2019数值分析ppt课件

,机动,上页,下页,首页,结束,工科研究生公共课程数学系列,计算数学,计算数学,第,1,章 绪 论,内容提要：,1.1,数值分析研究对象与特点,1.2,数值计算的误差,1.3,误差定性分析与避免误差危害,第1章 绪 论内容提要：,1.1,数值分析研究对象与特点,一、数值分析研究对象,计算机解决科学计算问题时经历的过程,实际问题,模型设计,算法设计,问题的解,上机计算,程序设计,求,方程求根,牛顿法,程序设计,解,上机计算,实例,1.1 数值分析研究对象与特点实际问题模型设计算法设计问题的,数值分析的内容,包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。,数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如,Maple,、,Matlab,、,Mathematica,等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性,以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。,数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数,二、数值分析的特点,面向计算机,，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。,有可靠的,理论分析,，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。,要有好的,计算复杂性,，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。,要有,数值实验,，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。,二、数值分析的特点,三、数值分析的学习方法,初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。,认识建立算法和对每个算法进行理论分析是,基本任务,，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。,注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的,基本原理和思想,，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。,理解每个算法建立的,数学背景、数学原理和基本线索,，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。,要通过,例子,，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。,为掌握本课的内容，还应做一些,理论分析和计算练习,。,三、数值分析的学习方法,1.2,数值计算的误差,一、误差的来源,在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。,1,、,模型误差,在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。,2,、,测量误差,数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。,1.2 数值计算的误差一、误差的来源,3,、,截断误差,数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。,4,、,舍入误差,计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参,数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差。,3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为,误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。,二、绝对误差、相对误差与有效数字,1,、绝对误差与绝对误差限,误差是有量纲的量，量纲同,x,，它可正可负。 误差一般无,法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一,个上界，这个上界称为近似值,x,*,的,误差限,，记为,*,。,误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主,2,、相对误差与相对误差限,2、相对误差与相对误差限,3,、有效数字,定义,3,令,x,是某个数量的真值，,x*,是,x,的近似值,;x,与,x*,都用十进制表示。有效数字就是指,x,与,x*,的多少位数字是一致的。确切地说，,x*,有,x,的,m,位有效数字，则从,x,的左端非零数字所在位起，绝对误差,x*,的前,m,个十进制数位为,0,，随后一位数字取值从,0,到,5,3、有效数字,2019数值分析ppt课件,4,、绝对误差，相对误差与有效数字的关系,绝对误差与相对误差,：由两者定义可知。,绝对误差与有效数字,：,绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。,4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系绝对误差与有效数字：,有效数字与相对误差限,定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了,相对误差限的求法。,有效数字与相对误差限 定理说明有效数位越多，相对,三、数值运算的误差估计,1,、四则运算,三、数值运算的误差估计,2019数值分析ppt课件,2,、函数误差,当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用函数的泰勒展开式进行估计。,2、函数误差,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,1.3,误差定性分析与避免误差危害,一、病态问题与条件数,1,、病态问题：,对一个数值问题本身如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，就是病态问题。