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9.59.5椭圆考纲要求:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解椭圆的简单应用.21.椭圆的概念(1)椭圆的定义:我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.(2)对椭圆定义的拓展:集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数:若ac,则M点为椭圆上的点;若a=c,则M点为线段F1F2上的点;若a0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()6123452.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()答案解析解析关闭 答案解析关闭712345 答案解析解析关闭 答案解析关闭8123454.若方程 表示椭圆,则k的取值范围是.答案解析解析关闭 答案解析关闭9123455.已知点P是椭圆 上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为.答案解析解析关闭 答案解析关闭1012345自测点评1.要熟练掌握椭圆中参数a,b,c的内在关系及椭圆的基本性质.2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断椭圆的扁圆程度.3.椭圆中的焦点三角形是常研究对象,解决此类问题要充分运用椭圆的定义、三角形的有关知识,对于其面积公式要熟记,以避免计算量太大而出错.11考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1椭圆的定的定义及其及其标准方程准方程例1(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为()答案解析解析关闭 答案解析关闭12考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且 .若PF1F2的面积为9,则b=.答案解析解析关闭 答案解析关闭13考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?解题心得:1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.对于椭圆标准方程的求解,首先要明确参数a,b,c,其次要熟练掌握其内在关系,最后对于椭圆上的已知点要有代入的意识.14考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1(1)已知F1,F2是椭圆 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3 答案解析解析关闭 答案解析关闭15考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.答案解析解析关闭 答案解析关闭16考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2椭圆的几何性的几何性质例2设椭圆C:(ab0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于.答案解析解析关闭 答案解析关闭17考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:如何理清椭圆的几何性质之间的内在联系?解题心得:1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.2.椭圆中的最值往往与椭圆的范围有关联,如-axa,-byb 就是椭圆中的隐含条件,要注意灵活应用.18考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2(1)设F1,F2是椭圆E:(ab0)的左、右焦点,P为直线 上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()答案解析解析关闭 答案解析关闭19考点1考点2考点3知识方法易错易混 答案解析解析关闭 答案解析关闭20考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3直直线与与椭圆的位置关系的位置关系例3已知椭圆C:(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.21考点1考点2考点3知识方法易错易混22考点1考点2考点3知识方法易错易混23考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是什么?解题心得:1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),24考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练3定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:(ab0)的长轴长是4,椭圆C2:(mn0)短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点,(1)求椭圆C1,C2的方程;(2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求F2MN面积的最大值.25考点1考点2考点3知识方法易错易混26考点1考点2考点3知识方法易错易混27考点1考点2考点3知识方法易错易混28考点1考点2考点3知识方法易错易混1.椭圆中的参数a,b,c三者的关系为a2-b2=c2,这是椭圆中参数关系的核心.2.求离心率常用两种方法:(1)求得a,c的值,代入公式 即可;(2)列出a,b,c的方程或不等式,根据b2=a2-c2将b消掉,转化为含有a和c的关系,最后转化为关于e的方程或不等式.3.椭圆中焦点三角形的面积公式为 (其中P为椭圆上任意一点,但不能与F1,F2三点共线,F1,F2是椭圆的左、右焦点,为F1PF2的大小).29考点1考点2考点3知识方法易错易混1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小.2.关于离心率的范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0eb0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.30高频小考点高考中椭圆的离心率问题离心率是椭圆的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式 求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而推导出离心率.求解离心率的范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点.典例1已知椭圆C1:(ab0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是()答案:C 31解析:从椭圆上长轴端点P向圆引两条切线PA,PB,则两切线形成的角APB最小.若椭圆C1上存在点P,所作圆C2的两条切线互相垂直,则只需APB90,3233343536
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