资源描述
9 9.2 2点与直线、两条直线的点与直线、两条直线的 位置关系位置关系-2-知识梳理双基自测231自测点评1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种情况.(1)两条直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).平行、相交、重合-3-知识梳理双基自测231自测点评(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.A1A2+B1B2=0-4-知识梳理双基自测自测点评2312.两条直线的交点 唯一解无解无穷多解-5-知识梳理双基自测自测点评2313.三种距离 2-6-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)-7-知识梳理双基自测自测点评234152.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案 答案关闭A-8-知识梳理双基自测自测点评234153.(2017福建莆田一模)已知a为实数,直线l1:ax+y=1,l2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭由“l1l2”得到a2-1=0,解得a=-1或a=1,所以应是充分不必要条件.故选A.答案解析关闭A-9-知识梳理双基自测自测点评234154.(2017广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4 答案解析解析关闭因为直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,所以m(m-1)=3m2,解得m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案解析关闭B-10-知识梳理双基自测自测点评234155.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=.答案解析解析关闭因为两条直线垂直,所以(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.答案解析关闭0或1-11-知识梳理双基自测自测点评1.对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围.2.求解点到直线的距离和两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式.-12-考点1考点2考点3考点4例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论?-13-考点1考点2考点3考点4解(1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.-14-考点1考点2考点3考点4综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0;由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160.故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.-15-考点1考点2考点3考点4(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立.当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于l2.-16-考点1考点2考点3考点4解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.-17-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练1(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1l2,l2l3,则实数m+n的值为.(2)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.l1l2,且l1过点(-3,-1);l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.-18-考点1考点2考点3考点4-19-考点1考点2考点3考点4(2)解由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.l1l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),此种情况不存在,k20,即k1,k2都存在.又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.(*)联立(*)(*),解得a=2,b=2.-20-考点1考点2考点3考点4-21-考点1考点2考点3考点4例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么?-22-考点1考点2考点3考点4法二:直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0.l与l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.-23-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.-24-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=()(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为.答案:(1)B(2)3x+y=0-25-考点1考点2考点3考点4-26-考点1考点2考点3考点4例3(2017四川绵阳一诊)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为()思考利用距离公式应注意的问题有哪些?答案解析解析关闭 答案解析关闭-27-考点1考点2考点3考点4解题心得利用距离公式应注意:(1)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等;(2)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|.-28-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3已知点P(2,-1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程.(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.-29-考点1考点2考点3考点4解(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.-30-考点1考点2考点3考点4(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.-31-考点1考点2考点3考点4考向一点关于点的对称问题例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.思考有关点关于点的对称问题该如何解?答案解析解析关闭设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0.答案解析关闭x+4y-4=0-32-考点1考点2考点3考点4考向二点关于直线的对称问题例5已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A的坐标为.思考有关点关于直线的对称问题该如何解?答案解析解析关闭 答案解析关闭-33-考点1考点2考点3考点4考向三直线关于直线的对称问题例6已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.思考有关直线关于直线的对称问题该如何解?-34-考点1考点2考点3考点4解在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a,b),则又m经过点N(4,3),所以由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0.-35-考点1考点2考点3考点4解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上.3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.-36-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)(2017广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于.(3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.答案 答案关闭-37-考点1考点2考点3考点4解析:(1)设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.(2)以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),-38-考点1考点2考点3考点4故反射点M的坐标为(-1,2).又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设点P关于直线l的对称点P(x0,y0),-39-考点1考点2考点3考点4根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.-40-考点1考点2考点3考点4(方法二)设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P(x,y),代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,故反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.-41-考点1考点2考点3考点41.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.-42-考点1考点2考点3考点43.轴对称问题(1)点关于直线的对称(2)直线关于直线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题.-43-考点1考点2考点3考点41.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的.2.讨论直线的位置关系涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形.3.“l1l2A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.-44-思想方法转化思想在对称问题中的应用1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,则要看A,B两点相对直线l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求.2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求.-45-46-(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则|PB|-|PA|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,|PB|-|PA|取得最大值|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,故所求的点P的坐标为(12,10).
展开阅读全文