高分子材料加工计算机模拟第二章 材料科学研究中的数学模型

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章,材料科学研究中的数学模型,数学模型是数学科学连接其他非数学学科的中介和科学研究的有力工具。数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化，抽象为一个数学问题或数学模型，然后用适当的数学方法求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。,本章将介绍数学模型的基本概念，建立数学模型的基本步骤、原则和方法。,第一节 数学模型基础,一,.,基本概念,如在物理学中，力学的牛顿三定律，电子学,中的基尔霍夫定律，马尔萨斯的人口模型。,通常把客观存在的事物及其运动形态统称为实,体，模型则是对实体的特征及其变化规律的一种表示,或抽象。,数学模型,就是利用数学语言对某种事物系,统的特征和数量关系建立起来的符号系统。,数学模型是有目的的对客观所做的一种抽象模,拟，它是数学公式、数学符号、程序、图表等刻画客,观事物的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽,象，简化而又本质的描述。,二数学模型的分类,1,）按照对实体的认识过程来分，数学模,型可以分为,描述性数学模型,和,解释性数学模型,。,描述性模型是从,特殊到一般,，从分析具体客观事物,及其状态开始，最终得到一个数学模型。,解释性数学模型是由,一般到特殊,，从一般的公理系统出发，借助数学壳体，对公理系统给出正确解释。,2,）按照建立模型的数学方法分，可以分为,初等模型,，,图论模型,，,规划论模型,，,微分方程,模型,，,最优控制模型,，,随机模型,，,模拟模型,。,随机模型是根据,概率论,的方法讨论描述随机现象,的数学模型。例如描述高分子材料链式化学反应的数,学模型。,模拟模型是用其他现象或过程来描述所研究的现,象或过程，用模型的性质来代表原来的性质。例如采,用非牛顿流体力学和流变学来描述高聚物加工过程、,建立液晶高分子材料本构方程。,3,）按照模型的应用领域分为人口模型、交通模型等。,4,）按照模型的特征分，可分为,静态模型,和,动态模型,、,确定性模型,和,随机模型,、,离散,模型,和,连续性模型,、,线性模型,和,非线性模型,等。,如果系统的有关变量是连续变量，则称其为连续,系统，它们的数学模型为,连续性模型,。如果系统的有,关变量是离散变量，则称该系统为离散系统，其模型,为,离散模型,，当采用有限单元法和有限差分法研究材,料某些性质时（如材料的稳、瞬态热传导问题），连,续性模型被转化为离散模型。,如果系统输入和输出成线性关系，则该系统称为,线性系统，其数学模型为,线性模型,；如果系统输入与,输出呈非线性关系，则该系统称为非线性系统，其数,学模型称为,非线性模型,。,5,）按照对模型结构了解的程度可以分为,白箱模型,、,灰箱模型,和,黑箱模型,。,三、数学模型的作用,数学模型的根本作用,在于它将客观原型进行抽,象和简化，便于人们采用定量的方法去分析和解决,实际问题。,材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当,代重要科学支柱，数学的应用起着非常重要的作,用，利用数学这一有效工具，可以深刻认识客观现,象的本质规律，促进学科发展。在材料研究和应用,中，要对有关问题进行计算，就必须先建立该问题,的数学模型。（,材料设计,，,生产过程（,极端条件，,纳米枪）,第二节 建立数学模型的一般步骤和原则,数学模型的建立，简称数学建模。数学,建模是构造刻画客观事物原型的,数学模型,并,用以分析、研究和解决,实际问题,的一种科学,方法。,运用这种科学方法，必须从实际问题出发，紧紧围绕,建模的目的，抽象，简化，逐步完善，直到构造出一个能够,用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。是一种定量解,决实际问题的科学方法，还是一种从无到有的创新活动过,程。,一般采用的建模基本步骤如下：,1.,建模准备,建模准备是确立建模课题的过程，就是要了,解问题的实际背景，明确建模的目的。掌握与课题,有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数,据，弄清问题的实际背景和建模的目的，进行建模,筹划。,2.,建模假设,建模假设就是根据建模的目的对原型进行适当的,抽象,、,简化,，把那些反映问题本质属性的形态、量及,其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆,脱原来的具体复杂形态，形成对建模有用的,信息资源,和,前提条件,，这是建立模型最关键的一步。