第一章--有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,天气学诊断分析 徐文金,(,南京信息工程大学大气科学学院,),本课为选修课，总学时,32,，其中讲课,26,学时，,上机实习,6,学时，周学时,2,，学分,2.,讲课的时间和地点按学校规定的课程表进行。,上机实习时间定在,12,、,13,、,14,周的星期五下午,7,8,节，地点在网络中心（老图书馆）,311,和,205,室,。,参考书：,1.,周军，天气学诊断分析，我校自编教材。,2.,朱乾根等，天气学原理和方法（第四版），,第七章,7.1,和第十一章，气象出版社，,1,天气学诊断分析,引 言,目前天气学对天气作分析有两种方法。一种是天气图分析；另一种是诊断分析。以下首先对比这两种方法的优缺点，以便能更好地应用好这两种方法。,一， 天气图分析的优点与问题,优点： 天气图分析能展示出大气中气压场，温,度场和天气区分布特征及其演变情况,图象很直,观,一般情况下也容易被理解。为我们提供了,很有用的天气研究工具和天气予报工具。,2,天气图分析存在的问题有：,1,，分析有一定人为的主观性。如锋面和槽线,的分析，缺少数量的标准。,2,，不能分析出复杂天气演变的物理原因。,3,，它所分析的项目与天气动力学理论要求相,差甚远。,天气图分析存在的问题有：,3,第一章-有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件,4,第一章-有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件,5,三,诊断分析的应用,(,它的应用主要在两方面,),1,，在天气动力学的研究中，可做为有力,的研究工具。用诊断分析来了解产生某些天,气过程的物理原因。例如，用,方程做为诊,断方程，用暴雨过程的实测资料,计算该方,程中各物理量，以了解在此次暴雨过程中强,上升运动，主要是那些因子引起的。又例如,用涡度方程和,方程做为诊断方程，用气旋,过程的实测资料，计算诊断方程中各物理量,以了解在此次气旋发展中，涡旋运动的加强,和减弱，主要是那些因子引起的。,第一章-有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件,6,2,，在日常天气业务予报中，也可做为有力的工,具。用诊断分析来展现那些天气物理因子的空间分,布特征和天气区的关系及其时间变化规律，为天,气预报提供更多的合理依据。,在日常天气业务予报工作中，诊断分析和天气图分析，应该是相辅相成的工具。,2，在日常天气业务予报中，也可做为有力的工,7,本课的第一章有限差分方法，讲解天气学理论中偏,微分公式如何转变成差分公式以便实际计算；,第二章讲解温湿特征参量的计算方法和应注意的问题；,第三章讲解运动学特征参量的计算方法和应注意的问题；,第四章讲解由风场计算速度势和流函数的计算和求解方法；,第五章讲解水汽通量、水汽通量散度和理论降水,量的计算方法和应注意的问题。,8,第一章 有限差分方法,学习有限差分方法的必要性：,描述天气演变规律的理论，都是偏微分方程。,而我们能得到的气象要素值都是在离散点上得到,的离散值。我们不可能对气象要素进行理论上的,导数运算。因而在应用天气动力学理论，对具体,天气资料做研究时，我们必需用有限差分方法代,替导数运算。因此，这也是气象理论研究和实际,工作中必需掌握的基本方法。,第一章 有限差分方法,9,1,简单有限差分公式,其理论依据是：泰勒（,Taylor),展开式。它的一维展开式是：,它表示间隔为,x,的离散点,f(x+,x),和,f(x),之间,与导数,f(x),f,(x),，,的关系。在理论上，其展开式是精确成立的。,各种差分公式都是由泰勒,（,Taylor),展开式来构成。,1 简单有限差分公式各种差分公式都是由泰勒,10,一。 一阶微商的几种差分方案,设已知某一要素,A(x),在等距离格距,x,的格点的,值为,A(x), A(x,+,x), A(x,+,2x),则其泰勒,（,Taylor),展开式为,:,(1.1.1),(1.1.2),(1.1.3),(1.1.4),一。 一阶微商的几种差分方案,11,(,一）,两点式差分方案,将（,1,，,1,，,1,）式移项并整理,可得,略去方栝号內高阶微商项。