第五章微分方程模型课件

5.1 微分方程建模概述,5.2,简单微分方程模型案例,5.3,综合性微分方程模型,传染病模型,古尸断代,正规战与游击战,第五章 微分方程模型,5.1 微分方程建模概述第五章 微分方程模型,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5.1 微分方程建模概述,动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。,求解微分方程有三种方法：,1）求精确解；,2）求数值解（近似解）；,3）定性理论方法。,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或,建立微分方程模型的方法,（1）根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物,（3）模拟近似法,在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规,问题：,一条长为L米质量为M的链条悬挂在一个钉子上，初始时，一边长3/5L，另一边长2/5L，由静止启动。分别根据以下情况求出链条下滑的时间：,1、不计摩擦力和空气阻力；,2、阻力为1/10L的链条重；,3、阻力与速度v成正比;,4、摩擦力与对钉子的压力成正比，在v=1时。,F,阻,=0.02m,5.2 一些简单的微分方程案例,下一页,例1：铁链下滑问题,问题：一条长为L米质量为M的链条悬挂在一个钉子上，初始时，一,x,(,t,),铁链下滑示意图,t=,0,t,时刻,x,(,t,),L/5,2,x,+L/5,上一页,x(t)铁链下滑示意图t=0t时刻x(t)L/52x+L/5,例2：刑事侦察中死亡时间的鉴定,在凌晨1时警察发现一具尸体,测得尸体温度是29,C,当时环境温度是21,C。,一小时后尸体温度下降到27,C,若人的正常体温是37,C,估计死者的死亡时间。,问题描述,牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定。,方法原理,例2：刑事侦察中死亡时间的鉴定 在凌晨1时警察发现一具尸体,设尸体的温度为T(t)(t从谋杀后计)，运用牛顿冷却定律得,模型建立与求解,得到它的通解为,这里T,0,是当t=0时尸体的温度,也就是所求的死亡时间时尸体的温度。,速度,设尸体的温度为T(t)(t从谋杀后计)，运用牛顿冷却定律得,模型建立与求解,将题目提供的参数代入，得,解得:,和,则,求得:,T,0,=37,o,C；,T,out,=21,o,C；,T(t)=29,o,C；,T(t+1)=27,o,C,模型建立与求解将题目提供的参数代入，得解得: 和 则 求得:,模型建立与求解,求得:,这时求得的,t,是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚10:35。,模型建立与求解求得: 这时求得的t是死者从死亡起到尸体被,例3：放射性废物的处理问题,美国原子能委员会（现为核管理委员会）,处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能,很好的圆桶中，然后扔到水深,300,英尺的海里.,他们这种做法,安全,吗？,分析：,可从各个角度去分析造成危险的因素，,这里仅考虑圆桶泄露的可能.,联想,：安全 、危险,问题的关键,例3：放射性废物的处理问题 美国原子能委员会（,* 圆桶至多能承受多大的,冲撞速度,？(,40,英尺/秒),* 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,问题：,求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.,（原问题是什么?）,可利用的数据条件,：,圆桶的总重量,W=527.327,（磅）,圆桶受到的浮力,B=470.327,（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力,D=Cv,，,C,=0.08,可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移,满足的微分方程：,* 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒)问题：求这,方程的解为,方程的解为,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t,0,分析,：考虑圆桶的极限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,实际极限速度,与圆桶的,承受速度,相差巨大！,解决思路：,避开求,t,0,的难点,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 分析：考虑圆桶,令,v(t)=v(y(t),其中,y=y(t),是圆桶下沉深度,代入（1）得,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(,两边积分得函数方程：,若能求出函数,v=v(y),就可求出碰撞速度,v(300),.(,试一试,),*,用,数值方法,求出,v(300),的近似值为,v(300)45.41,（英尺/秒）,40,（英尺/秒）,*,分析,v=v(y),是一个单调上升函数，而,v,增大,y,也增大,可求出函数,y=y(v),两边积分得函数方程： 若能求出函数v=v(y),就可求,令,v=40,(英尺/秒)，,g=32.2,（英尺/秒），,算出,y= 238.4,(英尺),300,（英尺）,问题的实际解答：,美国原子能委员会处理,放射性废物的做法是极其危险的，,必须改变,。,令 v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功,能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下,一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，,假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算,山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,我有一只具有跑 表功能的计算器。,例4：崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 我有一只具有跑 表,方法一,假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式,来计算。例如， 设,t,=4,秒，,g,=9.81,米/秒,2,，则可求得,h,78.5,米。,我学过微积分，我可以做,得更好，呵呵。,方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式 我学,除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属,空气阻力,。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数,K,为常数，因而，由牛顿第二定律可得：,令,k,=,K,/,m,，,解得,代入初始条件,v,(0)=0,，得,c,=,g/k,，故有,再积分一次，得：,除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根,若设,k,=0.05,并仍设,t,=4,秒，则可求 得,h,73.6,米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了,反应时间,进一步深入考虑,不妨设,平均反应时间,为,0.1,秒 ，假如仍 设,t,=4,秒，扣除反应时间后应 为,3.9,秒，代入 式,，求得,h,69.9,米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,代入初始条 件,h,(,0,)=,0,，得到计算山崖高度的公式：,将,e,-kt,用泰勒公式展开并 令,k,0+,，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,还应考虑,回声,传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为,t,1,，声音传回来的时间记 为,t,2,，还得解一个方程组：,这一方程组是,非线性,的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理,相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次,h,，令,t,2,=h,/,340,，校正,t,，求石块下落时间,t,1,t-t,2,将,t,1,代入式,再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若,h=,69.9,米，则,t,2,0.21,秒，故,t,1,3.69,秒，求得,h,62.3,米。