,1.3 误差定性分析与避免误差危害,二、算法的稳定性,用一个算法进行计算，由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快就是数值不稳定的，先看下例。,二、算法的稳定性,2019数值分析ppt课件,计算结果：,n,法一,(A),法二,(B),0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.6321,0.3679,0.2642,0.2074,0.1704,0.1480,0.1120,0.2160,-0.7280,7.552,0.6321,0.3679,0.2643,0.2073,0.1708,0.1455,0.1268,0.1121,0.1035,0.0684,计算结果：n法一 (A)法二 (B)00.63210.632,三、避免误差危害的若干原则,1,、,要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。,用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算,x/y,，,若,0|y|,时，,L,n,(x),不一定收敛于,f(x),。,20,世纪初龙格（,Runge,）就给了一个等距节点插值多项式,L,n,(x),不一定收敛于,f(x),的例子。,y=L,10,(x),2.5 分段低次插值y=L10(x),x,1,y=L,10,(x),o,-1,0.5,y,1.5,1,龙格现象,x1y=L10(x)o-10.5y1.51龙格,二、分段线性插值,分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近,f(x).,二、分段线性插值,分段线性插值,三、分段抛物插值,三、分段抛物插值,分段线性插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值,2.6,三次样条插值,样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。,一、三次样条函数,y=L,10,(x),每个小区间上要确定,4,个待定系数，共有,n,个小区间，故应,确定,4n,个参数。,2.6 三次样条插值y=L10(x)每个小区间上要确定4个待,y=L,10,(x),y=L10(x),二、三次样条插值函数的建立,y=L,10,(x),二、三次样条插值函数的建立 y=L10(x),y=L,10,(x),y=L10(x),y=L,10,(x),y=L10(x),y=L,10,(x),系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求法见,5.3,节,追赶法。,y=L10(x)系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求,y=L,10,(x),y=L10(x),y=L,10,(x),y=L10(x),知,识,结,构,图,二,插值法,工具,分段多项式插值,存在唯一性,多项式插值,Hermite,插值,插值公式,误差估计,差商、差分,Lagrange,插值基及函数,定义,性质,定义,性质,导数型,差商型,Lagrange,插值多项式,Newton,插值多项式,等距节点插值公式,存在唯一性,误差估计,插值公式,分段线性插值（公式、误差估计、收敛性）,分段三次,Hermite,插值（公式、误差估,计、收敛性）,三次样条插值（公式、存在唯一,性、误差估计、收敛性）,知插值法工具分段多项式插值存在唯一性多项式插值Hermite,第三章函数逼近,内容提要,3.1,基本概念,3.2,最佳平方逼近,3.3,曲线拟合的最小二乘法,第三章函数逼近内容提要,3.1,基本概念,x,0,x,3,x,5,x,7,x,1,x,4,x,6,x,2,f(x),p(x),3.1基本概念x0x3x5x7x1x4x6x2f(x)p(x,2,、范数与赋范线性空间,2、范数与赋范线性空间,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,3,、内积与内积空间,3、内积与内积空间,2019数值分析ppt课件,1,、最佳平方逼近,3.2,最佳平方逼近,1、最佳平方逼近3.2 最佳平方逼近,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,一、最小二乘法及其计算,3.3,曲线拟合的最小二乘法,一、最小二乘法及其计算3.3 曲线拟合的最小二乘法,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,例,3-3,已知实测数据表如下,求它的拟合曲线,x,i,1 2 3 4 5,y,i,i,4 4.5 6 8 8.5,2 1 3 1 1,0,x,y,2 4 6,8,6,4,2,例3-3 已知实测数据表如下,求它的拟合曲线 xi1,2019数值分析ppt课件,例,3-4,已知实测数据表如下,确定数学模型,y=ae,bx,用最小二乘法确定,a,，,b,。,i,0 1 2 3 4,x,i,y,i,1.00 1.25 1.50 1.75 2.00,5.10 5.79 6.53 7.45 8.46,分析：根据给定数据描图也可确定拟合曲线方程，但它不是,线性形式。因此首先要将经验曲线线性化。本题可以采取等,式两边取对数的形式线性化。数据表中的数值也相应的转化,为取对数之后的数值，见下表。