得一阶微商的向前差分方案,（,1.1.5,）,其误差,(,也称为截断误差,),即是所略去的高阶微商项,.,误差的数量级取决于其中微商阶数较低的第一项,.,并,与其中的,x,幂次方成正比,.,因为微商阶数较低的项其,数量级较大,.,在,(1,1,5),式中误差的数量级与,x,一次方成正比,.,记为,O(x).,并称之为一阶精,(,确,),度,.,(一）两点式差分方案,12,(1.1.5,）,（,1,，,1,，,5,）式,向前,差分两点式的几何意义，是表,示通过,A(x+,x),和,A(x),两点直线,的斜率。,而一阶微商的几何意义是：表示通过,A(x),点曲线,的,切线,斜率。,13,用同样方法,由（,1.1.2,）式可得一阶微商的,向后差分方案,（,1.1.6,）,其误差也是一阶精,(,确,),度。（,1,1,6,）式,向后,差,分两点式的几何意义，是表示通过,A(x),和,A(x-,x),两点直线,的斜率。,当然我们也应该记住，,一阶微商的物理意义是：被微商物理量在空间分布的变化强度或随时间的变化强度。,用同样方法,由（1.1.2）式可得一阶微商的,14,(,二）三点式差分方案,由（,1.1.1,）式减去（,1.1.2,）式，,移项并整理后,可得,略去方栝号內高阶微商项,可得一阶微商的三点式差,分方案，,(1.1.7),(1,1,7),式也称之为中心,(,央,),差分方案的其误差为,O(,x,),为二阶精度,.,比前面所讲的两点式差分方案，,具有较高一阶的精度。三点式差分方案的几何意义，是,表示通过,A(x+,x),和,A(x -,x),两点直线的斜率。,(二）三点式差分方案,15,（三）用几何图形直观地理解，上述几种一阶微商,(,导数,),差分方案的精度。如图,2,所示：,A(x),的一阶导数是表示，,A(x),曲线在,x,点的切线,L0,的斜率,.,向前,差,分两点式是表示直线,L1,的斜率。向后,差分,两点式是表示直线,L2,的斜率。三点式（中,心）差分是,表示直线,L3,的,斜率,.,可见，,L3,与,L0,的斜率误差较小,其它的,误差都较大,.,（三）用几何图形直观地理解，上述几种一阶微商(导数) 差分,16,此外注意，差分公式运算也含有两点之间求平均值的含义，因为,在诊断分析中，一阶导数的计算，一般都用二,阶精度的 三点式,(,中心,),差分方案,只有在边界,上,才用误差较大（一阶精度）的两点式向前或,向后差分方案。,17,（四），一阶微商的五点式差分方案,它具有四阶精度的差分方案。它的推导过,是：,将（,1,，,1,，,1,）式减去（,1,，,1,，,2,）式可得,(a),将（,1,，,1,，,3,）式减去（,1,，,1,，,4,）式可得,(b),式,(b),然后，用,4,乘,(a),式减,(b),式 后，再除以,3,，可得,（四），一阶微商的五点式差分方案,18,略去高阶微商项，得到以下（,1.1.8,）式,(1.1.8),它为四阶精度，记为,O(,x,),。,一般讲,差分方案,所用的格点越多，其精度也越高。,第一章-有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件,19,（,五）构造,有限,差分公式的必要条件及,有限差分,公式中各种精度的具体含义是什么？下面就来讨,论这个问题。,我们先来分析泰勒（,Taylor),展开式等号右边,中,含有导数的各项数量级的大小,。,（五）构造有限差分公式的必要条件及有限差分,20,因为气象要素场多呈现波动规律,因此我们可以,假定,: A(x)=BSin(2,x,/L),式中,L,为,A,要素场的波长, B,为其振幅。,其一,阶微商是,A(x)=BCos,(2,x,/L),(2,/L),其二,阶微商是,A(x)=-BSin,(2,x,/L),(2,/L),其三,阶微商是,A(x)=-BCos,(2,x,/L),(2,/L),.,21,其一,阶微商是,A(x)=BCos,(2,x,/L),(2,/L),其二,阶微商是,A(x)=-BSin,(2,x,/L),(2,/L),其三,阶微商是,A(x)=-BCos,(2,x,/L),(2,/L),因为,BSin(2,x,/L),与,B,Cos,(2,x,/L),在,数量级上可,以 认为都等于,B .,所以泰勒展开式中，,A,(x),x,其数量级,=,B,(2,x /L),A,(x),x,/2!,其数量级,=,B,(2,x /L),/2,A,(x),x,/3!,其数量级,=,B,(2,x /L),/6,可见只有在,2,x /L 1,条件下,微商阶数较低的项,其数量级才较大,构造差分方案时,才可以略去高阶微商,项,.,这也就是构造差分方案的必要条件。