微分方程复习课课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分方程 复习课,微分方程 复习课,1,基本概念,一阶方程,类 型,1.直接积分法,2.可分离变量,3.齐次方程,4.可化为齐次,方程,5.线性方程,6.伯努利方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,定理1;定理2,定理3;定理4,二阶常系数线性,方程解的结构,特征方程的根,及其对应项,f(x)的形式及其,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,基本概念一阶方程 类 型6.伯努利方程可降阶方程线性方程二,2,1、基本概念,微分方程,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,一、主要内容,1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分,3,通解,如果,微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件,用来确定任意常数的条件.,初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微,4,2、一阶微分方程及其解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,(2) 齐次型方程,解法,(分离变量法),(,变量代换法,),2、一阶微分方程及其解法(1) 可分离变量的微分方程解法,5,(3) 一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(3) 一阶线性微分方程齐次非齐次.解法齐次方程的通解为,6,(4) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法,利用变量代换,法,化为线性微分方程,变量代换,是解微分方程的重要思想和重要方法,(4) 伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程,7,1、可降阶的高阶微分方程的解法,型,解法,接连积分n次，得通解,型,特点,解法,代入原方程, 得,1、可降阶的高阶微分方程的解法 型解法接连积分n次，得通解,8,型,特点,解法,代入原方程, 得,2、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,型特点解法代入原方程, 得2、线性微分方程解的结构（1）,9,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解,非齐通解,=,齐通解,+,非齐特解,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:非齐方程的任两解之差是相,10,3、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,3、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系,11,特征方程为,特征方程为,12,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广： 阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中,13,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程,14,微分方程复习课课件,15,(一)、选择题,B,1.满足,2.设函数,y,1,y,2,都是方程,的解，,是此,方程,通解。则必有 .,D,3.微分,方程,的特解形式,是 .,(A),(B),(C),(D),D,(一)、选择题B1.满足2.设函数y1, y2 都是方程的,16,C,4.满足,5.设线性无关的函数,y,1,y,2,y,3,都是方程,的解，,为任意常数，则其通解为 .,C,6.以,为特解的三阶常系数,的齐次线性微分方程是 .,(A),(B),(C),(D),D,C4.满足5.设线性无关的函数y1, y2 , y3都是方程,17,8.若,y= f,(,x,) 是,(A),x,0,的某邻域内单调增加；,(B),x,0,的某邻域内单调减少；,(C),x,0,处取极小值；,(D),x,0,处取极大值.,C,7.微分,方程,的一个特解,是 .,(A),(B),(C),(D),B,9.设函数,p(x),在 a,+,）连续非负，,如果微分方程,则必有 .,的每一个解,y(x),都满足,D,8.若 y= f(x) 是 (A) x0的某邻域内单调,18,(二)、,填空,题,1.微分,方程,的通解是,_,2.微分,方程,满足y(1)=1,的一个特解,是 _,3.微分,方程,的通解是_,4.微分,方程,有两个解,则,5.以,为特解的最低阶常系数齐次线性,微分方程_,(二)、填空题1.微分方程的通解是_2.微分方程满,19,切于该点的积分曲线,6.