微分方程的建立与求解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,信号与系统,signals and systems,哈尔滨工业大学自动化测试与控制系,第二章,连续时间系统的时域分析,本章主要研究内容：,微分方程的建立与求解,零输入、零状态、冲激、阶跃响应,卷积、算子,一、微分方程的建立,1,元件约束特性,电路元件,i),电阻,R,：,R,_,+,i,*,时间域进行，不变换,*直观，物理概念清楚,*其它变换域方法基础,*重新得到关注和重视,v,_,+,L,i,ii),电感,L,：,v,+,i,_,C,iii),电容,C,：,元件约束特性,网络拓扑约束,(,方程,) ,微分方程,iv),互感,M,：,L,1,M,v,1,L,2,i,2,i,1,-,-,+,+,v,2,机械元件,ii),弹性系数,：,iii),质量,：,i),摩擦系数,：,2,网络拓扑约束,ii)KCL,：,机械系统：达朗贝尔原理,ii),电路系统,i)KVL,：,i),4,电路类微分方程建立例子,3,不同性质系统可用相同微分方程描述,数学模型，数学抽象，无物理意义,例,1,：求下面电路的微分方程,+,_,+,_,+,_,e,(,t,),v,1,(,t,),uv,1,(,t,),+,_,v,0,(,t,),C,R,解,:,C,两端电压,5,机械类微分方程建立例子,例,2,：理想火箭推动器模型的微分方程,火箭,m,1,载荷,m,2,摩擦系数,f,1,摩擦系数,f,2,输入,:,推进力,e,(,t,),k,输出,:,荷载舱速度,解：,由,(2),还可得：,(4),由,(2),可得：,(3),把,(3),和,(4),代入,(1),可得：,e,(,t,),r,(,t,),6,线性时不变系统的微分方程特点,若组成系统的元件线性、参数恒定且,无初始储能,，,则系统为,线性时不变系统,+,-,i,L,(0,-,)=0,L,v,c,(0,-,)=0,-,+,C,0,-,:,激励加入前的时刻,一般形式：线性常系数微分方程,二、,微分方程的经典时域求解法,（齐次解,+,特解法）,齐次解,形式：,函数的线性组合,代入上式化简得,特征方程,令,齐次方程：,1,齐次解（自由响应）,有,n,个根,特征根,各种特征根情况下的齐次解形式,ii),为,k,重特征根，与,有关的齐次解部分：,iii),与,为共轭复根,（一重），对应齐次解部分：,iv),与,为共轭复根,（,k,重），对应齐次解部分为：,i),互不相同实根：,特征根决定了系统自由响应的全部函数形式,例,3,：求下列微分方程的齐次解形式,解：,= -1,，,= -2,解：,= -2(,二重,),，,= -3,(,一重共轭,),解：,解：,= 0,(,二重,),，,(,一重共轭,),解：,(,二重共轭,),2,特解（强迫响应）：,由激励形式和特征根情况共同决定,将激励代入微分方程右端，化简得自由项（,t,0,时,）,根据自由项形式与特征根情况设特解 。,见特解表,注：,为,次多项式；,为,s,次多项式；,；,为,次多项式；,，,为,l,次多项式。,确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数,例,4,：求下列微分方程在,不同激励,下的特解,自由项,=,，,0,不是特征根，,=,代入左端令对应系数相等可得：,B,0,=0.5,B,1,=-0.5,B,2,=0.5,特征根：,解：,i),ii),自由项,=,t,0,时为,0,，故特解,= 0,iii),，代入左端令对应系数相等可得：,B,=1,自由项,=,，,t,0,时为,，,-2,为,1,重特征根,iv),t,0,时自由项,=,，,1,不是特征根，,代入左端令对应系数相等可得：,B,=1/3,代入左端令对应系数相等可得：,=,t,0,时自由项,=,，,-1,为,1,重特征根，,v),例,4,：求下列微分方程的特解,i),iii),ii),解：,(,一重共轭,),特征根：,t,0,时自由项,=,，,为,1,重特征根，,代入左端令对应系数相等,可得：,B,1,=0,B,2,=0.5,=,t,(,B,1,+,B,2,),，,i),代入左端令对应系数相等,可得：,t,0,时自由项,=,，,不是特征根，,=,(,B,1,+,B,2,),，,t,0,时自