即应该取,x,L/(2,),即选取差分格距,x,时，必须考虑到计算的对,象的空间尺度,L,，例如若,L=1000Km,则,x160Km.,差分公,式才有意义。,其一阶微商是 A(x)=BCos(2x/L) ,22,在我们来讨论一阶导数的二阶精度和四阶精,度的具体含义。用相对误差来讨论,相对误差,= |,误差值,/,准确值,(,或计算值,)|,一阶导数,，,二阶精度的差分方案略去项是,dA x,+ + -,dx 3!,以其中的第一项来计算，,则它的相对误差,=|A(x),x,/3!/,A(x)|,= (,2,x /L),/6,。,即截断误差的记为,O(,x,),的含义是表示其相,对误差为,: (,2,x /L),/6,23,相对误差为,(,2,x /L)/6,如果,2,x /L= 1,，,它的相对误差为,1/6=17% .,如果,2,x /L=,，,它的相对误差为,1/24=4% .,24,一阶导数，四阶精度的差分方案略去项是,d,A 12 x,+ + -,dx,3 5!,以其中的第一项来计算，,则它的相对误差,=,。,可见截断误差的记为,O(,x,) ,四阶精度的含义是表示其相对误差为,:,(,2,x /L),/,30,如果,2,x /L= 1,，,它的相对误差为,1/30=3 % .,如果,2,x /L=,它的相对误差为,1/480= 0.2% .,一阶导数，四阶精度的差分方案略去项是,25,现在,讨论,如何具体选取差分格距,x,这个问题。,在诊断分析中，一般要求,它的差分计算值的相,对误差,10%,。因为,气象要素观测值的,相对误差,一般在,1%,10%,例如风的观测值的,相对误差就接近,10%,。,前面,讨论了一阶导数的,中心,(,央,),差分方案,为,二阶精度，,若取,2,x/L,，该差分方案,相对误,差为,1/24=4%,，,即应,取,xL/(4,),较为合适。,例,如：计算对象的波长,L=1000,公里时,应取,x=80,100,公里，它的二阶精度差分计算方案，其相对误差大约是,4,%,。,现在讨论如何具体选取差分格距x 这个问题。,26,二，二阶微商的几种差分方案,（一）,三点式差分方案,将（,1.1.1,）式和（,1.1.2,）式相加，移项整理得,略去的高阶导数项。可得（,1.1.7,）式,(1.1.7),其误差数量级记为,O (,x,),称为二阶精度,。,此式特,点是用左右两点的值之和减去中心点乘,2,的值，,再除以格点步长平方值,x,。,在诊断分析中，,二阶导数的计算，一般都用此三点式差分方案。,二，二阶微商的几种差分方案,27,（,二），,二阶导数的五点式差分方案,用上述一阶导数的五点式差分方案类似的方法。,可得二阶导数四阶精度的五点式差分方案,d,A,| 4 A(x+,x)+A(x x) 2A(x), |= ,dx,| 3 x,x,1,A(x+2,x)+A(x 2x) 2A(x), ,3 (2x),上式经整理后可得常见的表达式,(1,1,10),式,d,A,| 4,5, | =, ,A(x+,x)+A(x x) A(x),dx,| 3,2,x,1, ,A(x+2,x)+A(x 2x) ,/ x,(1.1.10),12,（二），二阶导数的五点式差分方案,28,诊断分析中，只有在要求计算精度较高时， 才用 此五点式差分方案。,诊断分析中，只有在要求计算精度较高时， 才用 此五点,29,2,拉普拉斯算子的差分格式,拉普拉斯算子为,A A,A,= + ,x y,在大气动力学中常出现在，如位势傾向方程,(,见书第九页,),f,A ,(,+,) =,p t,和,方程,(,见书第九页,),(,+ f, ),=,p,中, 2 拉普拉斯算子的差,30,一。 设计拉普拉斯算子差分格式的理论依椐,其理论依椐是：二维函数的泰勒展开式,(1,2,1),式,.,二，几种拉普拉斯算子差分格式,（一）,常用的五点式差分格式,x,y,对于如图,2.1b,中四点,(,其中网格步长是,h),可以写,出四个泰勒展开式,两边相加,移项,整理并略去,高阶导数项。可得,A(x,y)= A(x+h,y) + A(x-h,y + A(x,y+h) + A(x,y-h), 4 A(x,y) / h (1.2.7),它便是二阶精度,常用的五点式差分格式,.,此式特,点是用,左右上下,四点的值之和减去中心点乘,4,的值，再除以格点步长平方值,h,。