第二章有限差分方法基础解读课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,计算流体力学引论,The Elements of Computational,Fluid Dynamics,计算流体力学引论The Elements of Comput,第二章 有限差分方法基础,2.1,有限差分方法概述,2.2,导数的数值逼近方法,2.3,差分格式的性质,2.4,发展方程的稳定性分析,第二章 有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述,2.1,有限差分方法概述,以,一维非定常热传导方程,为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。,2.1.1,基本方程和定解问题,方程,(2.1.1),和初边条件,(2.1.2),构成了一个适定的定解问题。,有限差分方法,：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商,(Algebraic Difference Quotient),代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为,有限差分方法,(Finite Difference Method),。,2.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程,2.1.2,求解域及偏导数的离散化,为了用有限差分方法求解式,(2.1.1),，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为,求解域的离散化,。,1.,空间,求解域的离散化,把空间求解域分为,M,段（均匀剖分）,2.,时间变量,的离散化,把感兴趣的时间段,(,t=T,之前,),分为,N,段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为,2.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分,求解域被划分为一系列离散的时空网格点,图,2.1,求解域的离散化,3.,解,的离散表示,目标：求出所有网格点上物理量,u,的近似解。,求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1,4.,导数的数值逼近,把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。,4. 导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,2.1.3,差分格式,同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。,FTCS (Forward difference in Time, Central difference in Space),格式,时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。,对初始条件和边界条件的离散化,式,(2.1.9) (2.1.12),称为方程,(2.1.1),的一个有限差分方程或有限差分格式,( finite difference scheme),。,2.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的,2. BTCS (Backward difference in Time, Central difference in Space),格式,时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。,在研究数值方法时，通常把,t,n,时刻的物理量视为已知量，而把,t,n+,1,时刻的物理量作为待求的未知量。,因此，式,(2.1.13),可以改写成,2. BTCS (Backward difference,2.1.4,差分方程的求解,FTCS,格式,可以改写为,可见，在,FTCS,格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图,2.2,所示。,图,2.2,：,FTCS,格式的模板点,2.1.4 差分方程的求解FTCS 格式可以改写为可见，在,FTCS,格式的求解过程,FTCS格式的求解过程,2. BTCS,格式,可以改写为,跟,FTCS,格式不同，,BTCS,格式中同,时涉及到,n,+1,时刻的多个未知量，,不能递推求解，称为,隐式格式,(implicit scheme),。,图,2.3,：,BTCS,格式的模板点,BTCS,格式的求解过程,2. BTCS 格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTC,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,2.1.5,用时间相关方法求解定常问题,考虑非定常热传导方程和定解条件,2.1.5 用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程,第二章有限差分方法基础解读课件,BTCS,格式的求解过程,FTCS,格式的求解过程,BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程,2.2,导数的数值逼近方法,2.2.1,精度分析,在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用,Taylor,展开式进行分析。,2.2 导数的数值逼近方法2.2.1 精度分析,第二章有限差分方法基础解读课件,一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。,一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度,例：一维非定常热传导方程的,FTCS,格式中涉及的导数差分近似的精度。,例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的,2.2.2,导数差分近似的待定系数法,2.2.2 导数差分近似的待定系数法,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,2.2.3,导数差分近似方法的差分算子法,1.,差分算子的定义,算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。,在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子,移位算子,。,移位算子,的运算规则为,移位算子,的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。,2.2.3 导数差分近似方法的差分算子法1. 差分算子的定,差分算子：,移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。,差分方法中常用的算子：,差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中,2.,差分算子之间的关系,2. 差分算子之间的关系,所有的差分算子均可用,Taylor,展开式来估算截断误差项的量级。,所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级,3.,微分算子与差分算子的关系,3. 微分算子与差分算子的关系,4.,导数的近似,根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。,即：,4. 导数的近似 根据差分算子之间的转化关系，可以,即：,与待定系数法得到的结果一致。,即：与待定系数法得到的结果一致。,即：,即：,5.,紧致格式,从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要,5,个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。,紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。,5. 紧致格式 从上面的推导可以看出，导数的有限差,第二章有限差分方法基础解读课件,基于,Pade,近似的导数近似方法，称为紧致格式,(compact scheme),。,基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式 (compac,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,2.3,差分格式的性质,2.3.1,范数的定义及性质,1.,向量范数,2.3 差分格式的性质2.3.1 范数的定义及性质1.,2.,算子范数,2. 算子范数,第二章有限差分方法基础解读课件,2.3.2,差分格式的精度,差分格式是微分方程的近似，通常用,局部截断误差,(local truncation error),衡量差分格式逼近微分方程的程度。,2.3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，,FTCS,格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。,根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，,FTCS,格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度。,如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方,2.3.3,差分格式的相容性,截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。,因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。,2.3.3 差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的,2.3.4,差分格式的收敛性和稳定性,1.,差分方程的矩阵形式,考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：,以,非定常热传导方程的,FTCS,格式,为例，将差分格式写成矩阵形式：,FTCS,格式：,解向量记为：,考虑到边界条件，则差分格式可以写为：,2.3.4 差分格式的收敛性和稳定性1. 差分方程的矩阵形,2.,整体截断误差,局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度,整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度,2. 整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整,第二章有限差分方法基础解读课件,3.,差分格式的收敛性和稳定性,差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解。,差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。,3. 差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解,第二章有限差分方法基础解读课件,上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。,当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同。,上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分,第二章有限差分方法基础解读课件,Lax,等价性定理,是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单。,Lax,定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。,4.,稳定性的意义,Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分,2.4,发展方程的稳定性分析,2.4.1,矩阵方法,2.4 发展方程的稳定性分析2.4.1 矩阵方法,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,2.4.2 Von Neumann,稳定性理论,2.4.2 Von Neumann稳定性理论,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,2.4.3,稳定性分析实例,2.4.3 稳定性分析实例,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,第二章有限差分方法基础解读课件,