为,即,消去,后得,亦即,ab,（,b0,）的充要条件是,7.3.3,平面向量平行的坐标表示,知识探究,平面向量（矢量）,例,5,已知,a,=,（,4,2,）,b,=,（,6,y,），且,ab,，求,y,.,解,由于,ab,所以,4,y-,2,6=0,，,即,y,=3.,7.3.3,平面向量平行的坐标表示,例题分析,平面向量（矢量）,例6,已知,A,（-1,-1）,B,（1,3）,C,（2,5），求证：,A，B，C,三点共线.,证明,由于,=（1-（-1），3-（-1）=（2，4）,=（2-（-1），5-（-1）=（3，6）,又 2,6-3,4=0,得,因为直线,AB,、直线,AC,有公共点,A,所以,A，B，C,三点共线.,7.3.3,平面向量平行的坐标表示,例题分析,平面向量（矢量）,1.,已知,a,=(3,4),b,=(,x,-16),且,ab,，求,x,.,2.,已知点,A,(0,1),B,(1,0),C,(1,2),D,(2,1),，求证：,ABCD,.,7.3.3,平面向量平行的坐标表示,课堂练习,PART,7.4,平面向量的内积,平面向量（矢量）,在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力,F,的作用下产生的位移为,s,，如图,7,-,8,所示，那么力,F,所做的功,W,可用下式计算,.,W,=|,F,|,s,|,cos,.,其中,为,F,与,s,的夹角,.,从力所做的功出发，我们引入,向量内,积,的概念,.,7.4.1,内积的定义及其性质,情景导入,平面向量（矢量）,设,a,，,b,为两个非零向量，从,O,点引两条有向线段 ， 分别表示,a,，,b,则我们把射线,OA,与射线,O,B,所组成的不大于,的角叫作,a,与,b,的夹角，记做,a,b,，于是,0,a,b, ,a,b,=,b,a,.,用符号,0,a,或,a ,0,表示,0,与向量,a,的夹角，由于零向量的方向不确定，我们可以把,0,与,a,的夹角看成任意一个角,.,现在给出内积的定义,.,7.4.1 内积的定义及其性质,知识探究,平面向量（矢量）,任给两个向量,a,，,b,实数,|,a,|,b,|,cos,a,b,称为向量,a,与,b,的,内积,（或,数量积,），记做,a,b,读作,“,a,点乘,b,”,，即,a,b,=|,a,|,b,|cos,a,b,.,由内积的定义可得，对于任意向量,a,有,0,a,=0,a,0,=0.,7.4.1 内积的定义及其性质,知识探究,平面向量（矢量）,由此可以看出，两个向量的内积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关,.,因此，前面提到的力所做的功，就等于力,F,与其作用下物体产生的位移,s,的内积,F,s.,7.4.1 内积的定义及其性质,知识探究,平面向量（矢量）,设,a,，,b,为两个非零向量，我们由,a,b,=|,a,|,b,|cos,a,b,可得出以下性质：,（,1,）,a,b,=,时，,a,与,b,垂直，此时,a,b,=0,即,a,b,a,b,=0;,（,2,）,（,3,）,7.4.1 内积的定义及其性质,知识探究,平面向量（矢量）,向量的内积还具有以下的运算律，对于任意向量,a,，,b,，,c,，任意实数,有,（,1,）,a,b,=,b,a,;,（,2,） （,a,）,b,=,（,a,b,）,;,（,3,） （,a,+,b,）,c,=,a,c,+,b,c,.,7.4.1 内积的定义及其性质,知识探究,平面向量（矢量）,例,1,已知,|,a,|=,4,|,b,|=,2,且,a,与,b,的夹角为,30,求,a,b,.,解,a,b,=|,a,|,b,|cos,a,b,=4,2,cos30,=8,32=43,.,例,2,已知两非零向量,a,，,b,，,|,a,|=,3,，,a,b,=60,，,a,b,=,6,求,b,的大小,解,由,a,b,=|,a,|,b,|cos,a,b,=,3|,b,|,cos60,=,|,b,|=,6,得,|,b,|=,4,即,b,的大小为,4,.,7.4.1 内积的定义及其性质,例题分析,平面向量（矢量）,1,.,求下列条件下的,a,b,.,（,1,）,|,a,|=3,|,b,|=2,a,b,=60,；,（,2,）,|,a,|=4,|,b,|=7,a,b,=,；,（,3,）,|,a,|=1,|
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