资源描述
三年三年8 8考考 高考指数高考指数:1.1.了解平面向量基本定理及其意了解平面向量基本定理及其意义；2.2.掌握平面向量的正交分解及坐掌握平面向量的正交分解及坐标表示；表示；3.3.会用坐会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.4.理解用坐理解用坐标表示的平面向量共表示的平面向量共线的条件的条件.1.1.平面向量基本定理的平面向量基本定理的应用、坐用、坐标表示下向量的表示下向量的线性运算及向性运算及向量共量共线条件的条件的应用是考用是考查重点重点.2.2.题型以客型以客观题为主，与三角、解析几何等知主，与三角、解析几何等知识交交汇则以解答以解答题为主主.1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理前提：前提：e1 1,e2 2是同一个平面内的两个是同一个平面内的两个_._.条件：条件：对于于这一平面内的任一向量一平面内的任一向量a,_,_实数数1 1,2 2满足足a=_.=_.结论：不共：不共线的向量的向量e1 1,e2 2叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一一平面内所有向量的一组基底基底.不共线向量不共线向量有且只有一对有且只有一对1 1e1 1+2 2e2 2【即时应用】【即时应用】判断下列关于基底的判断下列关于基底的说法是否正确法是否正确(请在括号内打在括号内打“”“”或或“”).“”).(1)(1)在在ABCABC中，中，可以作可以作为基底基底.().()(2)(2)能能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的表示一个平面内所有向量的基底是唯一的.().()(3)(3)零向量不能作零向量不能作为基底基底.().()【解析】【解析】由基底的定义可知由基底的定义可知(1)(3)(1)(3)正确；正确；(2)(2)只要是同一平面只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(2)(2)错误错误.答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)2.2.平面向量的坐平面向量的坐标表示表示(1)(1)向量的向量的夹角角定定义：如：如图，两个，两个_a和和b，作作 则向量向量a与与b的的夹角是角是_._.范范围：向量：向量a与与b的的夹角的范角的范围是是_._.当当00时,a与与b_._.当当180180时,a与与b_._.当当=90=90时,a与与b_._.非零向量非零向量或或AOBAOB01800180同向同向反向反向垂直垂直(2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解向量正交分解是把一个向量分解为两个两个_的向量的向量.(3)(3)平面向量的坐平面向量的坐标表示表示在直角坐在直角坐标系中，分系中，分别取与取与x x轴、y y轴方向相同的两个方向相同的两个单位向量位向量i,j作作为基底，由平面向量基本定理知，基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量平面内的任一向量a可表示成可表示成a=x=xi+y+yj，由于，由于a与数与数对(x,y)(x,y)是一一是一一对应的，因此向量的，因此向量a的坐的坐标是是_，记作作a=(x,y)(x,y)，其中，其中a在在x x轴上的坐上的坐标是是_，a在在y y轴上的坐上的坐标是是_互相垂直互相垂直(x,y)(x,y)x xy y(4)(4)规定定相等的向量坐相等的向量坐标_，坐，坐标_的向量是相等的向量；的向量是相等的向量；向量的坐向量的坐标与表示与表示该向量的有向向量的有向线段的始点、段的始点、终点的具体位点的具体位置无关，只与其相置无关，只与其相对位置有关系位置有关系相同相同相同相同【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：在思考：在ABCABC中，向量中，向量 与与 的的夹角角为ABCABC，是否正，是否正确？确？提示：提示：不正确不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量向量 与与 的夹角为的夹角为-ABC.-ABC.(2)(2)已知已知A(2A(2，0)0)，a=(x+3=(x+3，x-3y-5)x-3y-5)，若，若a=，O O为原点，原点，则x=_,y=_.x=_,y=_.【解析】【解析】a=(2=(2，0).0).解得解得答案：答案：-1 -2-1 -23.3.平面向量坐平面向量坐标运算运算向量的向量的加、减加、减法法实数与实数与向量的向量的积积向量的向量的坐标坐标【即时应用】【即时应用】(1)(1)已知已知a=(1=(1，1)1)，b=(1=(1，-1)-1)，则(2)(2)已知点已知点A(-1A(-1，-5)-5)和向量和向量a=(2,3).=(2,3).若若 =3 =3a，则点点B B的坐的坐标为_._.(3)(3)设a=(-1,2),=(-1,2),b=(1,-1),=(1,-1),c=(3,-2),=(3,-2),且且c=p=pa+q+qb,则实数数p p、q q的的值分分别为_、_._.