第八章系统状态变量分析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,八,章,系统状态变量分析,8.1 状态变量与状态方程,一、状态变量与状态方程,二、动态方程的一般形式,8.2 状态方程的建立,一、电路状态方程的列写,二、,由输入-输出方程建立状态方程,8.3 离散系统状态方程的建立,8.4 连续系统状态方程的解,8.5 离散系统状态方程的解,第八章 系统状态变量分析 8.1 状态变量与状态方程,1,第,八,章,系统状态变量分析,前面的分析方法称为,外部法,，它强调用,系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性,。其特点：,（1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；,（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制,。,本章将介绍的,内部法,状态变量法,是用n个状态变量的,一阶微分或差分方程组（状态方程）,来描述系统。优点有：,（1）提供系统的内部特性以便研究。,（2）便于分析多输入多输出系统；,（3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。,第八章 系统状态变量分析 前面的分析方法称为,2,8.1 状态变量与状态方程,一、状态与状态变量的概念,从一个电路系统实例引入,以,u,(,t,)和,i,C,(,t,)为输出,若还想了解内部三个,变量,u,C,(,t,),i,L1,(,t,),i,L2,(,t,)的变化情况。,这时可列出方程,a,8.1 状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念从一个电,3,这是由三个内部变量,u,C,(,t,)、,i,L1,(,t,)和,i,L2,(,t,)构成的一阶微分方程组。,若初始值,u,C,(,t,0,)、,i,L1,(,t,0,)和,i,L2,(,t,0,)已知，则根据,t,t,0,时的给定激励,u,S1,(,t,)和,u,S2,(,t,)就可惟一地确定在,t,t,0,时的解,u,C,(,t,)、,i,L1,(,t,)和,i,L2,(,t,)。,系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出：,一组代数方程,这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和,4,状态与状态变量的定义,系统在某一时刻,t,0,的,状态,是指表示该系统,所必需最少,的一组数值，已知这组数值和,t,t,0,时系统的激励，就能完全确定,t,t,0,时系统的全部工作情况。,状态变量,是描述状态随时间,t,变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的,状态,。,对,n,阶动态系统需有,n,个独立的状态变量，通常用,x,1,(,t,)、,x,2,(,t,)、,x,n,(,t,)表示。,说明,（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；,（2）状态变量应线性独立；,（3）状态变量的选择并不是唯一的 。,在初始时刻的值称为,初始状态,。,状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是,5,二、状态方程和输出方程,在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时，一般分,两步,进行：,（1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；,（2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。,状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为,状态方程,。,状态方程,描述了,状态变量的一阶导数与状态变量和激励,之间的关系 。,而描述,输出,与状态变量和激励之间关系的一组,代数方程,称为,输出方程,。,通常将状态方程和输出方程总称为,动态方程,或,系统方程,。,二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分,6,对于一般的,n,阶多输入-多输出LTI连续系统，如图 。,其状态方程和输出方程为,对于一般的n阶多输入-多输出LTI连续系统，如图 。其状态方,7,写成矩阵形式：,状态方程,输出方程,其中,A,为,n,n,方阵，称为,系统矩阵,，,B,为,n,p,矩阵，称为,控制矩阵,，,C,为,q,n,矩阵，称为,输出矩阵,，,D,为,q,p,矩阵,对,离散系统,，类似,状态方程,输出方程,状态变量分析的,关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。