,例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx,i,0 1 2 3 4,x,i,y,i,y,i,1.00 1.25 1.50 1.75 2.00,5.10 5.79 6.53 7.45 8.46,1.629 1.756 1.876 2.008 2.135,i0 1 2,2019数值分析ppt课件,i,0 1 2 3 4,x,i,y,i,19 25 31 38 44,19.0 32.3 49.0 73.3 97.8,i 0 1 2,2019数值分析ppt课件,知,识,结,构,图,三,函数,逼近,理论,预备知识,范数（定义、常用范数）,内积（定义、柯西,-,施瓦茨不等,式、内积诱导范数）,正交多项式（性质、正交化方法、常用正,交多项式的定义和性质）,函数逼,近方法,最佳一致,逼近多项式,最佳平方,逼近,定义,存在唯一性定理,切比雪夫定理,最佳一次逼近多项式的确定,最小二乘,拟合,定义,法方程组和平方误差,基于正交基的最佳平方逼近,离散内积定义,法方程组及哈尔条件,基于正交基的最小二乘拟合,知函数预备知识范数（定义、常用范数）内积（定义、柯西-施瓦茨,第四章 数值积分和数值微分,内容提要,4.1,引言,4.2,牛顿,-,柯特斯公式,4.3,复化求积公式,4.4,龙贝格求积公式,4.5,高斯求积公式,4.6,数值微分,第四章 数值积分和数值微分内容提要,4.1,引言,一、数值求积的基本思想,对定义在区间,a,b,上的定积分,但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分,复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计,算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此,有必要研究积分的数值计算问题。,4.1 引言 但有时原函数不能用初等函数表示,积分中值定理告诉我们：,平均高度,f(),a,b,y,x,y,=,f(x),0,积分中值定理告诉我们：平均高度f() a ,a,f(a+b)/2),b,y,x,y,=,f(x),0,a,b,y,x,y,=,f(x),0,梯形公式,平均高度,中矩形公式,平均高度,a f(a+b)/2) b yxy=,更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式,求积节点,求积系数,这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿,-,莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。,二、代数精度的概念,更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式求积节点求积系数,2019数值分析ppt课件,利用代数精度的概念构造求积公式,利用代数精度的概念构造求积公式,2019数值分析ppt课件,三、插值型的求积公式,三、插值型的求积公式,4.2,牛顿,-,柯特斯公式,一、牛顿,-,柯特斯公式的导出,4.2 牛顿-柯特斯公式,柯特斯系数,柯特斯系数,2019数值分析ppt课件,牛顿,-,柯特斯公式的代数精度,牛顿-柯特斯公式的代数精度,4.3,复合求积公式,一、问题与基本思想,在使用牛顿,-,柯特斯公式时将导致求积系数出现负数,(,当,n,8,时,牛顿,.,柯特斯求积系数会出现负数,),，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式,(,梯形公式或辛普森公式,),，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。,4.3 复合求积公式,二、复合梯形公式,二、复合梯形公式,三、复合辛普森公式,三、复合辛普森公式,x,i,0 1/8 1/4 3/8 1/2,f (x,i,),1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510,x,i,5/8 3/4 7/8 1,f (x,i,),0.9361556 0.9088516 0.8414709 0.8414709,xi0 1/8,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,4.4,龙贝格求积公式,一、梯形,法的递推化,(变步长求积法),4.4 龙贝格求积公式,于是可以逐次对分形成一个序列,T,1,T,2,T,4,T,8,此序列,收敛于积分真值,I,。当,|,T,2,n,-,T,n,|1,时,a,ij,=0,且满足如下的对角占优条件,:,(1)|,b,1,|,c,1,|0,|,b,n,|,a,n,|0,(2)|,b,i,|,a,i,|+|,c,i,|,a,i,c,i,0,i,=2,3,n,-1.,追赶法其中|i-j|1时,aij=0,且满足如下的对角占,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,5.5,向量和矩阵的范数,定义,1 (,向量范数,),x,和,y,是,R,n,中的任意向量,向量范数,是定义,在,R,n,上的实值函数,它满足,:,(1),x,0,并且当且仅当,x,=0,时,x,=,0;,(2),k,x,=|,k,|,x,k,是一个实数,;,(3),x,+,y,x,+,y,常使用的向量范数有三种,设,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,5.5 向量和矩阵的范数定义1 ( 向量范数) x 和,常使用的矩阵范数有三种,设,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,常使用的矩阵范数有三种,设 x=(x1,x2,xn)T,2019数值分析ppt课件,5.6,误差分析,5.6 误差分析,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,知,识,结,构,图,五,直,接,法,解,方,程,组,高斯消,去法,矩阵的正交三,角化及应用,定义,常用范数,范数的性质,初等反射阵,平面旋转变换矩阵,矩阵的,QR,分解,应用：求解超定方程组,高斯消去法,高斯若当消去法,列主元消去法,矩阵三角,分解法,LU,分解,平方根分解,LDL,T,分解,追赶法解三对角方程组,向量和矩,阵的范数,矩阵条件数及迭代改善法,知直高斯消矩阵的正交三定义初等反射阵高斯消去法矩阵三角LU分,第六章解线性代数方程组,的迭代法,内容提要,6.1,引言,6.2,基本迭代法,6.3,迭代法的收敛性,第六章解线性代数方程组内容提要,即,AX=b,其中,A,为非奇异矩阵，当,A,为低阶稠密矩阵时，线性方程组用直接法,(,如高斯消去法和三角分解法,),是有效的，但对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（,A,的阶数,n,很大，但零元素较多），利用迭代法求解是适合的。在计算机内存和运算两方面，迭代通常都可利用,A,中有大量零元素的特点。