拉普拉斯积分变换-课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,拉普拉斯(Laplace)积分变换,1, 拉普拉斯(Laplace)积分变换1,1 拉氏变换的概念,定义,设函数,当,时有定义，而且积分,（,s,是一个复参量）,在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数,称为函数,的,拉普拉斯变换式,（简称拉氏变换式）,记为,F,(,s,),称为,的,拉氏变换,（或称为,象函数,）。,一、拉氏变换,2,1 拉氏变换的概念定义 设函数 当 时有定义，而且积分,若,F,(,s,),是,的拉氏变换，则称,为,F,(,s,),的,拉,氏,逆变换,（或称为,象原函数,），记为,可以看出，,的拉氏变换，实际上就是,的傅氏变换。,3,若F(s)是 的拉氏变换，则称 为F(s)的拉氏逆变换（或称,例,1,求单位阶跃函数,的拉氏变换。,解,由拉氏变换的定义,此积分在,时收敛，且,所以,4,例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换。 解 由拉氏变换的定,例,2,求指数函数,的拉氏变换（,k,为,解,积分在,时收敛，且有,所以,实数）。,5,例2 求指数函数 的拉氏变换（k为解 积分在 时收敛，且有,2.,拉氏变换的存在定理,可以看出，拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定存在呢？,6,2. 拉氏变换的存在定理 可以看出，拉氏变换存在的条,当,时，,的增长速度不超过某一指数函,，使得,成立（满足此,条件的函数，称它的增大是指数级,的，,c,为它的增长指数）。,拉氏变换的存在定理,若函数,满足下列条件：,在,的任一有限区间上分段连续；,数，亦即存在常数,M,0及,7,当 时， 的增长速度不超过某一指数函 ，使得 成立（满足此条,则,的拉氏变换,在半平面,上一定存在，右端的积分在,上绝对收敛而且一致收敛，,并且在,的半平面内，,为解析函数。,8,则 的拉氏变换 在半平面 上一定存在，右端的积分在 上绝对收,例,3,求正弦函数,（,k,为实数）的,拉,解,同样可得余弦函数的拉氏变换：,氏变换。,9,例3 求正弦函数 （k为实数）的拉解 同样可得余弦函数的拉,例,6,求单位脉冲函数,的拉氏变换。,利用性质：,，有,解,10,例6 求单位脉冲函数 的拉氏变换。 利用性质： ，有 解,例,7,求函数,的拉氏变换。,解,在实际工作中，求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得。,11,例7 求函数 的拉氏变换。 解 在实际工作中，求函数的拉氏,3,拉氏变换的性质,为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为,c,。以下均设,12,3拉氏变换的性质 为了叙述方便起见，假定要,a,.,线性性质,若,是常数，则有,根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。,此性质表明：,函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。,13,a. 线性性质 若 是常数，则有 根据定义，利用积分性质就,b,微分性质,证,由定义并利用分部积分法得,这个性质表明：,一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数,s,，再减去函数的初值。,14,b 微分性质 证 由定义并利用分部积分法得 这个性质表,推论:,特别，当初值,时，有,此性质使我们有可能将,的微分方程转化为,F,(,s,),的,代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。,15,推论: 特别，当初值 时，有此性质使我们有可能将 的微分方程,例,求函数,的拉氏变换。,解,由于,由微分性质有,即,移项化简得,16,例 求函数 的拉氏变换。 解 由于 由微分性质有 即,例,求函数,的拉氏变换，其中,m,是正整数,解,由于,而,所以,17,例 求函数 的拉氏变换，其中m是正整数 解 由于 而,即,而,所以,由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：,一般地，有,18,即 而 所以 由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：,例,求函数,的拉氏变换。,解,因为,根据象函数的微分性质,同理可得，,19,例 求函数 的拉氏变换。 解 因为 根据象函数的微分,c,积分性质,证,设,，则有,，且,由微分性质，有,即,这个性质表明：,一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数,s,。,20,c积分性质 证 设 ，则有 ，且 由微分性质，有 即,重复应用积分性质可得：,此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数,的积分性质：,或,一般地，有,21,重复应用积分性质可得： 此外，由拉氏变换存在定理，还,例,求函数,的拉氏变换。,解,因为,据象函数的积分性质可知,22,例 求函数 的拉氏变换。 解 因为 据象函数的积分性,其中,这一公式，常用来计算某些积分。,存在，在象函数的积分性质公式中,取,s,= 0，则有,如果积分,23,其中 这一公式，常用来计算某些积分。 存在，在象函数的积分性,例,求积分,解,因为,且,所以,24,例 求积分 解 因为 且所以24,d,位移性质,若,，则有,证,上式右方只是在,中把,s,换成,，所以,这个性质表明：,一个象原函数乘以指数函数,e,at,的拉氏变换等于其象函数作位移,a,。,25,d位移性质 若 ，则有 证 上式右方只是在 中把s换成,例,求,解,因为,利用位移性质，可得,26,例 求 解 因为 利用位移性质，可得 26,例,求,解,因为,由位移性质得,27,例 求 解 因为 由位移性质得 27,5.,延迟性质,若,，又,时,则对于任一非负实数,有,或,证,28,5. 