,写成矩阵形式：状态方程输出方程其中A为nn方阵，称为系统矩,8,8.2,连续系统状态方程的建立,一、由电路图直接建立状态方程,首先选择状态变量 。,通常选,电容电压,和,电感电流,为状态变量。,必须保证所选状态变量为,独立的电容电压和独立的电感电流,。,四种非独立的电路结构,8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方,9,状态方程,的建立：,根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。,由于,为使方程中含有状态变量,u,C,的一阶导数 ，,可对接有,该电容的独立结点,列写,KCL,电流方程；,为使方程中含有状态变量,i,L,的一阶导数 ，,可对含有,该电感的独立回路,列写,KVL,电压方程。,对列出的方程，只,保留状态变量和输入激励,，设法,消去其它中间的变量,，经整理即可给出,标准的状态方程,。,对于,输出方程,，通常可用,观察法,由电路直接列出。,状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于为,10,由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：,（1）选电路中所有,独立的电容电压和电感电流作为状态变量,；,（2）对,接有所选电容的独立结点列出KCL,电流方程，对,含有所选电感的独立回路列写KVL,电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程,将它们消去,，然后整理给出,标准的状态方程形式,；,（4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。,由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： （1）选电路中所,11,例,：,电路如图，以电阻,R,1,上的电压,u,R1,和电阻,R,2,上的电流,i,R2,为输出，列写电路的状态方程和输出方程。,解,选状态变量,x,1,(,t,) =,i,L,(,t,),x,2,(,t,) =,u,C,(,t,),L,1,(,t,)+,R,1,x,1,(,t,)+,x,2,(,t,) =,u,S1,(,t,),a,C,2,(,t,) +,i,R2,(,t,) =,x,1,(,t,),消去,i,R2,(,t,),列右网孔KVL方程：,R,2,i,R2,(,t,) +,u,S2,(,t,) -,x,2,(,t,) = 0,代入整理得,输出方程：,u,R1,(,t,) =,R,1,x,1,(,t,),例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电流iR,12,二、由输入-输出方程建立状态方程,这里需要解决的问题是,：,已知系统的外部描述（,输入-输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图,等）；如何写出其状态方程及输出方程。,具体方法：,（1）由系统的,输入-输出方程,或,系统函数,，,首先,画出其,信号流图,或,框图,；,（2）选,一阶子系统,(积分器）的,输出,作为,状态变量,；,（3）根据每个,一阶子系统,的,输入输出关系,列状态方程；,（4）在,系统的输出端,列输出方程。,二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：具,13,例1,某系统的微分方程为,y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t),试求该系统的状态方程和输出方程。,解,由微分方程不难写出其系统函数,方法一,：画出直接形式的信号流图,设状态变量,x,1,(t)、,x,2,(t),x,1,x,2,由后一个积分器，有,由前一个积分器，有,系统输出端，有 y(t) =8,x,1,+2,x,2,例1 某系统的微分方程为解由微分方程不难写出其系统函数 方,14,方法二,：,画出串联形式的信号流图,设状态变量,x,1,(t)、,x,2,(t),x,2,x,1,设中间变量,y,1,(t),y,1,系统输出端，有,y(t) =2,x,2,方法二：画出串联形式的信号流图设状态变量x1(t)、 x2(,15,方法三,：,画出并联形式的信号流图,f,(t),y,(t),设状态变量,x,1,(t)、,x,2,(t),x,1,x,2,系统输出端，有 y(t) = 6,x,1,-4,x,2,可见H(s)相同的系统，状态变量的选择并不唯一。