材料力学-第四版_第六章_ppt课件__弯曲变形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,弯 曲 变 形,第 六章, 挠曲线近似微分方程, 用叠加法求弯曲变形, 提高梁刚度的一些措施, 简单超静定梁,概述, 用积分法求弯曲变形,目录,弯 曲 变 形第 六章 挠曲线近似微分方程 用叠加法求弯,1,一，基本概念,1，取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为,x,轴 ，,横截面的铅垂对称轴为,y,轴 ，,x y,平面为纵向对称平面, 6. 1 弯曲变形的概念,B,x,y,A,一，基本概念1，取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x,2,y,x,A,B,（1）,挠度,（,）,: 横截面形心,C,( 即轴线上的点 ) 在垂直于,x,轴,方向的线位移，称为该截面的挠度。,挠度,2，度量梁变形后横截面位移的两个基本量,C,C,y xAB（1）挠度（）: 横截面形心 C ( 即轴,3,y,x,A,B,挠度,C,C,转角,（2）,转角,（,） ：,横截面对其原来位置的角位移 , 称为该,截面的转角。,y xAB挠度CC转角（2）转角（） ：横截面对,4,y,x,A,B,挠度,C,C,转角,挠曲线,二，挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。,y xAB挠度CC转角挠曲线二，挠曲线 ：梁变形后,5,y,x,A,B,挠度,C,C,转角,挠曲线,挠曲线方程为,式中 ，,x,为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，,为该点的挠度。,y xAB挠度CC转角挠曲线挠曲线方程为式中 ，x,6,y,x,A,B,挠度,C,C,转角,挠曲线,三，挠度与转角的关系：,y xAB挠度CC转角挠曲线三，挠度与转角的关系：,7,y,x,A,B,挠度,C,C,转角,挠曲线,四，挠度和转角符号的规定,挠度：向上为正，向下为负。,转角：,自,x,转至,切线方向,，逆时针转为正，顺时针转为负。,y xAB挠度CC转角挠曲线四，挠度和转角符号的规,8,6.2,挠曲线近似微分方程,一，推导公式,纯弯曲时,曲率与弯矩的关系为,横力弯曲时（,略去剪力对梁的位移的影响,）,M,和,都是 x 的函数,6.2 挠曲线近似微分方程 一，推导公式纯弯曲时,9,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,10,o,x,o,x,y,y,M,M,M,M,M 0,M0,在规定的坐标系中,，,x,轴水平向右,为正，,y,轴竖直向上为正。,“, 0 , M 0 , M 0,因此,M,与,的正负号相同,曲线向下凸 时 ：,曲线向上凸 时 :,oxoxyyMMMMM 0M b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,42,简支梁的最大挠度,处,应,A,B,P,D,1,2,端截面,A,的转角为负。,a,当,a b,时为,D,正。,1,段,简支梁的最大挠度处应ABPD12端截面 A 的转角为负。a当,43,A,B,P,D,1,2,a,挠曲线为光滑曲线。且从 A 截面到 D 截面，转角由负变为正，,改变了符号。,所以, = 0,的截面必在 AD 段内。,既在,AD,段内，挠度有极值,ABPD12a挠曲线为光滑曲线。且从 A 截面到 D 截面，,44,x,1,为挠度最大截面的横坐标。,x1为挠度最大截面的横坐标。,45,梁中点,C,处的挠度为,A,B,P,D,1,2,a,C,梁中点 C 处的挠度为ABPD12aC,46,结论,: 在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上,无 拐点，其,最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,精确度是能满足工程要求的.,结论: 在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上,47,（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上,的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一,段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。,（2）对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分,变量。从而简化了确定积分常数的工作。,积分法的原则,（3）确定积分常数时，先代连续条件再代边界条件。,（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上（2）,48,6.4,叠加法求梁变形,叠加原理,：,梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时，,梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时,作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下,该截面的挠度和转角的叠加。,一，,叠加法求梁变形,当每一项荷载所引起的,挠度为同一方向,（如均沿,y,轴方向 ),其,转角是在同一平面内,( 如均在,xy,平面内 ) 时,则,叠加就是,代数和,。,6.4 叠加法求梁变形叠加原理：梁的变形微小， 且梁在,49,例题,：,一抗弯刚度为,EI,的简支梁受荷载如 图 所示。试按,叠加原理求梁跨中点的挠度,f,C,和支座处横截面的转角,A, ,B,。,A,B,m,C,q,例题：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 所示。