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9 9.5 5椭圆椭圆知识梳理双基自测21自测点评1.椭圆的定义平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做.这两个定点叫做椭圆的,两焦点间的距离叫做椭圆的.注:若点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数,则有如下结论:(1)若ac,则点M的轨迹为;(2)若a=c,则点M的轨迹为;(3)若a0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)5知识梳理双基自测自测点评234152.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()答案解析解析关闭 答案解析关闭6知识梳理双基自测自测点评234153.(2017湖南长沙一模)已知椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()答案解析解析关闭 答案解析关闭7知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭8知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭9知识梳理双基自测自测点评1.要熟练掌握椭圆中的参数a,b,c的内在关系及椭圆的基本性质.2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化情况来判断椭圆的扁圆程度.3.解决椭圆中的焦点三角形问题要充分运用椭圆的定义、三角形的有关知识,对于其面积公式要熟记,以避免计算量太大而出错.10考点1考点2考点3例1(1)(2017河北衡水金卷一)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=8上的动点,点F(1,0),O为坐标原点,线段MF的垂直平分线交ME于点P,则动点P的轨迹方程为.求椭圆C的方程;直线y=kx+(k0)交椭圆C于不同的点E,F,且E,F都在以B(0,-2)为圆心的圆上,求k的值.思考如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?11考点1考点2考点312考点1考点2考点313考点1考点2考点314考点1考点2考点3解题心得1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的焦点三角形中的数量关系.2.对于椭圆标准方程的求解,首先要明确参数a,b,c,其次要熟练掌握其内在关系,最后对于椭圆上的已知点要有代入的意识.15考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)(2017北京东城模拟)若过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则点A,B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()(2)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.16考点1考点2考点3解析:(1)因为椭圆方程为4x2+y2=1,所以a=1.根据椭圆的定义,知ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹17考点1考点2考点3思考如何理清椭圆的几何性质之间的内在联系?18考点1考点2考点319考点1考点2考点320考点1考点2考点3(方法二)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.易知AB与x轴不垂直,则x1x2,代入得,x2+4x+8-2b2=0.21考点1考点2考点322考点1考点2考点3解题心得1.求解与椭圆的几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.2.椭圆中的最值往往与椭圆的范围有关联,如-axa,-byb就是椭圆中的隐含条件,要注意灵活应用.23考点1考点2考点324考点1考点2考点3答案:(1)A(2)A 25考点1考点2考点326考点1考点2考点3例3设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过点B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.思考解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是什么?27考点1考点2考点3解(1)因为|AD|=|AC|,EBAC,所以EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,所以|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为28考点1考点2考点329考点1考点2考点330考点1考点2考点3解题心得1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,再应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.31考点1考点2考点3对点训练对点训练3(2017辽宁大连一模)已知椭圆Q:+y2=1(a1),F1,F2分别是其左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点.(1)求椭圆Q的方程;(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是,求|AB|的最小值.32考点1考点2考点333考点1考点2考点334考点1考点2考点335考点1考点2考点31.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小.2.关于离心率的范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为0eb0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.36高频考点高考中椭圆的离心率问题离心率是椭圆的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而得出离心率.求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式的知识及椭圆的范围等几何特点.37答案D38解析当点P与短轴的顶点重合时,F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰三角形F1F2P;当F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,以F2P作为等腰三角形的底边为例,因为F1F2=F1P,所以点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有两个交点时,存在2个满足条件的等腰三角形F1F2P.3940414243444546
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