,考虑线性方程组,6.1,引言,即AX=b 其中A为非奇异矩阵，当A为低阶稠密矩阵时，线性方,本章将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯,塞,德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,6.2,基本迭代,6.2 基本迭代,一、雅可比迭代法,一、雅可比迭代法,2019数值分析ppt课件,二、高斯,塞德尔迭代法,二、高斯塞德尔迭代法,2019数值分析ppt课件,SOR,迭代法的计算公式,:,对,k=0,1,三、逐次超松驰,(SOR),迭代法,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,三、逐次超松驰(S,说明,:,1),=1,即为,GS,（高斯,-,赛德尔迭代法）,;,2),1,，称为超松驰法；,1,，称为低松驰法；,3) SOR,方法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵,与向量的乘法。,例,6-3,用,SOR,迭代法解线性代数方程组,说明: 1)=1,即为GS（高斯-赛德尔迭代法）;例6-3,2019数值分析ppt课件,6.3,迭代法的收敛性,一、一阶定常迭代法的基本定理,6.3 迭代法的收敛性,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,注：定理,5,中的矩阵是迭代矩阵，常用格式的迭代矩阵如下：,1),雅可比迭代法,: B,J,=D,-1,(L+U),，,f,J,=D,-1,b;,2),高斯,-,赛德尔迭代法,: B,G,=(D-L),-1,U,，,f,G,= =(D-L),-1,b;,3) SOR,迭代法,:,B,SOR,=(D-,L),-1,(1-,)D+,U,，,f,SOR,=,(D-,L),-1,b.,注：定理5中的矩阵是迭代矩阵，常用格式的迭代矩阵如下：1,例,6-4,考察用雅可比迭代法求解线性方程组,例6-4 考察用雅可比迭代法求解线性方程组,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,二、某些特殊方程组的迭代收敛性,定义,3,（,1,）按行严格对角占优,（,2,）按行弱对角占优,上式至少有一个不等号严格成立。,二、某些特殊方程组的迭代收敛性定义3 （1）按行严格对角占,定理,8(,对角占优定理,),若矩阵,A,按行,(,或列,),严格对角占优，或,按行,(,或列,),弱对角占优且不可约；则矩阵,A,非奇异。,定理,9,若矩阵,A,按行,(,或列,),严格对角占优,或按行,(,或列,),弱对,角占优不可约；则,Jacobi,迭代、,Gauss-Seidel,迭代都收敛。,定理,12,对于线性方程组,Ax=b,，若,(1) A,为对称正定矩阵，,(2)0,2,，则解,Ax=b,的,SOR,迭代收敛。,定理8(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优，,定理,13,对于线性代数方程组,Ax=b,， 若,A,按行,(,或列,),严格对角占优，或按行,(,或列,),弱对角占优不可约；则当,0,1,时，,SOR,迭代收敛。,定理13 对于线性代数方程组Ax=b， 若A按行(或列)严格,知,识,结,构,图,六,迭,代,法,解,方,程,组,迭代法基本概念,高斯,-,赛德,尔迭代法,迭代格式,收敛条件（充要条件、充分条件四个）,SQR,迭代法,迭代法收敛速度,雅可比迭代法,迭代格式,收敛条件（充要条件、充分条件四个）,迭代格式,收敛条件（充要条件、必要条件、,充分条件五个）,知迭迭代法基本概念高斯-赛德迭代格式SQR迭代法迭代法收敛速,第七章解非线性方程求根,内容提要,7.1,方程求根与二分法,7.2,迭代法及其收敛性,7.3,牛顿法,7.4,弦截法,第七章解非线性方程求根内容提要,7.1,方程求根与二分法,一、引言,非线性方程的分类,7.1 方程求根与二分法非线性方程的分类,由此可知方程的有根区间为,1,2 3,4 5,6,求根问题的三个方面：存在性，分布，精确化。,x,0 1 2 3 4 5 6,f(x),的符号, + + +,由此可知方程的有根区间为1,2 3,4 5,6,二、二分法,0,x,y,X*,x,0,a,b,y=f(x),a,1,b,1,二、二分法0xyX*x0aby=f(x)a1b1,2019数值分析ppt课件,k,a,k,b,k,x,k,f(x,k,),符号,0,1,2,3,4,5,6,1.0,1.25,1.3125,1.3203,1.5,1.375,1.3438,1.3281,1.25,1.375,1.3125,1.3438,1.3281,1.3203,1.3242,+,+,+,k ak bk xkf(xk)符号0 1.0 1.5,二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收,敛太慢,故一般不单独将其用于求根，只用其为根求,得一个较好的近似值。,7.2,迭代法,一、不动点迭代与不动点迭代法,二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收7.2 迭代法,上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方,程归结为一组显示的计算公式，就是说，迭代过程实质上是,一个逐步显示的过程。,上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐,k,x,k,k,x,k,k,x,k,0,1,2,1.5,1.35721,1.33086,3,4 5,1.32588,1.32494 1.32476,6,7,8,1.32473,1.32472,1.32472,kxkkxkkxk01.531.3258861.32473,继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大，,不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的。,一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也毫,无价值。因此，迭代格式形式不同，有的收敛，有的发散，只,有收敛的迭代过程才有意义，为此要研究不动点的存在性及迭,代法的收敛性。