【解析】【解析】(1)(1)(2)(2)设设B(x,y)B(x,y)，则，则 =(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),=(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(3)(3(3)(3，-2)=p(-1-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),答案：答案：(1)(2)(5(1)(2)(5，4)(3)1 44)(3)1 44.4.平面向量共平面向量共线的坐的坐标表示表示设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则ab b _.x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0【即时应用】【即时应用】(1)(1)已知已知a=(-1,3),=(-1,3),b=(x,-1),=(x,-1),且且a、b共共线，则x=_.x=_.(2)(2)设a=(1,1),=(1,1),b=(-1,0),=(-1,0),若向量若向量a+b与向量与向量c=(2,1)=(2,1)共共线，则=_.=_.【解析】【解析】(1)(1)ab,(-1),(-1)2 2-3x=0,x=-3x=0,x=(2)(2)a+b=(1,1)+(-1,0)=(-1,),=(1,1)+(-1,0)=(-1,),又又(a+b)c,(-1)1-2=0,=-1.,(-1)1-2=0,=-1.答案：答案：(1)(2)-1(1)(2)-1 平面向量基本定理及其平面向量基本定理及其应用用【方法点睛】【方法点睛】用平面向量基本定理解决用平面向量基本定理解决问题的一般思路的一般思路先先选择一一组基底，并运用基底，并运用该基底将条件和基底将条件和结论表示成向量的形表示成向量的形式，再通式，再通过向量的运算来解决向量的运算来解决.【提醒】【提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.【例【例1 1】如】如图所示，在平行四所示，在平行四边形形ABCDABCD中，中，M M，N N分分别为DCDC，BCBC的中点，已知的中点，已知 试用用c,d表示表示【解题指南】【解题指南】直接用直接用c,d表示表示 有难度，可换一个角度，有难度，可换一个角度，由由 表示表示 进而求进而求【规范解答】【规范解答】方法一方法一:设设则则 将将代入代入得得 代入代入得得方法二方法二:设设因为因为M M，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以因而因而即即【反思【反思感悟】感悟】1.1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同基底不同,表示也不同表示也不同.2.2.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.平面向量的坐平面向量的坐标运算运算【方法点睛】【方法点睛】两向量相等的充要条件两向量相等的充要条件两向量两向量a=(x=(x1 1,y,y1 1)，b=(x=(x2 2,y,y2 2)相等的充要条件是它相等的充要条件是它们的的对应坐坐标分分别相等，即相等，即 利用向量相等可列出方程利用向量相等可列出方程组求其中的未求其中的未知量，从而解决求字母取知量，从而解决求字母取值、求点的坐、求点的坐标及向量的坐及向量的坐标等等问题.【例【例2 2】(1)(1)设平面向量平面向量a=(3,5),=(3,5),b=(-2,1),=(-2,1),则a-2-2b等于等于()()(A)(7(A)(7，3)(B)(73)(B)(7，7)7)(C)(1(C)(1，7)(D)(17)(D)(1，3)3)(2)(2)已知已知A(2A(2，3)3)，B(5B(5，4)4)，C(7C(7，10)10)，求求若若 求求m,n.m,n.【解题指南】【解题指南】(1)(1)由向量的坐标运算法则求解即可由向量的坐标运算法则求解即可.(2)(2)利用利用 为点为点B B的坐标减去点的坐标减去点A A的坐标求解的坐标求解.利用向量相等列出关于利用向量相等列出关于m,nm,n的方程组求解的方程组求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A A.a-2-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).(2)=(5(2)=(5，4)-(24)-(2，3)=(33)=(3，1).1).=(7 =(7，10)-(210)-(2，3)=(53)=(5，7)7)，=(7 =(7，10)-(510)-(5，4)=(24)=(2，6)6)，=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n)=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n)【反思【反思感悟】感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则正确使用运算法则.平面向量共平面向量共线的坐的坐标表示表示【方法点睛】【方法点睛】利用两向量共利用两向量共线解解题的技巧的技巧(1)(1)一般地，在求与一个已知向量一般地，在求与一个已知向量a共共线的向量的向量时，可，可设所求向所求向量量为a(R)(R)，然后，然后结合其他条件列出关于合其他条件列出关于的方程，求出的方程，求出的的值后代入后代入a即可得到所求的向量即可得到所求的向量.