多元函数的条件极值课件

4 条件极值,4 条件极值,一、问 题 引 入,例1,要设计一个容积为,V,的长方形无盖水箱, 试,问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到,最小?,若设长、宽、高各等于,x,y,z, 则,目标函数:,约束条件:,一、问 题 引 入 例1 要设计一个容积为 V 的长,例2,设曲线 求此曲线上,的,点到原点距离之最大,、最小值. 对此问题有,目标函数:,约束条件:,定义,设目标函数为,约束条件为如下一组方程:,例2 设曲线,为简便起见, 记 并设,若存在,则称,是,在约束条件 之下的极小值,称 是相应的极小值点,为简便起见, 记,二、拉格朗日乘数法,先从,n,= 2,m,=1 的最简情形说起,即设目标函数,与约束条件分别为,若由 确定了隐函数 则使得目,标函数成为一元函数 再由,求出稳定点 在此点处满足,二、拉格朗日乘数法 先从 n = 2, m =1 的最简情,极值点必满足,极值点必满足,在点 处恰好满足:,通过引入辅助函数 把条件极值问题 (1),转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.,在点 处恰好满足:,拉格朗日乘数法,引入辅助函数,称此函数为,拉格朗日函数, 其中 称,为,拉格朗日乘数,.,定理 18.6,设上述条件极值问题中的函数,在区域,D,上有连续一阶偏导数. 若,D,的内点 是该条件极值问,题的极值点, 且,拉格朗日乘数法引入辅助函数 称此函数为拉格,则存在,m,个常数 使得,个方程的解:,为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下,则存在 m 个常数,当,n,= 2,m,= 1 时,引入辅助函数,当n = 2, m = 1 时引入辅助函数,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1,代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域内限制.,对自变量除定义域内限制外,还有其它条件限制.,例如 ,转化,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法,方法2,拉格朗日乘数法.,方法2 拉格朗日乘数法.,推广:,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束,条件的情形.,例如,求函数,下的极值.,解方程组,推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 例如,解:,如图,解:如图,解2,用拉格朗日乘数法解,解方程组,得：,解2 用拉格朗日乘数法解解方程组得：,例2.,求曲面,与平面,解：,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,到平面,之间的最短距离.,令,得唯一驻点：,根据问题的实际意义,知,例2.求曲面与平面解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问,例3.,要设计一个容量为,则问题为求,x,y,令,解方程组,解:,设,x,y,z,分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,因此 ,当高为,所用材料最省,.,P169:1(1)(3),例3.要设计一个容量为则问题为求x , y ,令解方程组解:,(10数学一,二),习 题,(10数学一,二) 习 题,提示：,提示：,( ),提示:,由题设,( )提示: 由题设,解,切线方程：,法平面方程：,解切线方程：法平面方程：,多元函数的条件极值课件,设函数 与 均可微且,则下列结论正确的是( ),（,A,）若 则,2006研,已知 是在约束条件 下的一个极值点，,（,B,）若 则,（,C,）若 则,（,D,）若 则,D,例9：,提示：,满足方程组,设函数 与 均,(10数三),(08数学二，四),(10数三)(08数学二，四),