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第五节 合情推理与演绎推理1.1.推理推理（1 1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的的判断的_._.（2 2）分类：推理一般分为）分类：推理一般分为_与与_两类两类.思维过程思维过程合情推理合情推理演绎推理演绎推理2.2.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理定义定义由某类事物的部分事物具由某类事物的部分事物具有某种属性，推断该类事有某种属性，推断该类事物中物中_的推理的推理 由于两类不同对象具有某些由于两类不同对象具有某些_特征，在此基础上，特征，在此基础上，根据一类对象的根据一类对象的_，推断另一类对象也具有推断另一类对象也具有_的其他特征的推理的其他特征的推理 特点特点 由由_到到_、由、由_到到_的推理的推理由由_到到_的推理的推理 每一个事物都有这种每一个事物都有这种属性属性类似类似其他特征其他特征类似类似部分部分整体整体个别个别一般一般特殊特殊特殊特殊3.3.演绎推理演绎推理(1)(1)定义：演绎推理是根据定义：演绎推理是根据_，按照，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.(2)(2)特点：由特点：由_到到_的推理的推理.归纳推理归纳推理类比推理类比推理一般一般步骤步骤(1)(1)通过观察通过观察_情况发情况发现某些现某些_(2)(2)从已知的相同性质中推从已知的相同性质中推出一个明确的出一个明确的_(猜想猜想)(1)(1)找出两类事物之间的找出两类事物之间的_或或_(2)(2)用一类事物的性质去推用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出测另一类事物的性质，得出一个明确的命题一个明确的命题(猜想猜想)一般性命题一般性命题似性似性一致性一致性个别个别相同性质相同性质相相已知的事实和正确的结论已知的事实和正确的结论一般一般特殊特殊判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”“”或或“”“”）.（1 1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确一定正确.().()（2 2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理合情推理.().()（3 3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适类比对象较为合适.().()(4)“(4)“所有所有3 3的倍数都是的倍数都是9 9的倍数，某数的倍数，某数m m是是3 3的倍数，则的倍数，则m m一定是一定是9 9的倍数的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的，这是三段论推理，但其结论是错误的.().()(5)(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确确.().()【解析】【解析】（1 1）错误）错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一归纳推理和类比推理所得到的结论都不一定正确定正确.（2 2）正确）正确.这是类比推理，属于合情推理这是类比推理，属于合情推理.（3 3）错误）错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适比对象较为合适.(4)(4)正正确确.这这是是三三段段论论推推理理，但但其其大大前前提提错错误误，所所以以结结论论也也是是错错误的误的.(5)(5)错错误误.在在演演绎绎推推理理中中，结结论论是是否否正正确确，不不仅仅要要看看是是否否符符合合三三段论的形式，还要看大前提、小前提等是否正确段论的形式，还要看大前提、小前提等是否正确.答案：答案：（1 1）（2 2）（3 3）(4)(5)(4)(5)1 1下列推理是归纳推理的是下列推理是归纳推理的是()()(A)A(A)A，B B为定点，动点为定点，动点P P满足满足|PA|-|PB|=2a|PA|-|PB|=2a|AB|AB|（a a0 0），），则动点则动点P P的轨迹是以的轨迹是以A A，B B为焦点的双曲线为焦点的双曲线(B)(B)由由a a1 1=2=2，a an n=3n-1=3n-1，求出，求出S S1 1，S S2 2，S S3 3，猜想出数列，猜想出数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n的表达式的表达式(C)(C)由圆由圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2的面积的面积S=rS=r2 2，猜想出椭圆，猜想出椭圆 的面积的面积S=abS=ab(D)(D)科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇【解析】【解析】选选B.AB.A为演绎推理，为演绎推理，C C，D D为类比推理为类比推理.2.2.给出下面类比推理命题给出下面类比推理命题(其中其中Q Q为有理数集，为有理数集，R R为实数集，为实数集，C C为为复数集复数集)“若若a a，bRbR，则，则a ab b0 0a ab”b”类比推出类比推出“若若a a，bCbC，则则a ab b0 0a ab”b”；“若若a a，b b，c c，dRdR，则复数，则复数a abibic cdidia ac c，b bd”d”类类比推出比推出“若若a a，b b，c c，dQdQ，则，则 a ac c，b bd”d”；“若若a a，bRbR，则，则a ab b0 0a ab”b”类比推出类比推出“若若a a，bCbC，则则a ab b0 0a ab”b”其中类比得到的结论正确的个数是其中类比得到的结论正确的个数是()()（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【解析】【解析】选选C.C.