,对模型的抽象、简化不是无条件的，必须按照假设的合理性,原理进行，,假设合理性原则有以下几点,：,(1),目的性原则,从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模无,关的或关系不大的因素。,(2),简明性原则,所给出的,假设条件,要简单、准确，有利于构造模型。,(3),真实性原则,假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许,的误差范围。,(4),全面性原则,对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的,环境条件。,建模假设,实例,：,聚合物熔体的动态流变学分析,聚合物熔体在毛细管中完全发展区的流场可以简化为如图的形式。,r,R,L,d,z,熔体流速方向为,z,方向，速度梯度,方向为,r,方向，,方向为圆周方向。,对聚合物熔体在毛细管内的动态流,动作理论分析时，进行如下假设：,动态挤出时，料筒内经毛细管挤出的物料已完全塑化熔融。,(2),熔体为不可压缩的流体，即其熔体密度,保持不变；,(3),熔体在毛细管中的流动为充分发展流动；,(4),毛细管内的温度沿全长不变，即聚合物熔体为等 温流动；,(5),熔体流动为轴向层流，,z,向为流动方向，,z,向的速度,u,z,不为零，,r,与方向的速度为零，即,u,r,=u,=0,；,(6),熔体在流道壁面上,r=R,处没有滑动，即当,r=R,时，,u,z,=0,；,(7),重力可以忽略；,根据以上假设，可知聚合物熔体挤出过程中的流,场具有以下分布形式：,U,z=,u,z,(r,z),3.,构造模型,在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的内,容，首先区分哪些是常量、哪些是变量，哪些是已知,的量，哪些是未知的量，然后查明各种量所处的地,位、作用和它们之间的关系，选择适当的,数学工具,和,构造模型,的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题,的数学模型。,4,模型求解,构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分,析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解,模型的,数学方法,和,算法,，然后编写,计算机程序,或运,用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模,型的求解。,5.,模型分析,根据建模目的要求，对模型求解的数字结果，,或进行,稳定性分析,，或进行系统参数的,灵敏度分,析,、,误差分析,。通过分析，如果不符合要求，就修,改或增减建模假设条件，重新建模。,如果通过分析符合要求，还可以对模型进行,评,价,、,预测,、,优化,等方面的分析和探讨。,6.,模型检验,模型分析符合要求之后，还必须回到客观实,际中去对模型进行检验，看是否符合客观实际。,7.,模型应用,模型应用是数学建模的目的。一个成功的数学模,型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解,决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中特殊,作用。,以上介绍的数学建模基本步骤应该根据具体问题灵活应,用，或交叉进行，或平行进行，不必拘泥于一种模式，最大限,度地发挥主观能动性和聪明才智。,实例,：,激光冲击残余应力的估算,目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏,性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术,在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的,成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。,激光冲击的基本力学模型：,弹性形变,塑性形变,Shock wave,.,假设：,1),假设在微秒时间内结构在厚度方向上所有质量都受到波,及，而结构塑性动力响应通常需要经历毫秒以至更长时间才,会达到结构的最大形变；,）假设被冲击的工件材料为理想的刚塑性材料；,）激光冲击压力为,GPa,;,激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积,元，仅在,x,方向考虑被压缩，即冲击波沿,X,方向传播，考虑应力,和应变的关系，为保持,x,的单轴应变条件而假设,y,= ,z,形变,侧面,Y,、,Z,方向尺寸不变，,X,方向有弹塑性变形，激光冲击后弹,性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。