幂级数收敛域和函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷级数,第三节 幂 级 数,第三节 幂级数,一. 函数项级数,1.定义,函数项级数,是定义在区间,I,上的函数列,在,I,中任取一点 ,就得到一个数项级数,收敛,收敛点,发散,发散点,函数项级数的全体收敛点的集合称为,收敛域,2.收敛域,3.和函数：,在收敛域内,，,函数项级数的和依赖于点,x，,因此其和是,x,的函数，称为,和函数,4.余项:,前,n,项的部分和,在收敛域内才有意义,且,二. 幂级数及其收敛性,幂级数,各项都是幂函数的函数项级数,一般形式:,特例,系数,(,1),(,2),主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2),1.幂级数的收敛域,x =,0,时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.,例,由等比级数的性质, 时收敛, 时发散,则收敛域(1,1)内,定理1 (阿贝尔定理) 如果 ：,1.在点 收敛,则当 时，它绝对收敛,2.在点 发散,则当 时，它发散.,推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则,存在,R,0,使得当,|,x|R,时它发散,注:三种收敛情形:,(1) 仅在,x =,0,处收敛;,(,2) 在 内处处收敛;,(,3) 在(,R,R,),内收敛,端点另外讨论,收敛区间,R,收敛半径,R,= 0,R,= + ,2.,收敛半径的求法,定理2,(证明略),例 求收敛半径和收敛域,x =,1,时,收敛；,x,=1,时,收敛域是(1，1,发散,收敛域是(，）,仅在,x =,0,点收敛,设,x,2,t,由(1)知,收敛域是(1,3,收敛域是(1,1,令,t =,3,时,t,=3,时,发散,发散,收敛域是(3,3),收敛域是,缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求,R,1,时,收敛.,1,时,发散.,则收敛区间为,时,发散.,注:缺少奇次项,也可以用此方法.,三.幂级数的运算性质,1.四则运算性质,设,收敛半径分别为 和 ,记,则对于任意的, 有,利用乘法可以定义除法,则,注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多,2. 分析运算性质,设,收敛半径为,R,则,(,1),S(x),在收敛域内连续;,(,2),S(x),在,(-,R,R),内可导,且,即幂级数在,(-,R,R),内可以逐项求导,所得到的幂级数,收敛半径不变.,可推广到任意阶导数,(3),S(x),在,(-,R,R),内可积,且,即幂级数在,(-,R,R),内可以逐项积分,所得到的幂级数,收敛半径不变.,注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.,例 求和函数,设和函数为,S(x),(,|,x| ,1 ),设和函数为,S(x),则,练习,