由复数以及实数的性质可知由复数以及实数的性质可知是正确的类比，是正确的类比，其结果是正确的，而类比其结果是正确的，而类比得到的结论是错误的，例如：得到的结论是错误的，例如：a=2+i,b=1+ia=2+i,b=1+i，有，有a-b=10a-b=10，但不能有，但不能有2+i1+i2+i1+i，因为虚数不能，因为虚数不能比较大小比较大小.3.3.设设 记记f f1 1(x)=f(x),(x)=f(x),若若f fn+1n+1(x)=f(f(x)=f(fn n(x),(x),则则f f2 0122 012(0)=()(0)=()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)(A)0 (B)1 (C)-1 (D)不存在不存在【解析】【解析】选选A.A.所以所以f f5 5(x)=f(x)=f1 1(x)(x)，f f6 6(x)=f(x)=f2 2(x)(x)，f f2 0122 012(x)=f(x)=f4 4(x)=x(x)=x，故，故f f2 0122 012(0)=0.(0)=0.4 4已知已知a a0 000，a a1 100，a a2 20,a0,a3 30,0,设方程设方程a a0 0 x+ax+a1 1=0=0的一个的一个根是根是x x1 1,则则 方程方程a a0 0 x x2 2+a+a1 1x+ax+a2 2=0=0的两个根是的两个根是x x1 1,x,x2 2，则，则 由此类推方程由此类推方程a a0 0 x x3 3+a+a1 1x x2 2+a+a2 2x+ax+a3 3=0=0的三个根是的三个根是x x1 1,x,x2 2,x,x3 3，则，则x x1 1+x+x2 2+x+x3 3=()=()【解析解析】选选A.A.由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数的关系可得的关系可得.考向考向 1 1 归纳推理归纳推理【典例【典例1 1】(1)(2012(1)(2012江西高考江西高考)观察下列各式：观察下列各式：a+b=1a+b=1，a a2 2+b+b2 2=3,a=3,a3 3+b+b3 3=4,a=4,a4 4+b+b4 4=7,a=7,a5 5+b+b5 5=11=11，则，则a a1010+b+b1010()()(A)28 (B)76 (C)123 (D)199(A)28 (B)76 (C)123 (D)199(2)(2)设设 先分别求先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)分析从第三个式子开始，其值与前两个式子分析从第三个式子开始，其值与前两个式子的值的和，发现其中的规律的值的和，发现其中的规律.（2 2）由）由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)f(-2)+f(3)的值可猜想的值可猜想f(x)+f(1-x)f(x)+f(1-x)的值的值.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.利用归纳法，利用归纳法，a+b=1a+b=1，a a2 2+b+b2 2=3=3，a a3 3+b+b3 3=4=3+1=4=3+1，a a4 4+b+b4 4=7=4+3=7=4+3，a a5 5+b+b5 5=11=7+4=11=7+4，a a6 6+b+b6 6=18=11+7=18=11+7，a a7 7+b+b7 7=29=18+11=29=18+11，a a8 8+b+b8 8=47=29+18=47=29+18，a a9 9+b+b9 9=76=47+29=76=47+29，规律为从第三组开始，其结，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和，故果为前两组结果的和，故a a1010+b+b1010=76+47=123.=76+47=123.(2)(2)【互动探究】【互动探究】利用本例第利用本例第(2)(2)题中的结论计算题中的结论计算f(-2 012)+f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值的值.【解析】【解析】由本例第由本例第(2)(2)题中的结论题中的结论f(x)+f(1-x)=f(x)+f(1-x)=得得方法一：方法一：f(-2 012)+f(2 013)=f(-2 012)+f(2 013)=f(-2 011)+f(2 012)=f(-2 011)+f(2 012)=故故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)+f(2 013)=方法二：令方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+S=f(-2 012)+f(-2 011)+f(2 013)+f(2 013)则则S=f(2 013)+f(2 012)+S=f(2 013)+f(2 012)+f(-2 012)+f(-2 012)，2S=4 0262S=4 026f(-2 012)+f(2 013)f(-2 012)+f(2 013)=4 026=4 026【拓展提升】【拓展提升】归纳推理的步骤与技巧归纳推理的步骤与技巧(1)(1)归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；通过观察个别情况发现某些相同性质；从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.(2)(2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.【变式备选】【变式备选】(1)(1)（20132013鹰潭模拟）观察下列等式：鹰潭模拟）观察下列等式：1 12 2=1=11 12 2-2-22 2=-3=-31 12 2-2-22 2+3+32 2=6=61 12 2-2-22 2+3+32 2-4-44 4=-10=-10由以上等式推测到一个一般的结论，对于由以上等式推测到一个一般的结论，对于nNnN*，1 12 2-2-22 2+3+32 2-4-42 2+（-1-1）n+1n+1n n2 2=_.