试按A,50,解：将梁上荷载分为两项简单,的荷载。,A,C,B,q,m,A,B,C,A,B,m,C,q,解：将梁上荷载分为两项简单 ACBqmABCABmCq,51,A,C,B,q,m,A,B,C,A,B,m,C,q,ACBqmABCABmCq,52,A,C,B,q,m,A,B,C,A,B,m,C,q,( ),( ),ACBqmABCABmCq( )( ),53,例题,:,试,利用叠加法， 求图示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨中点的挠度,C,和两端截面的转角,A, ,B,。,A,B,C,q,例题: 试利用叠加法， 求图示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨中,54,解： 该梁上荷载可视 为,正对称荷载,与,反称对荷载,两种情况的叠加。,A,B,C,q,C,A,B,C,A,B,解： 该梁上荷载可视 为 正对称荷载 与 反称对荷,55,（1）正对称荷载作用下,C,A,B,c1,A1,B1,（1）正对称荷载作用下CABc1A1B1,56,（2）反对称荷载作用下,该截面的,弯矩也等于零,C,A,B,在跨中C 截面处，,挠度,c 等于零,，但,转角不等于零,R,A,（2）反对称荷载作用下该截面的 弯矩也等于零CAB在跨中C,57,可将 AC 段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度,为,l,/2,的简支梁,C,A,B,可将 AC 段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度CA,58,C,A,B,C,A,B,CABCAB,59,C,A,B,C,A,B,A2,B2,CABCABA2B2,60,C,A,B,A2,B2,C,A,B,c1,A1,B1,CABA2B2CABc1A1B1,61,将相应的位移进行叠加, 即得,（ ）,（ ）,将相应的位移进行叠加, 即得（ ）（ ）,62,例题,：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示，试按叠加,原理并利用附表 ，求截面 B 的转角,B,以及 A,端和 BC 中点,D,的挠度,A,和,D,。,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,例题：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示，试按叠加A,63,解：将外伸梁沿,B,截面截成两段，将,AB,段看成,B,截面,固定的,悬臂梁,，,BC,段看成,简支梁,。,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将 AB 段看成 B 截面,64,2q,A,B,B,截面两侧的相互作用力为,剪力：,2qa,2qa,B,C,D,q,2qa,弯矩：,M,B,= qa,2,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,2qABB 截面两侧的相互作用力为剪力：2qa2qaBCDq,65,简支梁,BC,的受力情况与外伸梁,AC,中,BC,段的受力情况相同,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,B,C,D,q,2qa,简支梁 BC 的受力情况与外伸梁 AC 中 BC 段的受力情,66,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,B,C,D,q,2qa,由简支梁,BC,求得的,B,，,D,就是外伸梁,AC,的,B,，,D,ABCDaa2a2qqBCDq2qa由简支梁 BC 求得的,67,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,B,C,D,q,2qa,2qa,作用在支座上不引起变形,ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qa 作用在支座上不引,68,B,C,D,q,简支梁 BC 的变形就是,M,B,和均布荷载,q,分别引起变形的叠加。,A,B,C,D,a,a,2a,2q,q,BCDq简支梁 BC 的变形就是 MB 和均布荷载 q 分别,69,(1) 求,B,，,D,C,q,B,D,B,C,D,B,C,D,q,2a,(1) 求 B ，DCqBDBCDBCDq2a,70,C,q,B,D,B,C,D,B,C,D,q,2qa,2a,CqBDBCDBCDq2qa2a,71,(2) 求,A,由于简支梁上,B,截面的转动，代动,AB,段一起作刚体运,动，使,A,端产生挠度,1,2q,A,B,2qa,A,2qa,B,C,D,q,(2) 求 A由于简支梁上 B 截面的转动，代动 AB 段,72,2q,A,B,2qa,A,2qa,B,C,D,q,a,2qAB2qaA2qaBCDqa,73,2q,A,B,2qa,A,2qa,B,C,D,q,悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，使 A 端产生挠度,2,a,2qAB2qaA2qaBCDq悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，,74,2q,A,B,2qa,A,2qa,B,C,D,q,因此，,A,端的总挠度应为,2qAB2qaA2qaBCDq因此，A 端的总挠度应为,75,2q,A,B,2qa,A,2qa,B,C,D,q,2qAB2qaA2qaBCDq,76,例 题,：用叠加法求梁中点处的挠度。设 b ,l,/ 2 。,A,C,B,b,l,q,例 题：用叠加法求梁中点处的挠度。