,一。 设计拉普拉斯算子差分格式的理论依椐,31,A(x,y)= A(x+h,y) + A(x-h,y + A(x,y+h) + A(x,y-h), 4 A(x,y) / h (1.2.7),可以理解,(1.2.7),式是,在,x,方向一维二阶导数和,在,y,方向一维二阶导数相加的形式,.,第一章-有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件,32,（二）对角线的五点式差分格式,对于如图,2. 1a,中四点也可以写出四个泰勒展开,式。然后采用上述相同的做法，可得到一种五,点式差分格式（,1.2.6,）式,A(x,y)= A(x+h,y+h) + A(x-h,y-h + A(x-h,y+h),+,A(x+h,y-h) 4 A(x,y) / (2h) (1.2.6),它也是二阶精度,.,称为对角线的五点式差分格式,.,x-h, y+h x+h, y+h,x, y,x-h,y-h x+h,y-h,（二）对角线的五点式差分格式,33,A(x,y)= A(x+h,y+h) + A(x-h,y-h + A(x-h,y+h),+,A(x+h,y-h) 4 A(x,y) / (2h) (1.2.6),它也是二阶精度,.,称为对角线的五点式差分格式,.,注意到,h,是对角线方向格点间的距离,所以,(1,2,6),式和,(1,2,7),式的区别，可以认为是,把坐,标轴转向,45,度的结果，,致使，用了对角线方向的,4,个格点的值,格点步长,变成,h,所以,此式,特点 是用对角线四点的值减去中心点乘,4,的值，,再除以,格点步长,平方值,2h,。,A(x,y)= A(x+h,y+h) +,34,（三）拉普拉斯算子的九点式差分格式,它是用如图,2.1a,和图,2.1b,所有格点，共九点的,要素值来构造，得到一种较为复杂的差分格式,（,1.2.8,）式。它也是二阶精度,一般不常用,.,（三）拉普拉斯算子的九点式差分格式,35, 3,雅可比算子的差分方案,雅可比算子常出现在大气动力学方程中平流项,的表达式中。如涡度平流项为,A=, V,用流函数,表示风场,则有,= J ( ,) = J (,) (1.3.1), 3 雅可比算子的差,36,一，雅可比算子的差分方案,它是对两个不同要素,(,),的一阶导数先相乘，后相减,的运算式,.,所以它的差分方案,在,i, j,网格坐标,(,图,3. 1),中,用一阶导数的中心差分格式，不难写出（,1,3,2,）式,1,J (,)= ( ) (,),4d i+1,j i-1,j i,j+1 i,j-1,( ) (,) (1,3,2),i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j,i,j+1,它的精度为二阶,.,诊断分析中可用此式,.,i-1,j,i, j i+1,j,i, j-1,一，雅可比算子的差分方案,37,二，,Arakawa,的,雅可比算子差分方案,上述（,1.3.2,）式,的,雅可比算子差分方案,一般可用于诊断分析计算,但它不适用于数,值予报，因为在对时间求积分时，发现,（,1.3.2,）式会引起计算不稳定。,Arakawa,所设计,的,雅可比算子差分方案，不仅具有计,算稳定的特点，而且具有四阶精度。在诊断,分析中，如要求做精度较高的计算时，可用,此差分方案。,二，Arakawa 的雅可比算子差分方案,38,他的设计技巧，在于他发现并利用雅可比算子有三个不同的表达式,：,这三个表达式在微商运算中，是相等的。但是它们的,差分表达式可有六种,都不一样。运算值也不一定一样。