=_.【解析】【解析】由上述已知等式的特点，可得由上述已知等式的特点，可得1 12 2-2-22 2+3+32 2-4-42 2+（-1-1）n+1n+1n n2 2=答案：答案：(2)(2)（20122012长沙模拟）下列一组不等式：长沙模拟）下列一组不等式：将上述不等式在左右两端仍为两项和将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为例，则推广的不等式为_._.【解析】【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的次数之间的关系可得次数之间的关系可得.答案：答案：a am+nm+n+b+bm+nm+naam mb bn n+a+an nb bm m(a,b0,ab,m,n0)(a,b0,ab,m,n0)考向考向 2 2 类比推理类比推理【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013西安模拟）按照下面三种化合物的结西安模拟）按照下面三种化合物的结构式及分子式规律，写出后一种化合物的分子式是构式及分子式规律，写出后一种化合物的分子式是()()(A)C(A)C4 4H H7 7 (B)C (B)C4 4H H8 8 (C)C (C)C4 4H H9 9 (D)C (D)C4 4H H1010THANK YOUSUCCESS2024/7/2925可编辑（2 2）（）（20132013太原模拟）若等差数列太原模拟）若等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差，公差为为d d，前，前n n项的和为项的和为S Sn n，则数列，则数列 为等差数列，且通项为为等差数列，且通项为 类似地，请完成下列命题：若各项均为正数类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的等比数列bbn n 的首项为的首项为b b1 1，公比为，公比为q q，前，前n n项的积为项的积为T Tn n，则，则_【思路点拨】【思路点拨】（1 1）观察）观察C C，H H的变化特点，类比出后一个化合的变化特点，类比出后一个化合物的分子式物的分子式.（2 2）“除除”与与“开方开方”相类比，即相类比，即“加加”与与“乘乘”相类比，相类比，【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选D.D.由前三种化合物的结构式及分子式规由前三种化合物的结构式及分子式规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C C和两个和两个H H，故后，故后一种化合物的分子式为一种化合物的分子式为C C4 4H H1010.（2 2）因为）因为T Tn n=b=b1 1b b2 2b b3 3b bn n=q q1+2+3+1+2+3+(n-1)+(n-1)所以数列所以数列 是首是首项为项为b b1 1，公比为，公比为 的等比数列，其通项为的等比数列，其通项为答案：答案：数列数列 为等比数列，且通项为为等比数列，且通项为【拓展提升】【拓展提升】1.1.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤(1)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题确的命题(猜想猜想).).2.2.熟悉常见的类比对象熟悉常见的类比对象(1)(1)平面与空间的类比平面与空间的类比平面平面空间空间点点线线线线面面圆圆球球三角形三角形三棱锥三棱锥角角二面角二面角面积面积体积体积周长周长表面积表面积(2)(2)等差数列与等比数列的类比等差数列与等比数列的类比等差数列等差数列等比数列等比数列两项之和两项之和两项之积两项之积两项之差两项之差两项之比两项之比前前n n项之和项之和前前n n项之积项之积【变式训练】【变式训练】（1 1）在平面上，若两个正三角形的边长的比为）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1212，则它们的面积比为，则它们的面积比为14.14.类似地，在空间中，若两个正类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为四面体的棱长的比为1212，则它们的体积比为，则它们的体积比为_【解析】【解析】答案：答案：1818（2 2）（）（20132013宁德模拟）若宁德模拟）若aan n 是等差数列，是等差数列，m,n,pm,n,p是互不相是互不相等的正整数，则有：等的正整数，则有：(m-n)a(m-n)ap p+(n-p)a+(n-p)am m+(p-m)a+(p-m)an n=0=0，类比上述性，类比上述性质，相应地，对等比数列质，相应地，对等比数列bbn n，m,n,pm,n,p是互不相等的正整数，是互不相等的正整数，有有_._.【解析】【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论由等差数列与等比数列的性质易得结论.答案：答案：【易错误区】【易错误区】归纳推理不当致误归纳推理不当致误【典例】【典例】（20122012陕西高考）观察下列不等式：陕西高考）观察下列不等式：照此规律，第五个不等式为照此规律，第五个不等式为_._.【误区警示】【误区警示】本题在解答中容易出现以下错误：（本题在解答中容易出现以下错误：（1 1）对于给）对于给定的式子，只观察其结果，而不去继续探究下面几个式子，从定的式子，只观察其结果，而不去继续探究下面几个式子，从而找不到正确的规律而误解而找不到正确的规律而误解.