向量在几何应用课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,向量在平面几何中解题的应用,复习旧知,:,（,1,）向量共线的条件,:,与 共线,（,2,）向量垂直的条件：,（,3,）两向量相等的条件：,且方向相同。,1.,应用向量知识证明平面几何有关定理,例,1,、证明直径所对的圆周角是直角,A,B,C,O,如图所示，已知,O,，,AB,为直径，,C,为,O,上任意一点。求证,ACB=90,分析,：,要证,ACB=90,，只须证向,量 ，即 。,解：设 则 ，,由此可得：,即,，,ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,练习,:,证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,A,B,D,C,已知：平行四边形,ABCD,求证：,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。,A,B,D,C,解：设 ，则,2.,应用向量知识证明三线共点、三点共线,例,2,、已知：如图,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,三条高,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,F,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,H,分析一：,设,AD,与,BE,交于,H,，,只要证,CHAB,，,即高,CF,与,CH,重合，,即,CF,过点,H,只须证,由此可设,如何证,？,利用,ADBC,，,BECA,，对应向量垂直。,2.,应用向量知识证明三线共点、三点共线,例,2,、已知：如图,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,三条高,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,F,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,H,设,例,2,、已知：如图,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,三条高,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,H,F,A,B,C,D,E,分析二：,如图建立坐标系,，,设,A(0,a) B(b,0) C(c,0),只要求出点,H,、,F,的坐标，就可求出 、 的坐标进而确定,两向量共线，即三点共线。,再设,H(0,m) F(x,y,),由,A,、,B,、,F,共线；,CFAB,对应向量共线及垂直解得：,可得,：,例、已知：如图,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,三条高,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,H,F,A,B,C,D,E,可得,：,可得：,即 而,CF,、,CH,有公共点,C,，所以,C,、,H,、,F,共线，即,AD,、,BE,、,CF,交于一点,CH,CF,/,练习：,如图已知,ABC,两边,AB,、,AC,的中点分别为,M,、,N,，在,BN,延长线上取点,P,，,使,NP=BN,，在,CM,延长线上取点,Q,，,使,MQ=CM,。求证：,P,、,A,、,Q,三点共线,A,B,C,N,M,Q,P,解：设,则,由此可得,练习：,如图已知,ABC,两边,AB,、,AC,的中点分别为,M,、,N,，在,BN,延长线上取点,P,，,使,NP=BN,，在,CM,延长线上取点,Q,，,使,MQ=CM,。求证：,P,、,A,、,Q,三点共线,A,B,C,N,M,Q,P,即 故有 ，且它们有,公共点,A,，所以,P,、,A,、,Q,三点共线,因为：,应用向量知识证明等式、求值,例、如图,ABCD,是正方形,M,是,BC,的中点，,将正方形折起，使点,A,与,M,重合，设折痕为,EF,，,若正方形面积为,16,，求,AEM,的面积,A,B,C,D,M,N,E,F,分析：如图建立坐标系，设,E(e,0)M(4,2,),N,是,AM,的中点故,N(2,1),=(2,1)-(e,0)=(2-e,1),解得：,e=2.5,故,AEM,的面积为,5,例、如图,ABCD,是正方形,M,是,BC,的中点，,将正方形折起， 使点,A,与,M,重合，设折痕为,EF,，,若正方形面积为,64,， 求,AEM,的面积,A,B,C,D,M,N,E,F,解：如图建立坐标系，设,E(e,0),，由正方形面积为,64,，可得边长为,8,，由题意可得,M(8,4),，,N,是,AM,的 中点，故,N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,1),解得：,e=5,即,AE=5,练习、,PQ,过,OAB,的重心,G,，,且,OP=,m,OA,OQ=,n,OB,求证：,分析,:,由题意,OP=,m,OA,OQ=,n,OB,联想线段的定比分点，利,用向量坐标知识进行求解,。,O,A,B,G,P,Q,由,PO=,m,OA, QO=,n,OB,可知：,O,分 的比为,，,O,分 的比为,-,m,-,n,?,?,练习、,PQ,过,OAB,的重心,G,，,且,OP=,m,OA,OQ=,n,OB,求证：,O,A,B,G,P,Q,由此可设 由向量定比,分点公式，可求,P,、,Q,的坐标，而,G,为重心，,其坐标也可求出，进而由向量 ，,得到,m n,的关系。,练习、,PQ,过,OAB,的重心,G,，,且,OP=,m,OA,OQ=,n,OB,求证：,O,A,B,G,P,Q,证：如图建立坐标系，,设,所以重心,G,的坐标为,由,PO=,m,OA, QO=,n,OB,可知,：,即,O,分 的比为,-,m,，,O,分 的比为,-,n,练习、,PQ,过,OAB,的重心,G,，,且,OP=,m,OA,OQ=,n,OB,求证：,O,A,B,G,P,Q,即,O,分 的比为,-,m,，,O,分 的,比为,-,n,，,求得,由向量 可得：,化简得：,巩固练习：,1.,证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形,2.,如图,O,为,ABC,所在平面内一点，且满足,求证,：,ABOC,A,B,C,O,