,继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大,二、不动点的存在性与迭代法的收敛性,二、不动点的存在性与迭代法的收敛性,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,k,x,k,k,x,k,1,2,3,1.484248034,1.472705730,1.468817314,4,5,6,1.467047973,1.466243010,1.465876820,k xk k xk,k,x,k,k,x,k,1,2,3,0.1,0.089482908,0.090639135,4,5,6,0.090512616,0.090526468,0.090524951,k xk k xk,三、局部收敛性与收敛阶,三、局部收敛性与收敛阶,k,x,k,迭代法,(1),迭代法,(2),迭代法,(3),迭代法,(4),0,1,2,3,x,0,x,1,x,2,x,3,2,3,9,87,2,1.5,2,1.5,2,1.75,1.73475,1.732631,2,1.75,1.732143,1.732051,kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0 x,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,k,x,k,| x,k,- x,k-1,|,0,1,2,3,1.5,1.481248,1.482671,1.482563,0.018752,0.001423,0.000108,k xk| xk- xk-1|0,7.3,牛顿法,一、牛顿法及其收敛性,7.3 牛顿法,k,x,k,k,x,k,0,1,0.5,0.57102,2,3,0.56716,0.56714,kxkkxk00.520.56716,2019数值分析ppt课件,二、牛顿法应用举例,二、牛顿法应用举例,2019数值分析ppt课件,k,x,k,0,1,2,3,4,10,10.750000,10.723837,10.723805,10.723805,kxk010,三、简化牛顿法与牛顿下山法,三、简化牛顿法与牛顿下山法,k,x,k,x,k,x,k,f(x,k,),0,1,2,3,4,1.5,1.34783,1.32520,1.32472,0.6,17.9,发散,0.6 -1.384,1.140625 -0.656643,1.36181 0.1866,1.32628 0.00667,1.32472 0.0000086,kxkxkxk,四、重根情形,四、重根情形,2019数值分析ppt课件,k,x,k,(1),(2),(3),0,1,2,3,x,0,x,1,x,2,x,3,1.5,1.458333333,1.436607143,1.425497619,1.5,1.416666667,1.414215686,1.414213562,1.5,1.411764706,1.414211438,1.414213562,7.4,弦截法,kxk(1)(2)(3)0x01.51.51.57.4 弦,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,k,x,k,k,x,k,0,1,2,0.5,0.6,0.56532,3,4,0.56709,0.56714,kxkkxk00.530.56709,知,识,结,构,图,七,方,程,近,似,求,根,基本概念（单根、重根、有根区间、不动点、收敛阶）,求根方法,二分法及其收敛性,不动点迭代法及其收敛性定理,（不动点迭代法的加速技巧）,牛顿迭代法及其收敛性,插值型迭代法（多点迭代）,弦截法,抛物线法,知方基本概念（单根、重根、有根区间、不动点、收敛阶）求根方法,第八章 矩阵特征值问题计算,内容提要,8.1,引言,8.2,幂法及反幂法,第八章 矩阵特征值问题计算内容提要,8.1,引言,物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题,(,大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等,),，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。,8.1 引言,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,8.2,幂法及反幂法,一、幂法,幂法是一种求实矩阵,A,的按模最大的特征值,1,及其对应的特征向量,x,1,的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。,8.2 幂法及反幂法一、幂法,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,k,U,k,(,规范化向量,),Max(v,k,),0,1,5,10,20,(1 1 1),T,(0.9091 0.8182 1),T,(0.7651 0.6674 1),T,(0.7494 0.6508 1),T,(0.7482 0.6497 1),T,2.7500000,2.5587918,2.5380029,2.5365323,于是主特征值为：,2.5365323,；,对应特征向量为：,(0.7482 0.6497 1),T,kUk(规范化向量)Max(vk) 0(1,二、,加速方法,二、加速方法,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,k,Uk(,规范化向量,),Max(vk),0,5,6,7,8,9,10,(1 1 1),(0.7516 0.6522 1),(0.7491 0.6511 1),(0.7488 0.6501 1),(0.7484 0.6499 1),(0.7483 0.6497 1),(0.7482 0.6497 1),1.7914011,1.7888443,1.7873300,1.7869152,1.7866587,1.7865914,三、反幂,法,反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。,也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。,kUk(规范化向量)Max(vk) 0(1,2019数值分析ppt课件,2019数值分析ppt课件,20