（2 2）错误地以为：第几个式子，）错误地以为：第几个式子，其左边的最后一项的分母就是几的平方，从而，错误地得到第其左边的最后一项的分母就是几的平方，从而，错误地得到第五个不等式为五个不等式为【规范解答】【规范解答】左边的式子的通项是左边的式子的通项是 右边右边的分母依次增加的分母依次增加1 1，分子依次增加，分子依次增加2 2，还可以发现右边分母与左，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为答案：答案：【思考点评】【思考点评】多角度分析规律多角度分析规律通过归纳推理，得到一般规律时，要仔细观察不等式两边式子通过归纳推理，得到一般规律时，要仔细观察不等式两边式子的特点，从各个不同的角度分析规律，总结不等式中指数、项的特点，从各个不同的角度分析规律，总结不等式中指数、项数、分子、分母之间的数量关系，由此得到一般规律数、分子、分母之间的数量关系，由此得到一般规律.1 1（20132013南昌模拟）为保证信息安全传输，有一种秘密密南昌模拟）为保证信息安全传输，有一种秘密密码加密系统，其加密、解密的原理如图码加密系统，其加密、解密的原理如图.现在加密密钥为现在加密密钥为y=logy=loga a（x+2x+2），如上所示，明文），如上所示，明文“6”“6”通过加通过加密后得到密文密后得到密文“3”“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文明文“6”“6”，问：若接受方接到密文，问：若接受方接到密文“4”“4”，则解密后的明文为，则解密后的明文为()()(A)12 (B)13 (C)14 (D)15(A)12 (B)13 (C)14 (D)15【解析】【解析】选选C.C.加密密钥为加密密钥为y=logy=loga a（x+2x+2），），由其加密解密原理可知，由其加密解密原理可知，当当x=6x=6时，时，y=3y=3，a=2a=2，不妨设接受方接到密文为不妨设接受方接到密文为“4 4”的明文为的明文为b b，则有则有4=log4=log2 2（b+2b+2），），b+2=2b+2=24 4=16=16，b=14.b=14.2.2.（20132013合肥模拟）给出下列三个类比结论：合肥模拟）给出下列三个类比结论：(ab)(ab)n na an nb bn n与与(a(ab)b)n n类比，则有类比，则有(a(ab)b)n na an nb bn n；logloga a(xy)(xy)logloga ax xlogloga ay y与与sin(sin()类比，则有类比，则有sin(sin()sin sin sin sin；(a(ab)b)2 2a a2 22ab2abb b2 2与与(ab)2 2类比，则有类比，则有(ab)2 2a2 22 2abb2 2.其中结论正确的个数是其中结论正确的个数是()()（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【解析】【解析】选选B.B.根据所学知识知根据所学知识知 sin(+)=sin cos+cos sin,sin(+)=sin cos+cos sin,故故与与都是错误都是错误的，只有的，只有正确正确3.3.（20132013赣州模拟）设等差数列赣州模拟）设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，则，则S S4 4，S S8 8-S-S4 4，S S1212-S-S8 8，S S1616-S-S1212成等差数列，类比以上结论有：设等比成等差数列，类比以上结论有：设等比数列数列bbn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n，则，则T T4 4，_，_，成等成等比数列比数列.【解析】【解析】由等差数列中的由等差数列中的“差差”，类比等比数列中的，类比等比数列中的“商商”，成等比数列成等比数列.答案：答案：1.1.已知已知2 21 11=2,21=2,22 213=34,213=34,23 3135=456,135=456,，以，以此类推，第此类推，第5 5个等式为个等式为()()（A A）2 24 41357=56781357=5678（B B）2 25 513579=5678913579=56789（C C）2 24 413579=67891013579=678910（D D）2 25 513579=67891013579=678910【解析】【解析】选选D.D.由已给出的规律，第由已给出的规律，第4 4个等式为个等式为2 24 413571357=5678=5678，第，第5 5个等式为：个等式为：2 25 513579=67813579=678910910，选，选D.D.2.2.在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若a an n00，公差，公差d0d0，则有，则有a a4 4aa6 6 a a3 3aa7 7，类比上述性质，在等比数列，类比上述性质，在等比数列bbn n 中，若中，若b bn n00，公比，公比q1q1，则，则b b4 4,b,b5 5,b,b7 7,b,b8 8的一个不等关系是的一个不等关系是()()（A A）b b4 4+b+b8 8bb5 5+b+b7 7 （B B）b b4 4+b+b8 8bbb5 5+b+b8 8 （D D）b b5 5bb8 8b a a3 3a a7 7，得在等比数列，得在等比数列bbn n 中，由中，由4+8=5+74+8=5+7，应有，应有b b4 4+b+b8 8bb5 5+b+b7 7，证明：证明：b b4 4+b+b8 8-b-b5 5-b-b7 7=b=b1 1q q3 3+b+b1 1q q7 7-b-b1 1q q4 4-b-b1 1q q6 6=b=b1 1q q3 3(1+q(1+q4 4-q-q-q-q3 3)=b)=b1 1q q3 3q q3 3(q-1)-(q-1)(q-1)-(q-1)=b=b1 1q q3 3(q(q3 3-1)(q-1)0,-1)(q-1)0,bb4 4+b+b8 8bb5 5+b+b7 7.48写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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