,方法三：画出并联形式的信号流图f(t)y(t)设状态变量x1,16,例2,某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。,解,对三个一阶系统,其中， y,2,=,f,-,x,3,输出方程,y,1,(t) =,x,2,y,2,(t) = -,x,3,+,f,例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和,17,三、由状态方程列输入-输出方程,例3,已知某系统的动态方程如下，列出描述y(t)与f(t)之间的微分方程。,解法一,由输出方程得,y(t)=,x,1,(t),y (t)=,x,1,(t) = 4,x,1,(t) +,x,2,(t)+,f,(t),y(t)= 4,x,1,(t) +,x,2,(t)+,f,(t),=44,x,1,(t) +,x,2,(t)+,f,(t) + 3,x,1,(t) +,f,(t) +,f,(t),=13,x,1,(t) 4,x,2,(t) 3,f,(t) +,f,(t),y+a y + by=(13 4a +b),x,1,+(4+a),x,2,+,f,(t) +(a3),f,(t),a=4，b=3,y+4 y + 3y=,f,(t) +,f,(t),三、由状态方程列输入-输出方程例3 已知某系统的动态方程如,18,解法二,对方程取拉氏变换，零状态。,解法二 对方程取拉氏变换，零状态。,19,y+4 y + 3y=,f,(t) +,f,(t),y+4 y + 3y= f (t) + f (t),20,8.3 离散,系统状态方程的建立,与连续系统类似，具体方法为：,（1）由系统的,输入-输出方程,或,系统函数,，,首先,画出其,信号流图,或,框图,；,（2）选,一阶子系统,(迟延器）的,输出,作为,状态变量,；,（3）根据每个,一阶子系统,的,输入输出关系,列状态方程；,（4）在,系统的输出端,列输出方程。,8.3 离散系统状态方程的建立 与连续系统类似，具体方法为,21,例1,：,某离散系统的差分方程为,y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2),列出其动态方程。,解,：,不难写出系统函数,画信号流图：,设状态变量,x,1,(k),，,x,2,(k),：,x,1,x,2,x,1,(k+1)=,x,2,(k),：,x,2,(k+1),x,2,(k+1)=,x,1,(k),2,x,2,(k),+,f,(k),：,输出方程,y,(k)=,x,1,(k),+,x,2,(k),例1：某离散系统的差分方程为解：不难写出系统函数 画信号流图,22,例2,某离散系统有两个输入,f,1,(,k,)、,f,2,(,k,)和两个输出,y,1,(,k,)、,y,2,(,k,)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。,解,p,1,(,k,) = 2,x,1,(,k,) +2,x,3,(,k,),p,2,(,k,) =3,p,1,(,k,)-,x,3,(,k,) +,f,2,(,k,),= 6,x,1,(,k,) +5,x,3,(,k,) +,f,2,(,k,),例2 某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出y,23,第八章系统状态变量分析课件,24,8.4 连续状态方程的求解,状态方程和输出方程,方法一:用拉普拉斯变换法求解状态方程,sX,(,s,) -,x,(0-) =,A X,(,s,) +,BF,(,s,),(,sI,-,A,),X,(,s,) =,x,(0-) +,BF,(,s,),X,(,s,)=(,sI,-,A,),-1,x,(0-) +(,sI,-,A,),-1,BF,(,s,)=,(,s,),x,(0-) +,(,s,),BF,(,s,),式中,(,s,) = (,sI,-,A,),-1,常称为预解矩阵 。,Y,(,s,) =,CX,(,s,) +,DF,(,s,),Y,zi,(,s,) =,C,(,s,),x,(0-),Y,zs,(,s,) = ,C,(,s,),B,+,D,F,(,s,),H,(,s,) = ,C,(,s,),B,+,D,(,s,)的极点就是,H,(,s,)的极点.即|,sI,-,A,|=0的根。,=,C,(,s,),x,(0-) +,C,(,s,),B,+,D,F,(,s,),8.4 连续状态方程的求解状态方程和输出方程方法一:用拉普,25,状态方程和输出方程,方法二:用时域法求解状态方程,两边左乘,从0-到t取积分,两边左乘,状态方程和输出方程方法二:用时域法求解状态方程 两边左乘从0,26,状态矢量的解,状态转移矩阵:,输出,状态转移矩阵求解,状态矢量的解状态转移矩阵:输出状态转移矩阵求解,27,例1,描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为,解:方法一:,拉普拉斯变换法求解,X,(,s,) =,(,s,),x,(0,-,) +,BF,(,s,),起始状态,x,1,(0,-,)=3，,x,2,(0,-,)=2，输入,f,(,t,) =,(,t,)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。