,x,y,x,y,x,X,0,2.,根据,Mises,屈服准则有：,x-,y,|,b,在弹性范围内，应力与应变的关系为：,x,=,+,2,x,y,=,+,2,y,z,=,+,2,z,式中：,x,y,z,，,因为是单轴变形，侧面受到介质约束，,x,（,V,0-,V)/V, ,y,=,z,=0,V,是体积，,2(+u),，和,u,是材料的拉梅常数，是泊松比。,（）,在塑性变形状态，应变增量是,弹性,和,塑性增量,之和。,因而在,X,方向有：,d,x,=,d,x,e,+,d,x,p,因为不存在塑性膨胀，所以有,d,x,p,d,y,p,+,d,z,p,=0,微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的，,d,x=,d,+,2(,d,x,e,+d,x,p,),d,y,=,d,+,2,（,d,y,e,+d,y,p,）,d,z,=d+2(,d,z,e,+d,z,p,）,（）,激光冲击应力作用后，在冲击强化区的,r,，,z,方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全,恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可,得简单算式：,y=,1-,x,实际上,x,是随冲击应力波的衰减而变化，故残余应力,y,也是随,x,的变化而变化，设：,x,e,-x,有,x,=,max,e,-bx,(3),(4),其中,b,为参量；,在玻璃（,K9),的约束层的条件下，激光冲击,产生的峰压可以估算为：,P,max,=0.287,1/3,(A.q,0,),2/3,如果有,max,=,p,max,代入公式（）,x,=,p,max,e,-bx,y,=,p,max,e,-bx,1-,(5),显然该式,(5),所表达的是,P,max,未卸载时残余,应力的情形。令,x=0,，取,P,max,2.8GPa,，,0.29,，则,b,不论取何值，,y=-1.12GPa,，,这显然与实际测量值,y=-400MPa,相去甚远，因此必须对式（）加以修正。,首先，由弹性力学原理可知：,E,因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此有：,y,E,（,6),其次，由冲击动力学原理可知，当材料的冲击变形深度相同时，材料本身的弹性模量大，屈服极限高，冲击波对材料产生的残余应力的影响就深。如果材料本身弹性模量小，局部极限低，冲击波对材料产生的残余应力深度就浅。,因此有：,y,e,-bx/E (7),结合（）（）（）（）,x,EP,max,e,-bx/E,y,E,P,max,e,-bx/E,1-,(8),然而此时，还需使公式（）满足边界条件,X=0,时，解决,y,与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在公式（）中加入一个系数,K,即：,x,=,EkP,max,e,-bx/E,y,=,Ek,P,max,e,-bx/E,1-,(9),公式,(9),较好地反映了材料受到激光冲击作用时的综合力学性能与残余应力之间的关系，只需代入相应的参数并利用相应的实验数据对式,(9),进行拟合，从而求得,K,和,b,，就可以拟合出激光冲击强化工作产生的残余应力的一般计算公式。,利用,45,钢试样的一组残余应力数据对式（,9),进行拟合，从而求得,K=2.3x10,-6,(MPa),-1;,b=2.16x10,8,(MPa/m),，将所得的,k,b,数据代入公式（,9,）得到激光冲击强化残余应力的一般估算经验公式：,x,=2.3x10,-6,EP,max,e,-2.16x10 x,/E,y,=2.3x10,-6,P,max,e,-2.16x10 x,/E,8,E,-1,式中：,y-,残余应力,E-,材料弹性模量,x-,沿激光冲击波方向的深度,P,max,-,激光冲击波的峰值压力,第三节 材料科学的数学建模方法,在材料科学中常用的数学建模方法有,理论,分析法,、,模拟方法,、,类比分析法,、,数据分析,法,。,一、理论分析法,理论分析法指应用自然科学中的定理和定律，,对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从,而建立系统的数学模型。在工艺比较成熟，对机理比,较了解时，可采用理论分析法。根据问题的性质可直,接建立模型。,例：在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。