方程,7.,y, =,x,的经过点,M,(0,1), 且与直线,8.通解为,y,=,C,1,e,x,+C,2,e,-2,x,的最低阶的齐次线性方程,9.已知,是,切于该点的积分曲线,20,例 1 求微分方程,记,两边积分得,解 分离变量得,三、典型例题,例 1 求微分方程记 两边积分得 解 分离变量得三、典型,21,例 2 求微分方程,积分得,即原方程化为,解 设,的通解.,例 2 求微分方程积分得即原方程化为解 设的通解.,22,代入,x,= 1, y,= 2,，,得 C= -1,于是积分曲线是,两边积分得,解 设,u= xy,则,du = yd x + xd y,于是,且过点（1，2）的积分曲线.,例 3 求满足方程,代入x = 1, y = 2，得 C= -1,于是积分曲线是,23,例 4 求,积分得,解 原方程化为,的通解.,例 4 求积分得 解 原方程化为 的通解.,24,例5 若,y,=,e,x,是方程,这是一个一元线性非齐次方程 ，于是,于是有,程有,解 首先，求出未知函数,p,(,x,),把,y,=,e,x,代入原方,求满足,y,(ln2)=0 的特解.,的一个解，,例5 若y =ex是方程这是一个一元线性非齐次方程 ，于是,25,例6 若,解 设,ux=t ,则,当,u,= 0,t,= 0;当,u,= 1,t = x.,例6 若 解 设 ux=t ,则当 u = 0, t,26,例 7 设,f,(,x,) 在0，+,）上连续，且,解 方程,的解为,证明方程,例 7 设 f ( x) 在0，+ ）上连续，且解,27,例 8 解方程,解,例 8 解方程解,28,例9 解方程,解 设,积分得,再积分得原方程的通解为,则原方程可化为,例9 解方程 解 设积分得 再积分得原方程的通解为,29,例 10 求微分方程,适合条件,的特解.,解 设,则原方程化为,解之,由于,积分两次有,例 10 求微分方程适合条件的特解.解 设则原方程化为解之,30,例 11 求方程,解 设,原方程可化为,当,p,= 0,时，,y,=,C,是方程的解，当,p,0,时，有,积分得,例 11 求方程解 设原方程可化为当p = 0时，y =,31,例 13 求方程,解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的,可以判断出其特解为,代入初始条件解得,通解为,例 13 求方程解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次,32,例 14 解方程,解 不难求出方程的特征根为2，2.,方程,的特解,方程,的特解,方程,的特解,原方程的特解,代入初始条件，并解方程组，求得,例 14 解方程解 不难求出方程的特征根为2，2.方程,33,解,由于,是原方程的解，故,例15 设y,1,=,(,x,),是方程,的一个解,若,求出此方程的另一个与,y,1,线性,无关的解,并写出所给方程的通解.,解 由于是原方程的解，故例15 设y1 = (x)是方程的,34,令,原方程的通解为,令原方程的通解为,35,例 16 设,y,(,x,),是,x,的连续可微函数,且满足,解 两边对,x,求导, 得到,整理即,再求导，并整理得到微分方程,解之得,即,例 16 设 y (x) 是 x的连续可微函数,且满足解,36,例 17求方程,解,代入原方程得,解这个微分方程，得其通解为,的通解.,例 17求方程解 代入原方程得 解这个微分方程，得其通解为的,37,例 18 若可微函数,f,(,x,) 满足方程,解 由所给方程可知,f,(1)=1,两边对,x,求导, 得,记,y =f,(,x,), 则上述方程化为,这是关于,n,=,3 的伯努力方程.,则,整理即,例 18 若可微函数f (x) 满足方程解 由所给方,38,例 19 设函数,f,(,x,) 满足,xf,(,x,) 3,xf,(,x,) = 6,x,2,求由曲线,y,=,f,(,x,),x=,1与,x,轴所围成的平面图形绕,x,轴旋转一周的旋转体的体积最小.,解 原方程可化为,旋转体的体积为,令,又,所以,V,(,C,)在此唯一驻点处取最小值，所求函数为,例 19 设函数f (x) 满足 xf (x),39,例 20 若,f,(,x,) 可微,解 令,y =,0, 则,对任何,x, y,有,解方程,得通解,代入条件,f,(0) = 0 , 则,C =,0 , 所以,例 20 若f (x) 可微,40,例 21 若,解 由线性方程的理论可知,是对应齐次方程的解，,也是对应齐次方程的解，,所以,也是对应齐次方程的解，,于是,都是对应的齐次方程的解，,是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程.,例 21 若 解 由线性方程的理,41,不难写出这个齐次方程为（因为特征根是-1和2）,设所求的非齐次方程为,代入,则,所以所求线性非齐次方程为,不难写出这个齐次方程为（因为特征根是-1和2）设所求的非齐次,42,例22 设函数,f,(,x,) 在正实轴上连续，且等式,解 固定,x ,对,y,求导，,对任何正数,x, y,都成立，又,f,(1)=3, 求,f,(,x,) .,两边再对,x,求导,整理得,令,例22 设函数 f (x) 在正实轴上连续，且等式,43,