等差数列前N项和的公式课件

等差数列的前等差数列的前n项和项和复习回顾(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式:已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有:an=a1+(n-1)d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质等差数列的性质:在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么:an+am=ap+aq复习回顾复习回顾(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式:泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案案之之细细致致令令人叫绝。人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见见左图），奢靡之程度，可见一斑。左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰 问题问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+100=x,(1)那么100+99+98+1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101所以x=5050.高斯高斯 问题问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯：对于这个问题，德国著名数学家高斯10探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？这这是是求求奇奇数数个个项项和和的的问问题题，不不能能简简单单模模仿仿偶偶数数个个项项求求和和的的办办法法，需需要要把把中中间间项项1111看看成成首首、尾尾两两项项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对”的算法还得分的算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？有无简单的方法？探究发现问题探究发现问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有多少颗宝石？层一共有多少颗宝石？探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。探究发现问题探究发现问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有多少颗宝石？层一共有多少颗宝石？探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？123212120191获得算法：获得算法：探究发现问题探究发现问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有多少颗宝石？层一共有多少颗宝石？1设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导设等差数列设等差数列a1,a2,a3,下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式项和公式由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。这就是：知三求二由此得到等差数列的由此得到等差数列的an前前n项和的公式即：等差数列前项和的公式即：等差数列前n项的项的（2）1+3+5+（2n-1）=（1）1+2+3+n=（3）2+4+6+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn=SnSn你能做多块？你能做多块？（2）1+3+5+（2n-1）=（1）1+2+3+【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的项和公式的方法叫方法叫 ；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；an为等差数列为等差数列 ，这，这是一个关于是一个关于 的没有的没有 的的“”倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（注意注意 a 还还可以是可以是 0）【说明】【说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 例例1 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的 V V V V形形形形架的最下面一层放一支铅笔，往架的最下面一层放一支铅笔，往架的最下面一层放一支铅笔，往架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，上每一层都比它下面一层多一支，上每一层都比它下面一层多一支，上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放最上面一层放最上面一层放最上面一层放120120120120支。这个支。这个支。这个支。这个V V V V形架形架形架形架上共放着多少支铅笔？上共放着多少支铅笔？上共放着多少支铅笔？上共放着多少支铅笔？解解：由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为为an,其中其中 a1=1,a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项项和的公式，得和的公式，得答：答：V形架上共放着形架上共放着 7 260支铅笔。支铅笔。例例1 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，形架的最下面一层放一支铅笔，例例2：在等差数列在等差数列an中，中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)0.7=32 n=26（1）a3=-2，a8=12，求，求S10解解：（1）a1+a10=a3+a8=10例例2：在等差数列：在等差数列an中，（中，（2）a1=14.5，d=0.7巩固练习巩固练习1、已知、已知 a6+a9+a12+a15=192,求求 S202、凸、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为边形各内角成等差数列，公差为 10，最小，最小内角为内角为 100，则，则n等于等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或或 9 a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20 a1+a20=96由题意，得由题意，得:解得解得 n=8 或或 n=9（舍）（舍）B巩固练习巩固练习1、已知、已知 a6+a9+a12+a15=192,求求 S3.一个项数为一个项数为36的数列的前四项和是的数列的前四项和是21，后四，后四 项和是项和是67，求这个数列的和，求这个数列的和。3.一个项数为一个项数为36的数列的前四项和是的数列的前四项和是21，后四，后四等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题活运用解决相关问题 课堂小结课堂小结 等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：熟练掌握等差数列的两个求熟练掌握等差数列的两个求休休 息息 十十 分分 钟钟明天见明天见休休 息息 十十 分分 钟明天见钟明天见