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第九章平面解析几何9.2两条直两条直线的位置关系的位置关系内容索引基基础知知识自主学自主学习题型分型分类深度剖析深度剖析思想与方法系列思想与方法系列思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分出高分基基础知知识自主学自主学习1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2 (k1，k2均存在).()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.k1k2知知识梳理梳理1 1答案两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2_(k1，k2均存在).()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解.k1k21答案2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d .答案1.一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.知识拓展判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()答案思考辨析(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.()答案1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件.解析解析(1)充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；(2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1.所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件.充分不必要考点自考点自测2 2解析答案123452.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a .解析答案123453.已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为_.得m1或7.解析答案1234574.(2014福建改编)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_.解析解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.xy30解析答案123455.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.解析解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.0或1解析答案12345返回题型分型分类深度剖析深度剖析例例1(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a_.解解析析若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.解得a1或a2.1或2题型一型一两条直两条直线的平行与垂直的平行与垂直解析答案(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析解析方法一l1l2，k1k21，解得a2.方法二l1l2，a20，a2.2解析答案思维升华已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；跟踪训练1解析答案(2)l1l2.解解因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.解析答案题型二型二两条直两条直线的交点与距离的交点与距离问题解析答案(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_.解析答案(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.解解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.跟踪训练2解析答案(2)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.解析答案命题点1点关于点中心对称例例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.解析解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.x4y40题型三型三对称称问题解析答案命题点2点关于直线对称例例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_.解析答案命题点3直线关于直线的对称问题例例5已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.解析答案思维升华在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的重心，则AP_.跟踪训练3解析答案返回思想与方法系列思想与方法系列一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例典例求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.思思维点点拨因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).18.妙用直妙用直线系求直系求直线方程方程思想与方法系列解析答案思维点拨温馨提醒二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系，可以考虑用直线系方程求解.典例典例求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.思思维点点拨依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.解析答案思维点拨温馨提醒三、过直线交点的直线系典典例例求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.思思维点点拨可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.解析答案思维点拨温馨提醒返回思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.方法与技巧1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d 时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式.失误与防范返回练出高分出高分1234567891011121314153解析答案1234567891011121314152.设a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0的位置关系是_.解析答案123456789101112131415二解析答案4.若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点_.解解析析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2).123456789101112131415(0,2)解析答案1234567891011121314155.从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_.其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式得直线方程为x2y40.x2y40解析答案123456789101112131415解析答案7.已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.123456789101112131415解析答案12345678910111213141511解析答案9.已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程.123456789101112131415解析答案12345678910111213141510.已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；解析答案123456789101112131415(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立).解析答案12345678910111213141511.若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是_.解析解析因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100.解析答案表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2n2的最小值为4.412.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_.123456789101112131415解析答案12345678910111213141513.在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程.解解在l上任取一点，如M(0，1)，则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7).当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，所求直线过点N且与l平行，解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案返回
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