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3.2导数的应用课时3导数与函数的数与函数的综合合问题内容索引题型一用型一用导数解决与不等式有关的数解决与不等式有关的问题题型二利用型二利用导数解决函数零点数解决函数零点问题题型三利用型三利用导数解决生活中的数解决生活中的优化化问题审题路路线图系列系列练出高分出高分思想方法思想方法感悟提高感悟提高题型一用型一用导数解决与不等式有关的数解决与不等式有关的问题题型一型一用用导数解决与不等式有关的数解决与不等式有关的问题命命题点点1解不等式解不等式又(2)0，当且仅当0 x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).(，2)(0,2)解析答案命命题点点2证明不等式明不等式解析答案命命题点点3不等式恒成立不等式恒成立问题(1)用a表示b，并求b的最大值；解析答案(2)求证：f(x)g(x)(x0).故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数.于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x).解析答案思维升华思维升华(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围.跟踪训练1解析答案返回题型二利用型二利用导数解决函数零点数解决函数零点问题题型二型二利用利用导数解决函数零点数解决函数零点问题例例4(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；解解f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.解析答案(2)证明：当k0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增.当x0时，f(x)1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1，).跟踪训练2解析答案返回题型三利用型三利用导数解决生活中的数解决生活中的优化化问题题型三型三利用利用导数解决生活中的数解决生活中的优化化问题(1)求a的值；解解 因为x5时，y11，解析答案(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解析答案思维升华解析解析由yx239x400，得x1或x40，由于0 x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值.40跟踪训练3解析答案返回审题路路线图系列系列(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；审题路线图系列一一审条件挖条件挖隐含含审题路线图解析答案返回温馨提醒思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.方法与技巧1.利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到.2.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.失误与防范返回练出高分出高分123456789101112131415解析答案2.若0 x1x20)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.解析解析y3x2273(x3)(x3)，当0 x0；当x3时，y0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_.解析解析由题意得f(x)12x22ax2b.f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.a0，b0，9当且仅当ab3时取等号，易知此时f(x)在x1处有极小值，满足题意，ab的最大值为9.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案解析解析f(x)2axb，f(0)b0.2123456789101112131415解析答案7.设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_.123456789101112131415解析答案8.若对于任意实数x0，函数f(x)exax恒大于零，则实数a的取值范围是_.123456789101112131415解析答案9.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；123456789101112131415解析答案(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.证明明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.123456789101112131415解析答案10.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；123456789101112131415解析答案(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.令V(r)0，解得r5或5(因为r5不在定义域内，舍去).当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.123456789101112131415解析答案11.设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR).若x1为函数g(x)f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象的是_.(填序号)123456789101112131415解析答案12.已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.123456789101112131415解析答案13.已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是_.解析解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x，若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a0知，化简得a24，又a0，所以a0.(1)求f(x)的单调区间；解解 因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，).123456789101112131415解析答案(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立.解解 由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立.解得ae.123456789101112131415解析答案(1)求b；由题设知f(1)0，解得b1.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案返回
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