设 b l / 2,77,解：将均布荷载看作许多微集中力,dP,组成,A,C,B,b,l,q,x,dx,dP = q dx,dP=qdx,解：将均布荷载看作许多微集中力 dP 组成ACBblqxdx,78,A,C,B,b,l,q,x,dx,dP=qdx,ACBblqxdxdP=qdx,79,一. 基本概念,1，超静定梁,6.5 简单超静定梁,单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁 , 称为超静定梁。,A,B,C,P,P,A,B,一. 基本概念 1，超静定梁 6.5 简单超静定梁,80,A,B,C,P,P,A,B,2，“,多余,” 约束,多于维持其静力平衡所必需的,约束。,3，“多余”反力,与,“多余”,约束,相应的支座反力,R,C,ABCPPAB2，“多余” 约束多于维持其静力平衡所必需的约,81,A,B,C,P,P,A,B,R,C,A,B,C,P,R,B,ABCPPABRCABCPRB,82,A,B,C,P,P,A,B,4，超静定次数,超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数。,ABCPPAB4，超静定次数超静定梁的“多余”约束的数目就等,83,A,B,q,二 ，求解超静定梁的步骤,图示为抗弯刚度为 EI 的一次超静定梁。,ABq 二 ，求解超静定梁的步骤图示为抗弯刚度为 EI 的一,84,A,B,q,（1）解除多余约束，代之以,约束反力。得到原超静定梁,的,基本静定系,。,A,B,q,ABq （1）解除多余约束，代之以ABq,85,A,B,q,A,B,q,（2）超静定梁在多余约束处,的约束条件，就是原超静定,梁的,变形相容条件,。,ABq ABq（2）超静定梁在多余约束处,86,A,B,q,A,B,q,（3）根据变形相容条件得,变形几何方程,变形几何方程为,ABq ABq（3）根据变形相容条件得变形几何方程为,87,A,B,q,q,A,B,A,B,查表得,（4）将力与变形的关系代入,变形几何方程得,补充方程,ABqqABAB查表得（4）将力与变形的关系代入,88,A,B,q,q,A,B,A,B,补充方程为,由该式解得,ABqqABAB补充方程为由该式解得,89,梁固定端的两个支反力,q,A,B,l,梁固定端的两个支反力qABl,90,A,B,q,方法二,取支座,A,处阻止梁转动的约束,为多余约束,A,B,q,代以与其相应的多余反力偶,m,A,得基本静定系。,ABq方法二取支座 A 处阻止梁转动的约束ABq代以与其相应,91,A,B,q,A,B,q,变形相容条件为,变形几何方程,补充,方程,ABqABq变形相容条件为变形几何方程补充方程,92,例题,：,梁,A C,如图所示, 梁的,A,端用一钢杆 AD,与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD,内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为,l, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 , 试求钢杆 AD,内的拉力,N。,C,a,2a,A,B,q,2q,D,例题 ：梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD,93,解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞看作,多于约束。拉力 N 为多余反力。基本静定系如图。,A,D,B,C,q,2q,A,N,N,解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞,94,A,D,B,C,q,2q,A,N,N,A,点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A 点。即,ADBCq2qANNA 点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍,95,B,C,q,2q,A,B,C,A,B,C,q,2q,A,N,BCq2qABCABCq2qAN,96,B,C,q,2q,A,在例题 中已求得,BCq2qA在例题 中已求得,97,B,C,A,可算出,BCA可算出,98,B,C,A,B,C,q,2q,A,BCABCq2qA,99,A,D,B,C,q,2q,A,N,N,变形几何方程为,ADBCq2qANN变形几何方程为,100,A,D,B,C,q,2q,A,N,N,拉杆 AD 的伸长为,ADBCq2qANN拉杆 AD 的伸长为,101,A,D,B,C,q,2q,A,N,N,补充方程为,ADBCq2qANN补充方程为,102,A,D,B,C,q,2q,A,N,N,由此解得,ADBCq2qANN由此解得,103,梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有,关外，还取决于以下三个因素：,材料 梁的位移与材料的弹性模量,E,成反比；,截面 梁的位移与截面的惯性矩,I,成反比；,跨长 梁的位移与跨长,l,的,n,次幂,成正比。,6.,6,提高梁的刚度的一些措施,梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有材料 ,104,1，增大梁的抗弯刚度,EI,工程中常采用工字形, 箱形截面,为了减小梁的位移，可采取下列措施,2，调整跨长和改变结构,设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁,的刚度的一个很又效的措施。,1，增大梁的抗弯刚度 EI工程中常采用工字形, 箱形截面为,105,A,B,q,桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短,跨长而减小梁的最大挠度值。,A,B,q,ABq桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短AB,106,