(2)(2)如果已知两向量共如果已知两向量共线，求某些参数的取，求某些参数的取值时，则利用利用“若若a=(x(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则ab的充要条件是的充要条件是x x1 1y y2 2=x=x2 2y y1 1”解解题比比较方便方便.【提醒】【提醒】1.1.注意注意0的方向是任意的的方向是任意的.2.2.若若a、b为非零向量，当为非零向量，当ab时，时，a,b的夹角为的夹角为00或或180180，求，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错解时容易忽视其中一种情形而导致出错.【例【例3 3】已知】已知a=(1,0),=(1,0),b=(2,1),=(2,1),(1)(1)当当k k为何何值时，k ka-b与与a+2+2b共共线.(2)(2)若若 且且A A、B B、C C三点共三点共线，求，求m m的的值.【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用向量共线的充要条件列出关于利用向量共线的充要条件列出关于k k的方程求解的方程求解即可即可.(2)(2)可引入参数可引入参数使使 求求m m，或利用，或利用 的坐标形式求的坐标形式求m.m.【规范解答】【规范解答】(1)k(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).=(1,0)+2(2,1)=(5,2).kka-b与与a+2+2b共线，共线，2(k-2)-(-1)5=0,2(k-2)-(-1)5=0,即即2k-4+5=0,2k-4+5=0,得得k=k=(2)(2)方法一方法一:A:A、B B、C C三点共线，三点共线，即即2 2a+3+3b=(=(a+m+mb),),解得解得m=m=方法二：方法二：2(1,0)+3(2,1)=(8,3),2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+m+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),AA、B B、C C三点共线，三点共线，8m-3(2m+1)=0,8m-3(2m+1)=0,即即2m-3=0,m=2m-3=0,m=【反思【反思感悟感悟】1.1.利用已知列方程求解参数是解该类问题的关利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键键.2.2.若若 则则A A、B B、C C三点共线，注意这一结论的应用三点共线，注意这一结论的应用.【易错误区】【易错误区】忽忽视向量平行的充要条件致向量平行的充要条件致误【典例】【典例】(2019(2019湖南高考湖南高考)设向量向量a,b满足足|a|=|=b=(2,1),=(2,1),且且a与与b的方向相反，的方向相反，则a的坐的坐标为_._.【解题指南】【解题指南】设设a=b(0),(0),利用利用|a|=|=列出关于列出关于的方程的方程求解即可求解即可.【规范解答】【规范解答】a与与b方向相反，方向相反，可设可设a=b(0),(0),a=(2,1)=(2,).=(2,1)=(2,).由由|a|=|=解得解得=-2,=-2,或或=2(=2(舍舍)，故，故a=(-4,-2).=(-4,-2).答案：答案：(-4(-4，-2)-2)【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示 在解答本题时有两点容易出错在解答本题时有两点容易出错:(1)(1)误认为误认为“a与与b的方向相反的方向相反 ab”致使设致使设a=b出现增解出现增解(4(4，2)2)(2)(2)知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题解或无法解题.备备考考建建议议解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注点易错，在备考时要高度关注:(1)(1)遗漏零向量，零向量与任一向量平行遗漏零向量，零向量与任一向量平行(2)(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件混淆向量共线与向量垂直的充要条件1.(20191.(2019广州模广州模拟)已知平面向量已知平面向量a=(x=(x，1)1)，b=(-x=(-x，x x2 2)，则向向量量a+b平行于平行于()()(A)x(A)x轴(B)(B)第一、三象限的角平分第一、三象限的角平分线(C)y(C)y轴(D)(D)第二、四象限的角平分第二、四象限的角平分线【解析】【解析】选选C.C.a+b=(0,1+x=(0,1+x2 2),),a+b平行于平行于y y轴轴.2.(20192.(2019梅州模梅州模拟)已知向量已知向量|a|=3,|=3,b=(1,2)=(1,2)且且ab，则a的坐的坐标是是_._.【解析】【解析】设向量设向量a=(x,y)=(x,y)，则则 或或a的坐标是的坐标是 或或答案：答案：或或3.(20193.(2019北京高考北京高考)已知向量已知向量a=(,1),=(,1),b=(0,-1),=(0,-1),c=(k,),=(k,),若若a-2-2b与与c共共线，则k=_.k=_.【解析】【解析】a-2-2b又又a-2-2b与与c共线，共线，(a-2-2b)c,解得解得k=1.k=1.答案：答案：1 1
展开阅读全文