建立数学模型

第,一,章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型,1.2 数学建模的重要意义,1.3 数学建模示例,1.4 数学建模的方法和步骤,1.5 数学模型的特点和分类,1.6 怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型 ,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 ,物理模型,地图、电路图、分子结构图 ,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分,进行简缩、抽象、提炼出来的,原型,的替代物,模型,集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征,1.1,从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型,“航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，,从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x,=,20,y,=,5,求解,航行问题,建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（,x, y,表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5,）；,回答原问题（船速每小时,20,千米,/,小时）。,数学模型 (Mathematical Model) 和,数学建模（Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学结构,。,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.2,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，,越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,1.3,数学建模示例,1,.,3.1,椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,x,B,A,D,C,O,D,C ,B,A,用,(对角线与,x,轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,四个距离(四只脚),A,C,两脚与地面距离之和 ,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和 ,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD,绕O,点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f,(,) ,g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,)至少一个为0,数学问题,已知：,f,(,) ,g,(,),是,连续函数 ;,对任意,，,f,(,) ,g,(,)=0 ;,且,g,(,0,)=0，,f,(,0,) 0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,) =,g,(,0,) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子,旋转90,0,，对角线AC和BD互换。,由,g,(,0,)=0，,f,(,0,) 0 ，知,f,(,/2,)=0 ,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0和,h,(,/2,)0.,由,f, g,的连续性知,h,为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在,0, 使,h,(,0,)=0,即,f,(,0,) =,g,(,0,) .,因为,f,(,) ,g,(,)=0, 所以,f,(,0,) =,g,(,0,) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和,f,(,),g,(,)的确定,1.,3.2,商人们怎样安全过河,问题(智力游戏), 3名商人, 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.,商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策,每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求,在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,河,小船(至多2人),模型构成,x,k,第,k,次渡河前此岸的商人数,y,k,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k, y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2, ,s,k,=(,x,k, y,k,)过程的状态,S=(,x, y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S ,允许状态集合,u,k,第,k,次渡船上的商人数,v,k,第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k, v,k,)决策,D=(,u, v,),u+v,=,1, 2 ,允许决策集合,u,k, v,k,=0,1,2;,k,=1,2, ,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,求,d,k,D(,k,=1,2,n), 使,s,k,S,并按,转移律,由,s,1,=(3,3)到达,s,n,+1,=(0,0).,多步决策问题,此路不通,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法,编程上机,图解法,状态,s,=(,x,y,) 16个格点, 10个 点,允许决策 移动1或2格;,k,奇,左下移;,k,偶,右上移.,s,1,s,n,+1,d,1,，,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,d,1,d,11,允许状态,S=(,x, y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,背景,年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.3,如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出 (,1798,),常用的计算公式,x,(,t,) ,时刻,t,的,人口,基本假设,: 人口(相对)增长率,r,是常数,今年人口,x,0, 年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数(逐渐下降),阻滞增长模型(,Logistic,模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率(,x,很小时),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型(,Logistic,模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r, x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,专家估计,阻滞增长模型(,Logistic,模型),r,=0.2557,x,m,=392.1,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国,2010,年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic,模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(,Logistic,模型),r,=0.2490,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的,统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究,(Case Studies),来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,1.4,数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,表述,求解,解释,验证,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,1.5,数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1.6,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,