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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Jingsaitixuanjiang,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模竞赛题选讲,(1),最优捕鱼策略,为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。,考虑对某种鱼（,鳀鱼,）的最有捕捞策略：,鳀鱼,：,体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形， 眼、口大，无侧线，生活在海中。鳀鱼是一种生活在,温带,海洋中上层的小型,鱼类,，广泛分布于我国的,渤海,、,黄海,和,东海,，是其它经济鱼类的,饵料生物,。,（,1996,年全国大学生数学建模竞赛,A,题）,假设这种鱼分,4,个年龄组，称,1,龄鱼，,，,4,龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为,5.07,，,11.55,，,17.86,，,22.99,（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为,0.8,（,1,/,年）,这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条,4,龄鱼的产卵量为,1.109,10,5,(,个,),，,3,龄鱼的产卵量为这个数的一半，,2,龄鱼和,1,龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后,4,个月，卵孵化并成活为,1,龄鱼，成活率（,1,龄鱼条数与产卵量,n,之比）为,1.2210,11,/(1.22 10,11,+,n,）。,渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的,8,个月内进行捕捞作业。如果每年投入的,捕捞能力,（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为,捕捞强度系数,。通常使用,13,mm,网眼的拉网，这种网只能捕捞,3,龄鱼和,4,龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为,0.42 : 1,。渔业上称这种方式为,固定努力量捕捞,。,1,）建立数学模型分析如何实现,可持续捕获,（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（,捕捞总量,）。,2,）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务,5,年，合同要求,5,年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为,122,，,29.7,，,10.1,，,3.29,（,10,9,条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。,一、问题的分析,1,、给出了各年龄组鱼群的转化规律,2,、给出了它们的相对自然死亡率,1,龄鱼,2,龄鱼,3,龄鱼,4,龄鱼,收获,1,8,月,捕获,产卵,9,12,月,自然死亡,鱼的,条数,每条,3,龄鱼,产卵量为,(,个,),，,只有,3,、,4,龄鱼,在每年的,9,、,10,、,11,、,12,月份,集中产卵。,每条,4,龄鱼,产卵量为,1.10910,5,(,个,),，,成活率,（,1,龄鱼条数与产卵总量,n,之比,）,3,、 给出了鱼产卵的时间分布,并给出,3,、,4,龄鱼产卵的数量关系：,在最后,4,个月的季节里，,（如渔船数，下网次数）及,3,、,4,龄鱼捕捞强度系数的比值。,捕捞强度系数,k,：单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条,数成正比。,建模目标,要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变,(,保证可持续捕获的要求,),并在此条件下，得到以,重量计,的最大捕获量。,4,、,固定每年投入的捕捞能力,二、主要变量说明,:,表示,（,t,+1,）,年,i,龄鱼的数量,:,表示,4,龄鱼,捕捞强度系数,，则,3,龄鱼捕捞强度系数为,:,3, 4,龄鱼的产卵总数,(,i,=1,2,3,4;,t,=0,1,2,3,4 ),:,表示所捕捞鱼的重量,主要变量,：各龄鱼的数量。,三、 模型建立,建立,各相关量与捕捞强度系数,k,的关系，,控制,k,到最佳数值，在满足可持续捕获的条件下,达到,最大收获量。,建模的关键,：,1,、 鱼的数量变化的,一般模型,各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定状态，即到平衡年时,年末和年初的各龄鱼的数量基本保持不变。,自然死亡情况下,有捕捞情况下,2,、各龄鱼数量变化的,具体模型,设,年初,各龄鱼数量分别为：,8,月末,，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为：,12,月末,，各龄鱼群数量为：,卵的总数量为,n,，,t,按,年,算，则,18,月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，,8,月末,912,月份，产卵季节。期间无捕捞，则,12,月末,再设 分别为,3,、,4,龄鱼在产卵期平均数量，,n,为,3,、,4,龄鱼产卵数量之和，,t,按,月,计,若,t,按,月,算，则,故产卵期产卵总量为,a,为平均每条,4,龄鱼产卵个数,个。,设,为第,2,年各龄鱼的,初值数量,则有,1,）,1,龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转,化而成，即,4,）,4,龄鱼即上一年末,3,龄鱼,2,）,2,龄鱼由上一年,1,龄鱼转化而成，即,3,）,3,龄鱼即上一年末,2,龄鱼,3,、鱼群持续变化的,递推,关系,4,、捕获量的数学模型,对于一种可捕获鱼而言，设一年内捕获量为,P,，初值为,s,(0),，则,P,可表示为,18,月份，捕捞,3,龄鱼和,4,龄鱼的数量分别为,又设每条,3,龄鱼和,4,龄鱼的数量分别为,m,3,和,m,4,克,则每年捕获鳀鱼的总重量,克,优化模型,四、模型求解,优化模型,取一个,k,值，就可得到一个,G,，现须选取当的,k,值，使年收获量,G,最大。,具体算法如下,(,分,6,步完成,),：,根据递推关系分别算出,选定,k,值；,再把,s,11,s,21,s,31,s,41,作为第,2,年捕获前的初值,重复,，根据递推关系算出下一年的,再重复,、,当计算到年初与年末的各龄鱼的数量一致时，即,鱼群稳定,为止，根据,算出年捕获量；,另定,k,值，重复,；,根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的,k,值。,五、 计算结果与分析,k,总捕获量,G,(,10,12,g,),k,总捕获量,G,(10,12,g,),0.1,0.021 65,0.5,0.090 76,2.0,0.237 4,5.0,0.324 8,10.0,0.367 4,12.2,0.376 1,14,0.379 5,14.95,0.384 46,15.50,0.384 96,15.6,0.385 02,15.7,0.385 07,15.8,0.385 12,15.9,0.385 15,16.0,0.385 18,16.1,0.385 19,16.2,0.385 20,16.3,0.385 19,16.4,0.385 17,17,0.384 8,18,0.383 3,16.2,0.385 20,由计算结果表，可知，当,k,16.2,时，捕获量,G,随,k,的增大而增大，当,k,16.2,时，捕获量,G,随,k,的增大而减,小。,故可取,k,=16.2,时，其稳定,年的捕获量达到最大：,以上是问题的,第一问,。,再利用初值,s,30,=10.110,9,s,40,=3.2910,9,第二问,：五年内的收获量,计算,则，五年内的收获量为,及递推关系,s,1,=,As,0,
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