延迟性质 若 ，又 时 则对于任一非负实数 有 或,由于,时，,，所以上式右端第一,个积分,为零。对于第二个积分，令,，则,29,由于 时， ，所以上式右端第一个积分为零。对于第二个积分，令,函数,与,f,(,t,),相比，,f,(,t,)是从,t,= 0开始有非零数值，,而,是从,开始才有非零数值，即延迟了一个,时间,。从它们的图象来讲，,的图象是由,f,(,t,)的,图象沿,t,轴向右平移距离而得。,象,函数乘以指数因子,。,这个性质表明，时间函数延迟,的拉氏变换等于它的,30,函数 与f(t)相比，f(t)是从t = 0开始有非零数值,例,求函数,的拉氏变换。,解,由于,根据延迟性质，有,31,例 求函数 的拉氏变换。 解 由于 根据延迟性质，有 3,二、拉氏逆变换,在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数,求它的象原函数,f,(,t,)。,由拉氏变换的概念可知，函数 的拉氏变换就是,的傅氏变,换。,32,二、拉氏逆变换 在实际应用中常会碰到的问题是：已知象,于是，当,满足傅氏积分定理的条件时，,按傅氏积分公式，在,连续点处有:,33,于是，当 满足傅氏积分定理的条件时，按傅氏积分公式，在 连续,等式两边乘以 ，并考虑到它与积分变量 无关，则,令 ，有,这就是从象函数F(s)求它的象原函数,f,(,t,)的一般公式，右端的积分称为拉氏,反演积分,。,34,等式两边乘以 ，并考虑到它与积分变量 无关，则 令,此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来,比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用,留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s),为有理函数时更为简单。,35,此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来35,定 理,若 是函数 的所有奇点（适当选取 使这些奇点全在 的范围内），且当 时， ，则有,即,36,定 理 若 是函数 的所有奇点（,例1,：,求,的逆变换。,解,:,F(s),有两个一级极点,由拉氏反演积分公式得,37,例1：求的逆变换。 解 : F(s)有两个一级极点 由,例2：,求,的逆变换。,解:,s,=0 为一级极点，,s,=1为二级极点，拉氏反演积,分公式得,38,例2： 求的逆变换。 解: s=0 为一级极点，s=1为,例3：,求,的逆变换,。,解,:,利用部分分式的方法将F(s)化成,所以,39,例3： 求的逆变换。 解 : 利用部分分式的方法,卷,积,拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用。,40,卷 积 拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的,1.,卷积的概念,傅氏变换中两个函数的卷积是指,在拉氏变换中函数 如果都满足条件：当,t0,时，,则上式可写成,今后如不特别声明，都假定这些函数在,t,0,时恒为零。,41,1. 卷积的概念傅氏变换中两个函数的卷积是指 在拉氏变换中函,例,1,求函数 和 的卷积，,即求 。,解：根据定义得：,42,例1 求函数 和 的卷积,卷积的性质：,43,卷积的性质： 43,2.,卷积定理,假定 ， 满足拉氏变换存在定理中的条件，,且 ，则 的拉,氏变换一定存在，且,或,44,2. 卷积定理 假定 ， 满足拉,推论,若 满足拉氏变换存在定理中,的条件，且 ，则有,在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。下面举例说明它在求函数的逆变换中的应用。,45,推论若 满足拉氏变换存在定,例,2,设 ，求,f,(,t,),。,解:,令,则,根据卷积定理和例,1,得,46,例2 设 ，求f(t),例,3,设 ，求,f,(,t,),。,解：,所以,47,例3 设 ，求f(t)。 解：,例,4,设,，求,f,(,t,)。,解：,根据位移性质，,所以,48,例4 设,49,49,微分方程的拉氏变换解法,利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解常微分方程，其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程，根据这个代数方程求出象函数，然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程的解。解法的的过程如下图所示。,50,微分方程的拉氏变换解法 利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解,象 函 数,象 原 函 数,(微分方程的解),象 函 数 的,代 数 方 程,微 分 方 程,取拉氏逆变换,解代数,方程,取拉氏变换,51,象 函 数象 原 函 数象 函 数 的微 分 方 程取拉,例,1,求方程 的解。,满足初始条件,解: 设L,y,(,t,)=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并,考虑到初始条件，得,这是含未知量,Y,(s)的代数方程，整理后解,出,Y,(s)，得所求函数的拉氏变换,52,例1 求方程 的解。解:,取它的逆变换便可以得出所求函数,y,(,t,),。,取逆变换得到所求微分方程的解,53,取它的逆变换便可以得出所求函数y(t)。 取逆变换得到所求微,例,2,求方程组,满足初始条件,的解。,解,设,L,y,(,t,)=Y(,s,),L,x,(,t,)=X(,s,),，对方程组两个,方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得,54,例2 求方程组 满足初始条件,整理化简后得,解这个方程组得,55,整理化简后得解这个方程组得 55,由于,因此所求方程组的解为,由以上例子可以看出：在解微分方程的过程中，初始条件也同时用上了，求出的结果就是方程的特解。,56,由于 因此所求方程组的解为 由以上例子可以看出：在解,