由项,=,，,-1,不是特征根，,=,B,代入左端令对应系数相等可得：,B,=0.2,ii),iii),例,4,：求下列微分方程的特解,i),ii),iii),解：,(,一重共轭,),特征根：,i),t,0,时自由项,=,，,不为特征根，,=,B,1,+,B,2,B,1,=0,B,2,=0.5,iii),t,0,时自由项,=,，,-1,不是特征根，,=,B,ii),t,0,时自由项,=,，,为,1,重特征根，,=,t,(,B,1,+,B,2,),例,4,：求下列微分方程的特解,i),ii),iii),解：,(,二重,),特征根：,解：,i),t,0,时自由项,=,，,-1,是,2,重特征根，,=,Bt,2,ii),t,0,时自由项,=,t,，,-1,是,2,重特征根，,=,t,2,(,B,1,t,+,B,2,),iii),t,0,时自由项,=,，,-1,是,2,重特征根，,=,t,2,(,B,0,t,2,+,B,1,t,+,B,2,),写出完全解：,其中,ii),初始条件,iii),设,n,个特征根,互不相同，则,将初始条件代入，可得如下方程组：,3,完全解,有,n,个待定系数,待定系数由初始条件确定,注意两种描述：,起始状态,0-,，,初始条件,0+,为待求系数,i),求解区间,激励,t=0,时刻加入,0+,状态,见,P47,其中：,为范德蒙矩阵，一定可逆，故：,若不给定初始条件，怎么由起始状态确定,ii),已知电路图，由,求,的原理是：,电容电压，电感电流一般不跳变,iii),已知微分方程与激励，由,求,冲激函数匹配法和目测法,的方法是：,i),起始状态：系统在加入激励前的瞬间的一组状态，即,0-,状态,例,5,：已知电路图，,t,=0,时刻开关,S,从,1,打向,2,，求,i,(,t,),v,c,(,t,),R,2,=1.5,C,=1F,L,=0.25H,+,_,+,_,e,(,t,)=2V,+,_,S,1,2,i,c,(,t,),i,L,(,t,),R,1,=1,i,(,t,),e,(,t,)=4V,由元件约束、网络拓扑约束列写微分方程,(,S,拨至,2,列写,),由特征根写出齐次解形式,i),特征方程：,，,ii),齐次解形式：,解：,求完全解中的齐次解待定系数,i),写出完全解形式：,ii),求换路前的起始状态,i),t,0,时自由项,=4,4,ii)0,不是特征根，设特解为,求特解,iii),代入方程解得,B,=8/5,iii),求换路后的初始条件,电感电流不跳变：,电容电压不跳变：,iv),初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数,故：,(,t,0),例,6,：已知：,，,，,求完全响应。,i),特征方程：,ii),齐次解形式：,i),t,0,时自由项,=16,iii),代入方程左边解得：,B,=8/5,解：,由特征根写出齐次解形式,求特解,特征根：,ii)0,不是特征根，设特解为：,求完全解中的齐次解待定系数,i),写出完全解形式：,ii),冲激函数匹配法求跳变值,：根据,t,=0,时刻微分方程左右两端的 及其各阶导数应该平衡相等,系统用微分方程表示时，系统的,0-,状态到,0+,状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项是否包含 及其高阶导数。有则跳变。,设,代入方程左端，令左右两端的奇异函数平衡，得,表示,0-,到,0+,相对跳变函数,考虑换路时情况，即,t,=0,时刻,e,(,t,),有,2,u,(,t,),变化，得,在,iii),计算初始条件,iv),初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数,故：,(,t,0),例,7,：目测法求跳变值,右边,，为此,必须出现,即,在,0,处有,1,的跳变。假设,有跳变，则,有冲激，,出现冲激偶，,右边,，为此,必须出现,即,在,0,处有,1,的跳变。假设,有跳变，则,有冲激，,出现冲激偶，左右不能平衡，故,没有跳变。,解：,左右不能平衡，故,没有跳变。,作业：,2-1(a)(b)(c),，,2-5,Review,微分方程的建立,LTI,系统,线性常系数微分方程,微分方程的求解（经典方法）,完全解齐次解特解,齐次解中系数的确定,初始条件,