,二、模拟方法,模型的结构和性质已经了解，但其数量及其求,解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其,相同，而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模,型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或,实验并求得其结果。,分为：,实验模型来模拟理论模型,和,简单理论模型来,模拟分析较复杂理论模型。,例如，研究,钢铁材料中裂纹,在外载荷作用下尖端的应力、应变分布。 步骤：,1,）采用,环氧树脂,（,EP,）制备出同样结构的模型，并加工出裂纹。,2),将环氧树脂放入恒温箱内，对环氧树脂模型在冷冻温度下加载，并在室温和不变的条件下缓慢冷却到室温卸载。,3),将已冻结应力的环氧树脂模型在,平面偏振光场,或,圆偏振光场,下观察，环氧树脂模型中出现一定分布的条纹，这些条纹反映了模型在受载时的应力、应变情况。,4),用照相法将条纹记录下来并确定条纹级数，再根据条纹级数计算应力。,5),根据相似原理，材料等因素确定一定的比例系数，将计算出的,应力换算成钢铁材料中的应力，从而获得裂纹尖端的应力，应变,分布。,三、类比分析法,若两个不同的系统，可以用同一形式的数学,模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比,分析法根据两个（或两类）系统某些属性或关系的,相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的,一种方法。,例 在,聚合物结晶过程,中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程。,采用类比分析法。聚合物结晶过程包括,成核,和,晶体生长,两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生,成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此,可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度,与时间的关系。,在水面上任选一参考点，根据概率分析，在时,间从,0,到,t,时刻的范围内通过该点的水波数为,m,的概,率,P(m,),符合,Poisson,分布（假设落下的雨滴数量大,于,m, t,时刻通过任意点,P,的水波数的平均值为,E),。,（,1,）,显然有,（）,把水波扩散模型作为结晶前期的模型来讨论薄层熔体形成“,二维球晶,”的情况。,雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相当于二维球晶的生长表面，,当,m=0,时，意味着所有的球晶面都不经过,p,点，即,p,点仍处于,非晶态,。根据式（）可知其概率为：,设此时,球晶部分,占有的体积分数为 ，则有,（）,下面求平均值,E,，,它应为时间的函数。,(a),先考虑平面内一次性同时成核的情况,，它对应所有雨滴同时落入水面，到,t,时刻，水波前进的距离为 ，那么，以为半径的圆面内的雨滴所产生的水波都将通过,p,点。（见图）。,r,r,r,dr,r,r,r,dr,把这个面积称为有效面积，通过,p,点的水波数等于这个有效面积内落入的雨滴数。,设单位面积内的平均雨滴数为,N,当时间由,t,增加到,t+dt,时，有效面积的增量，即图中阴影部分的面积，为 ，平均值,E,的增量为,:,p,若水波前进速度即球晶径向生长速度为,，则 ，积分得平均值同,t,的关系为：,代入式（,1,）得,（,4,）,式（,4,）表示晶核密度为,N,，,一次性成核时体系中的非晶部分与时间的关系。,(b),如果平面内晶核是不断形成的,，相当,于不断下雨的情况，设单位时间内单位面积,上,平均产生的晶核数,即晶核生长速度为,I,到,t,时刻产生的晶核数（相当于生成的水波）则,为,It,。,时间增加,dt,，,有效面积的增量仍,为 ，其中，只有满足 的条,件下产生的水波才是有效的，因此有 ：,积分得,代入式（） 中得,（,5,）,此为晶核不断形成时，聚合物的非结晶度与时间的关系。,(c),同样的方法可以用来处理三维球晶，,这时把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量 来代替，对于同时成核体系（,N,为单位体积的晶核数），则,对于不断成核体系，定义,I,为单位时间，单位体积中产生的晶核数，则,代入,（,c)=e,-E,将上述情况归纳起来，可用一个通式表示：,式中，,k,是同核密度及晶体一维生长速度有关的常数，称为结晶速度常数。