,还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,问题,5.3 综合性微分方程模型,案例1：传染病模型,描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病,已感染人数 (病人),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(足以使人致病)人数为,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),建模,?,模型1,已感染人数 (病人) i(t)每个病人每天有效接触假设若有,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且,使接触的健康人致病,建模, 日,接触率,SI,模型,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变,i,0,0,t,1/2,t,m,i,1,t,m,传染病高潮到来时刻,(日接触率) ,t,m,Logistic 模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,模型2,di,/,dt,i,0,1,1/2,i00t1/2tmi1tm传染病高潮到来时刻 (日接触率,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模, 日接触率,1/,感染期, 一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加,i,0,i,0,接触数,=1, 阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过原来病人数,1-1/,i,0,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,i,di/dt,0,1, ,1,0,t,i, ,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,模型4,si101DSIR模型相轨线 及其分析传染,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率) ,卫生水平,(日,治愈率), ,医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值 1/,降低,(=,/,),模型4,群体免疫,SIR模型预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,模型4,SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例xs0i0P1,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，C,14,与C,12,的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？,案例2：古尸年代鉴定问题,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人,年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。,背景,年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.L,宇宙线,中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的 。从古至今，碳 不断产生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。,大气中 处于动态平衡状态， 经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照,放射性元素裂变规律,衰减。,从星际空间射到地球的射线,裂变速率与剩余量成正比。,Kc,14,=1/8000,基本原理,宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有,设,t 为,死后年数，,建模与求解,设 t 为死后年数，建模与求解,第五章微分方程模型课件,年代测定的修订：,1966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期间的年代：,真正的年代,古尸年代30460年,年代测定的修订： 1966年，耶鲁实验室的Mi,年代测定方法的基本原理；,放射性元素衰变规律。,注意：,年代测定方法的基本原理；注意：,1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C,14,的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？,已知碳-C,14,的半衰期为5730年。,讨论,1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对,战争分类,：正规战争，游击战争，混合战争,因素,：只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力,因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力,与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,背景,:,早在第一次世界大战期间,F.W.Lanchester就提出了几个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服美国1975年结束越南战争起了重要的作用。,案例3：正规战与游击战,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争因素：只考虑双方兵力多,每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方的战斗减员率分别用,f,(,x,y,)和,g,(,x,y,)表示,每方非战斗减员率与本方兵力成正比，,分别用,x,和,y,表示。,甲乙双方的增援率为,u,(,t,),v,(,t,),f, g,取决于战争类型,x,(,t,) 甲方兵力，,y,(,t,) 乙方兵力,模型假设,模型,1.一般模型,每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方的战斗减,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f,(,x,y,)=,ay,a,乙方每个士兵的杀伤率,a,=,r,y,p,y,r,y,射击率，,p,y,命中率,2.正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作,0,正规战争模型,为判断战争的结局，不求,x,(,t,),y,(,t,)而在相平面上讨论,x,与,y,的关系,乙方胜,这说明:,初始兵力之比以平方关系影响战争的结果.,因此此模型叫做,平方律模型.,0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在,例1.,解:由(4)式得,例1.解:由(4)式得,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,忽略非战斗减员,假设没有增援,f,(,x,y,)=,cxy,c,乙方每个士兵的杀伤率,c,=,r,y,p,y,r,y,射击率,p,y,命中率,p,y,=s,ry,/,s,x,s,x,甲方活动面积,s,ry,乙方射击有效面积,甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为,Sx,的隐蔽区域内活动,乙方士兵不是向甲方士兵开火,而是向这个隐蔽区域射击,3.游击战争模型,双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增,0,游击战争模型,线性律 模型,0游击战争模型线性律 模型,0,甲方为游击部队，乙方为正规部队,4.混合战争模型,0甲方为游击部队，乙方为正规部队4.混合战争模型,这说明:,乙方必须10倍于甲方的兵力才能获胜.,美国人曾用这个模型分析20世纪六七十年代的美越战争,甲方为越南,乙方为美国.并根据在这之前发生在马来西亚、印尼、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出:,正规部队方必须至少投入8倍于游击队方的兵力,.而美国最多只能派出6倍于越南北方共军的兵力.因此战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军,越南人们获得最后胜利.,例2.,这说明: 乙方必须10倍于甲方的兵力才能获胜. 美国,五、,记A(t)，J(t)为美军及日军第t天的兵力数，忽略非,战斗减员，令v(t)=0。则模型（2）变成如下形式：,（5）,5. 硫磺岛战役（模型应用）,五、记A(t)，J(t)为美军及日军第t天的兵力数，忽略非（,美军战地纪录增援率为：,并由每天伤亡人数和u(t)算出A(t)，t=136(见下图虚线)：,对方程组(5)，用近似求和替代积分可得：,（51）,(52),（5）,美军战地纪录增援率为：并由每天伤亡人数和u(t)算出A(t),估计b,在式（52）中令t=36，由于J(36)=0，且,带回（52）中算出J(t)，t=136，即每天的日军人数。,然后将这些数据带入（51）可得,（51）,(52),估计b在式（52）中令t=36，由于J(36)=0，且 带回,于是,由上式能算出美军每天的理论值，如图实线表示,天数,美军数量,理论计算值,实际统计值,于是由上式能算出美军每天的理论值，如图实线表示天数美军数量理,