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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.1,回归分析的基本思想及其初步应用（二）,高二数学 选修,2-3,9/10/2024,比,数学,3,中“回归”增加的内容,数学,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,-,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,9/10/2024,回归分析的内容与步骤：,统计检验通过后，最后是,利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量,。,回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。,其主要内容和步骤是：,首先根据理论和对问题的分析判断，,将变量分为自变量和因变量,；,其次，设法,找出合适的数学方程式（即回归模型）,描述变量间的关系；,由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要,对回归模型进行统计检验,；,9/10/2024,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,解：,1,、选取身高为自变量,x,，,体重为因变量,y,，,作散点图：,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,9/10/2024,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量,2.,回归方程：,1.,散点图；,本例中, r=0.7980.75,这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。,9/10/2024,探究,：,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为,172cm,的女大学生的体重不一定是,60.316kg,，,但一般可以认为她的体重接近于,60,.,316,kg,。,即，用这个回归方程不能给出每个身高为,172,cm,的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。,9/10/2024,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,解：,1,、选取身高为自变量,x,，,体重为因变量,y,，,作散点图：,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,3,、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数,y=,bx,+a,描述它们关系。,9/10/2024,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=,bx,+a+e,，,(3),其中,a,和,b,为模型的未知参数，,e,称为随机误差,。,y=,bx,+a+e,，,E(e)=0,D(e)=,(4),在线性回归模型,(4),中，随机误差,e,的方差 越小，通过回归直线,(5),预报真实值,y,的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值,y,之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。,另一方面，由于公式,(1),和,(2),中 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值,a,和,b,之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值,y,之间误差的另一个原因。,9/10/2024,思考,:,产生随机误差项,e,的原因是什么？,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般）：,1,、忽略了其它因素的影响：影响身高,y,的因素不只是体重,x,，,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3,、身高,y,的观测误差。,以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。,9/10/2024,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,可以提供,选择模型的准则,9/10/2024,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型,y=,bx,+a+e,增加了随机误差项,e,，,因变量,y,的值由自变量,x,和,随机误差项,e,共同确定，即,自变量,x,只能解析部分,y,的变化,。,在统计中，我们也把自变量,x,称为解析变量，因变量,y,称为预报变量。,所以，对于身高为,172cm,的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,9/10/2024,思考,：,如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上,与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相,同。,在体重不受任何变量影响的假设下，设,8,名女大学生的体重都是她们的平均值，,即,8,个人的体重都为,54.5kg,。,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,54.5kg,在散点图中，所有的点应该落在同一条,水平直线上，但是观测到的数据并非如,此。,这就意味着,预报变量（体重）的值,受解析变量（身高）或随机误差的影响,。,对回归模型进行统计检验,9/10/2024,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,例如，编号为,6,的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为,61kg,。,解析,变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从,54.5kg“,推”到了,61kg,，,相差,6.5kg,，,所以,6.5kg,是解析变量和随机误差的,组合效应,。,编号为,3,的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为,50kg,。,解析,变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从,50kg“,推”到了,54.5kg,，,相差,-4.5kg,，,这时解析变量和随机误差的组合效应为,-4.5kg,。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用,表示总的效应，称为,总偏差平方和,。,在例,1,中，总偏差平方和为,354,。,9/10/2024,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？,有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图,中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归,直线上。,这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上,“推”开了,。,在例,1,中，残差平方和约为,128.361,。,因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，,称 为,残差,。,例如，编号为,6,的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号,称为,残差平方和,，,它代表了随机误差的效应。,表示为：,即，,类比样本方差估计总体方差的思想，可以用,作为 的估计量， 越小，预报精度越高。,9/10/2024,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为,354,，而随机误差的效应为,128.361,，所以解析变量的效应为,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）,=,解析变量的效应（回归平方和）,+,随机误差的效应（残差平方和）,354-128.361=225.639,这个值称为,回归平方和。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,9/10/2024,离差平方和的分解,（三个平方和的意义）,总偏差平方和,(,SST,),反映因变量的,n,个观察值与其均值的总离差,回归平方和,(,SSR,),反映自变量,x,的变化对因变量,y,取值变化的影响，或者说，是由于,x,与,y,之间的线性关系引起的,y,的取值变化，也称为可解释的平方和,残差平方和,(,SSE,),反映除,x,以外的其他因素对,y,取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,9/10/2024,样本决定系数,（判定系数,R,2,）,1.,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度,取值范围在, 0 , 1 ,之间,R,2,1,，,说明回归方程拟合的越好；,R,2,0,，,说明回归方程拟合的越差,判定系数等于相关系数的平方，即,R,2,(,r,),2,9/10/2024,显然，,R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，,R,2,表示解析变量对预报变量变化的贡献率。,R,2,越接近,1,，表示回归的效果越好（因为,R,2,越接近,1,，表示解析变量和预报变量的,线性相关性越强）,。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较,R,2,的值,来做出选择，即选取,R,2,较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说：,相关指数,R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,9/10/2024,1,354,总计,0.36,128.361,残差变量,0.64,225.639,随机误差,比例,平方和,来源,表1-3,从表,3-1,中可以看出，解析变量对总效应约贡献了,64%,，即,R,2,0.64,，,可以叙述为,“身高解析了,64%,的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的,36%,。,所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,9/10/2024,表,3-2,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始,数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本,编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,9/10/2024,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,9/10/2024,例,2,、在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,Y,件之间的一组数据为：,求出,Y,对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,Y,12,10,7,5,3,解：,9/10/2024,例,2,、在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,Y,件之间的一组数据为：,求出,Y,对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,Y,12,10,7,5,3,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-,0.4,-,0.1,0.2,4.6,2.6,-,0.4,-,2.4,-,4.4,9/10/2024,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1,、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2,、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3,、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4,、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想：,模型适用的总体；,模型的时间性；,样本的取值范围对模型的影响；,模型预报结果的正确理解。,小结,9/10/2024,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（,1,）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（,2,）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系,（如是否存在线性关系等）。,（,3,）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程,y=,bx,+a,）,.,（,4,）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（,5,）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,9/10/2024,什么是回归分析？,（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式,对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著,利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,9/10/2024,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量,x,变量,y,处于平等的地位；回归分析中，变量,y,称为因变量，处在被解释的地位，,x,称为自变量，用于预测因变量的变化,相关分析中所涉及的变量,x,和,y,都是随机变量；回归分析中，因变量,y,是随机变量，自变量,x,可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量,相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量,x,对变量,y,的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,9/10/2024,
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