平摆线和渐开线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 参数方程,2.4,平摆线与渐开线,数学选修,4-4,：坐标系与参数方程,学习目标,1.借助几何画板，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），知道平摆线和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程。,2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线、长幅摆线、短幅摆线的生成过程，学会摆线、渐开线在实际生活中的应用实例。,思考：,小明同学,的自行车,轮,上,喷有一个红色印记,，当他骑车,在笔直的道路上行驶时,，这个,红,色,印记会画出,一条什么样的曲线？,上述问题抽象成数学问题就是：,当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,定义：,当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点运动的轨迹叫做,平摆线，简称摆线,.,思考：,圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。,讨论：,如何构造摆线的参数方程？,建系：取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。,设圆的半径为,r,。,x,y,O,D,A,E,B,M,C,摆线的参数方程,所以，摆线的参数方程为：,x,y,O,D,A,E,B,M,C,短幅摆线,长幅摆线,其他常见类型摆线,外,摆线,内摆线,我们把笔尖画出的曲线叫做,圆的渐开线，,渐开线的定义,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。,相应的定圆叫做,渐开线的基圆。,思考：,动点（笔尖）满足什么几何条件？,A,B,M,O,A,B,M,O,x,y,渐开线的参数方程,以基圆圆心,O,为原点，直线,OA,为,x,轴，建立平面直角坐标系。,设基圆的半径为,r,，绳子外端,M,的坐标为（,x,，,y,）。,显然,点,M,由角 唯一确定。,A,B,M,O,x,y,渐开线的参数方程,这就是,圆的渐开线的参数方程,。,渐开线的应用：,由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。,设计加工这种,齿轮,，需要借助圆的渐开线方程。,在,机械工业,中,广泛地使用齿轮传递动力,.,A,B,M,O,x,y,渐开线的参数方程,齿轮工作原理,课堂小结,摆线的参数方程,渐开线的参数方程,作业,课本,p47 1,，,2,推导短幅摆线、长幅摆线的参数方程.,