,因为它们分别用了不同格点上的值来运算得到的,.,把它,们做权重组合，可得到精度很高的差分计算公式,.,他的设计技巧，在于他发现并利用雅可比算子有三个不同,39,例如其中 第一个表达式,J (,) = ,x y y x,在,i, j,网格坐标,(,图,3.2),中已知有一种差方,方案,(1.3.2),式，这里记为,a,1,a =J (,)= ( ) (,),4d,i+1,j i-1,j i,j+1 i,j-1,( ) (,),i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j,该式一个特点是：,参加运算的格点位置,都在,左右上下,的方向上,.,例如其中 第一个表达式,40,J (,) = ,x y y x,把坐标轴转向,45,度还可以得到类似,a,式的另一,种,差分方案,这里记为,D,1,D =,J (,)= ( ) (,),8d,i+1,j+1 i-1,j-1 i-1,j+1 i+1,j-1,( ) (,),i-1,j+1 i+1,j-1 i+1,j+1 i-1,j-1,该式一个特点是：,参加运算的格点位置,都在,对角线,的方向上,.,(,图,3.2),41,其中第二个表达式, , ,J (,) = ( ) ( ),x y y x,按中心差分格式其差方方案记为,b,1,= ( (,) (,),4,d,i+1,j i+1,j+1 i+1,j-1 i-1,j i-1,j+1 i-1,j-1,( (,) + (,) ,i,j+1 i+1,j+1 i-1,j+1 i,j-1 i+1,j-1 i-1,j-1,该,b,式一个特点是,:,参加运算的格点位置,都在,左右上下,的方向上，,参加运算的格点位置,都在,对角线,的方向上,(,图,3.2),。,其中第二个表达式,42,按前面做法,把坐标轴转向,45,度也可以得到,第二,表达式的,另一种,差分方案。这个差分方案记为,E,该式一个特点是,:,参加运算的格点位置,都,在,对角线,的方向上，,参,加运算的格点位置,都在,左右上下,的方向,两个格,距点,上,(,图,3.3),。,按前面做法把坐标轴转向45度也可以得到第二,43,其中第三个表达式, , ,J (,) = (,) (, ),y x x y,与第二个表达式, , ,J (,) = ( ) ( ),y x y x,的差别是,两元素只是在公式中的位置对换一,下,.,所以,只要把,b,与,E,式中的,两元素位置对,换一下,，就,可以得到,第三个表达式,的,两,种,差分方,案记为,c,和,F,。,其中第三个表达式,44,它们的,参加运算的格点位置,都各有特点。,与前述的四种,a, b, D, E,也都不一样。因为它,们分别用了不同格点上的值来运算，得到的运算,值也不一定一样。,第一章-有限差分方法-天气学诊断分析-天气学诊断分析ppt课件,45,把它们做权重组合得到,2 1,J (,)= ( a + b + c ) ( D + E + F ) (1,3,6),3,3,可以证明它具有四阶精度。它一共用了,13,个格点,上的值参与运算,(,图,3.3),。是一个很复杂的差分方,案。在诊断分析中，只有,要求做精度较高的计算,时，才用此差分方案。,把它们做权重组合得到,46,学习这一节不必去记忆那复杂的差分公式。而在,于学习,Arakawa,的设计技巧。这技巧是：,1,，,Arakawa,发现并利用雅可比算子有三个形式,不同，而等价的导数表达式。,2,，在正常的,左右上下,进行差分设计时，也可,以在,对角线,的方向上做类似的差分设计。,3,，将它们做某种权重组合，便可能得到某种精,度较高的差分方案。,学习这一节不必去记忆那复杂的差分公式。而在,47,第一章,有限差分方法,的复习题,1,，请说明设计有,限差分方案的理论依据是什么,?,2,，,请分别写出,A(x+x), A(xx), A(x+2x),A(x2x),的泰勒,(Taylor),展开式。,3,试推导出一阶微商的,三点式,(,中心,),差分公,式,并说明其为几阶精度？,4,试画出图形并说明，一阶微商，及一阶微商的,向前,差分两点式，,向后,差分两点式和,三点式,(,中心,),差分,式,的,几何意义,.,*5,试推导出一阶微商的五,点式差分公,式,(,方案,),并说明其为几阶精度？,第一章有限差分方法的复习题,48,6,假定气象要素场一维空间分布为波状,其波长为,L,请讨,论差分计算时,所设计的空间步长,x,与波长,L,应该满足,什么条件，差分方案才是合理的,?(2,x /L1,条件,),7,假定气象要素场空间分布为波状,其波长为,L,所设计的,空间步长为,x,请说明二阶精度的差分方案,其相对误,差与,L,及,x,有什么关系式,?(,相对误差,=(2,x /L),/6),8,试推导出二阶微商的,三点式差分,方案公式，并说明其,为几阶精度？,*,9,试推导出二阶微商的五,点式差分,方案公式，并说明其,为几阶精度？,10,请写出拉普拉斯算子的，常用的五点式差分格式的,表达式,6,假定气象要素场一维空间分布为波状,其波长为L,请讨,49,