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4444坐标系与参数方程坐标系与参数方程知识梳理双基自测234165自测点评1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.知识梳理双基自测自测点评2341652.极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫极点,从O点引一条射线Ox,叫极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫点M的极径,记为,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫点M的极角,记为.有序数对(,)叫点M的极坐标,记作M(,).知识梳理双基自测自测点评234165(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x=cos,y=sin.另一种关系为2=x2+y2,tan=(x0).知识梳理双基自测自测点评2341653.直线的极坐标方程若直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则它的方程为:sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:=0和=-0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos=a;(3)直线过M 且平行于极轴:sin=b.知识梳理双基自测自测点评2341654.圆的极坐标方程若圆心为M(0,0),半径为r的圆方程为2-20cos(-0)+-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:=r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:=2acos;(3)当圆心位于M ,半径为a:=2asin.知识梳理双基自测自测点评2341655.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数 并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.知识梳理双基自测自测点评2341656.一些常见曲线的参数方程(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为=2asin.()2知识梳理双基自测3415自测点评 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)1.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.()(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.()知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评1.在极坐标系下,点的极坐标不是唯一的,极坐标(,),(,+2k)等表示同一点的坐标.因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程.2.判断曲线的极坐标方程或曲线的参数方程表示什么曲线时,一般先化为直角坐标方程或普通方程再判断.3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系,或者求两曲线的交点,都是把曲线方程化为直角坐标方程或普通方程后再进行判断或求解.考点1考点2考点3考点4考点5考向一直角坐标方程化为极坐标方程例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.思考如何进行直角坐标与极坐标的互化?考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考向二极坐标方程化为直角坐标方程例2(2016山西朔州模拟)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos,sin,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.对点训练对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为 ,半径为1.求圆C1的极坐标方程;设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.考点1考点2考点3考点4考点5(2)在极坐标系下,已知圆O:=cos+sin 和直线l:以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.求圆O和直线l的直角坐标方程;当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到公式sin2+cos2=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离.2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(1,),B(2,)的距离|AB|=|2-1|.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练3(2016全国甲卷,文23)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5例5(2016河北唐山一中二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=8cos.(1)求C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求弦长|AB|.思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练4已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 (t为参数,为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为=4cos.(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点51.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式cos=x,sin=y,2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以等.2.要判断极坐标系中曲线的形状,可以先将方程化为直角坐标方程再进行判断.3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:考点1考点2考点3考点4考点51.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
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