,例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为 解:方法一,28,y,(,t,) = 1 1,x,(,t,) +,f,(,t,) =,=,(,t,)+ 6e,-2,t,(,t,),由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。,H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3),y(t) = 1 1x(t) + f(t) = =(,29,方法二:,时域法求解,(1) 求状态转移矩阵,系统矩阵,系统特征方程,特征根,方法二:时域法求解(1) 求状态转移矩阵系统矩阵系统特征方,30,(2) 求状态方程的解,(3) 求输出,(2) 求状态方程的解(3) 求输出,31,8.5 离散状态方程的求解,用Z变换法求解状态方程,取单边,z,变换:,zX,(,z,)-,zx,(0) =,AX,(,z,)+,BF,(,z,),Y,(,z,) =,CX,(,z,)+,DF,(,z,),X,(,z,) = (,zI,-,A,),-1,zx,(0) +(,zI,-,A,),-1,BF,(,z,),设,(,z,)= (,zI,-,A,),-1,z,X,(,z,) =,(,z,),x,(0) +,z,-1,(,z,),BF,(,z,),Y,(,z,) =,C,(,z,),x,(0)+,Cz,-1,(,z,),B,+,D,F,(,z,),y,x,(,k,) =,Z,-1,C,(,z,),x,(0) ，,y,f,(,k,) =,Z,-1,(,Cz,-1,(,z,),B,+,D,),F,(,z,),H,(,z,)=,Cz,-1,(,z,),B,+,D,(,z,)的极点就是,H,(,z,)的极点.即|,zI,-,A,|=0的根。,8.5 离散状态方程的求解用Z变换法求解状态方程 取单边z,32,例,已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为,初始状态为,，激励,f,(,k,)=,(,k,)。求状态方程的解和系统的输出。,解,(,z,)=,zI,-,A,-1,z,=,X,(,z,)=,(,z,),x,(0)+,z,-1,BF,(,z,)=,例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为 初始状态为,33,第八章系统状态变量分析课件,34,矩阵的导数、积分和卷积:,(1),导数、积分,: 设矩阵,则,(2),卷积,: 设,等于 运算中元素的相乘变成卷积运算.,矩阵的导数、积分和卷积:则(2) 卷积: 设 等于,35,（5）设A为方阵，则 恒有逆，且 。,（6） 设A、P为n阶方阵，P为非,奇异阵（det（P）0）,，则,4.矩阵运算的几个定理：,设A、B为n阶方阵。,（1）,（2）,（3）设 ，则,（4）设X为n维列向量，A为n阶方阵，则,（5）设A为方阵，则 恒有逆，且,36,的计算：,（1）n阶方阵A的特征方程、特征根：,特征多项式：,特征方程,：,特征根：特征方程的根 ，,(2),凯莱 哈密顿定理：,任何方阵A，恒满足它的特征方程。,设,则,的计算：（1）n阶方阵A的特征方程、特征根：(2) 凯莱,37,（3）,的计算：,设n阶方阵A的特征根为 ，j=1 , 2 , ,n .,（3） 的计算：设n阶方阵A的特征根为 ，j=1 ,38,根据A的特征方程和凯莱 哈密顿定理可以,证明：,由A的n个特征根和 的展开式确定系数 ，代入,的展开式，就可求得 。,根据A的特征方程和凯莱 哈密顿定理可以由A的n,39,的计算步骤：,（1）,A的特征根为单根：,第一步：,求n阶方阵A的特征根 ，i=1 ,2 , ,n .,第二步：,由n个特征根建立以下n个方程：,第三步：,解上面方程组，求 ，,i=1 ,2 , ,n .,的计算步骤：（1） A的特征根为单根：第一步：求n阶方阵A的,40, ,第三步：,解上面方程组,求 , i=0 , 1 ,2 , .,第四步:,把 代入下式求 :,例1., 求 .,解: (1) 求, ,41,(2) 求A的特征根:,(3)建立求 的方程,求 :,解方程组,得:,(4) 求 :,(2) 求A的特征根:(3)建立求 的方程,求,42,例2: 求 .,解: (1) 求,(2) 求A的特征根:,(3)建立求 的方程,求 :,例2:,43,解方程组,得:,(4) 求 :,4. 由 求A:,解方程组,得:(4) 求 :4. 由,44,