该式称为,Avrami,方程,。,下面对所建的模型进行检验。,尼龙,1010,等温结晶体数据的,Avrami,处理结果,lgt,四、数据分析法,当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分,析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若,干能表征,系统规律、描述系统状态的数据,可利用,时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系,统的结构模型。回归方程是处理这类问题的有利工,具,。,求一条通过或系统回归方程的一般方法如下：,设有一未知系统，已测得该系统有,n,个输入,-,输出数据点为：,或,现寻求其函数关系,无论,x,，,y,为什么函数关系，假设用一多项式,作为对输出（观测值）,y,的,估计,。若能确定其阶数及,系数,，,则所得到的就是回归方程,-,数学模型。,各项系数即回归系数,。,当输入为 ，,输出为,时，多项式拟合曲,线相应于,的,估计值,为：,现在要使多项式,估计值,与,观测值,的差的平方和,为最小，这就是最小二乘法，令,得到下列正规方程组,（,1-65,）,一般数据点个数 大于多项式阶数 ，这样，从式,（,1-65,）可求出回归系数,，从而建立所回归方程数学模型。由已知,观测值寻求,x,与,y,之间函数关系,的方法在工业控制应用中称为“系统辩识”,例 经实验获得低碳钢的屈服点 与晶粒直径,d,对应关系见表,1-3,中，用最小二乘法建立起 与 之间关系的数学模型。,表,1-3,低碳钢屈服点与晶粒直径,400,50,10,5,2,d,86,121,180,242,345,以 作为,x,，,作为 ，取,为一直线。设实验数据点为 ，一般来,说，直线并不通过其中任一实验数据点，因,为每点均有偶然误差 ，有,所有实验数据点误差的平方和为,按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线是最佳直线。求 最小值的条件是,:,及,得出,（,1,）,最小二乘法过程中的各计算值,1,2,3,4,5,86,121,180,242,345,974,0.05,0.14,0.316,0.447,0.707,1.66,7396,14641,32400,58564,119025,232026,0.0025,0.02,0.1,0.2,0.5,0.8225,4.3,16.94,56.88,108.74,243.915,430.209,将计算结果代入方程（,1,），联立求解得,得到以下公式,这是典型的霍尔,-,配奇公式。,第四节 聚合物加工模型化,聚合物加工过程模型主要是传递现象模型研究及,计算机应用,一些主要加工单元操作,挤出,、,注射,、,压,延,、,吹塑,等，均已建立了不同目的的多种数学模型。,1.,挤出,对于单螺杆、双螺杆以及口模已作过详细的研,究。,单螺杆挤出机的模拟通常包括,固体输送段,、,熔化,段,及,计量段,。流体模型为无弹性流体。计量段早期模,型基于等温、充分发展流，包括,压力流,和,拖曳流,。非,等温模拟通过引入通道宽度方向的热传导以及沿流动,方向的热对流而逐渐发展。,数值技术方面，初期解非等温模型就已应用有,限差分法，而有限元法的应用则是近年来发展起来,的。三维有限元模拟仍属于发展的初期，,流动分析,网络法,已用于销钉机筒螺杆挤出机。,口模是挤出系统的重要组成部分，口模流动分,析的目的在于计算,压力,、,应力,、,速度,及,温度场,以及,挤出产物的尺寸,或者按所要求的挤出物形状，确定,口模几何结构。多数模型中使用润滑近似。挤出口,模的放大、,挤出胀大现象,也受到重视。,2.,注射,注射是最广泛的聚合物加工操作，模型研究也较早，,50,年代提出的一维模型，考察了,幂律流体,充模时间与压降的关,系。,60,年代建立了矩形薄腔的非等温模型并研究了,取向,问,题，考察了注塑制品中取向的发展，模具设计、过程条件对,取向分布及取向对制品性能的影响。这期间模型化研究突出,的进展表现在“喷泉效应”的提出。,70,年代有限差解、计算机模拟迅速兴起，开发了粘弹性,流体、中心浇口圆盘、非等温流等较复杂情况下的注射模,型。,80,年代以来热塑性、热固性聚合物，弹性体以及反应系统,注射理论模型有很大进展。,3.,压延,压延是热塑性熔体从受热的反向旋转辊筒间通过，制造薄膜及薄板的连续过程。最早的模型是在,润滑近似,基础上提出的，这些模型分析相等直径、相同转速的辊筒间牛顿流体或幂律流体的对称压延。随后推广到辊筒直径不同、转速不等的非对称压延。,有限元法最适合解压延问题，应用这一技术模拟压延过程，所得结果可预测自由面的形状与位置、旋涡流型、温度、压力分布、辊筒分离力，力矩及功耗等。,