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第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法内容索引基基础知知识自主学自主学习题型分型分类深度剖析深度剖析思想与方法系列思想与方法系列思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分出高分基基础知知识自主学自主学习1.“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x10或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0 x|xb(xa)(xb)0 x|bxax|axb口诀：大于取两边，小于取中间.x|xax|xa答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)不等式 0的解集是1,2.()(3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集是_.解析解析解方程x23x100得x12，x25，由yx23x10的开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，).(，2)(5，)考点自考点自测2 2解析答案123452.设集合Mx|x23x40，Nx|0 x5，则MN_.解析解析Mx|x23x40 x|1x4，MN0,4).0,4)解析答案12345解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x6x2x的解集为x|1xx2x的解集为x|1x0且x1x2a210，故1a1.(1,1)解析答案12345返回题型分型分类深度剖析深度剖析命命题点点1不含参的不等式不含参的不等式例例1求不等式2x2x30的解集.解解化2x2x30，解方程2x2x30得x11，题型一型一一元二次不等式的求解一元二次不等式的求解解析答案命命题点点2含参不等式含参不等式例例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1.解析答案将原不等式改为ax2(a1)x10，则a的取值范围是_.解析解析xR，ax2ax10，0,4)解析答案命命题点点2在在给定区定区间上恒成立上恒成立例例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立.x|x3解之得x3.解析答案思维升华(1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_.解析解析x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.1,4跟踪训练2解析答案(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，解析答案(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；例例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价.所以yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为x0,2.题型三型三一元二次不等式的一元二次不等式的应用用解析答案(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解解由题意得40(10 x)(254x)10 260，解析答案思维升华某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；解解y(10.75x)12(1x)10(10.6x)10 0006 000 x22 000 x20 000，即y6 000 x22 000 x20 000(0 x0，即6 000 x22 000 x0，解析答案返回思想与方法系列思想与方法系列典典例例(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_.思思维点点拨考虑“三个二次”间的关系；思想与方法系列13.转化与化化与化归思想在不等式中的思想在不等式中的应用用解析答案思维点拨思思维点点拨 将恒成立问题转化为最值问题求解.温馨提醒解析答案返回思维点拨思想方法感悟提高思想方法感悟提高1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形.2.f(x)0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想.3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解.方法与技巧1.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.2.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.失误与防范返回练出高分出高分1234567891011121314151.不等式(x1)(2x)0的解集为_.解析解析由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x2.x|1x2解析答案解析解析方法一当x0时，x2x2，1x0；当x0时，x2x2，0 x1.由得原不等式的解集为x|1x1.方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图象，如图，由图知f(x)x2的解集为1,1.1,1解析答案1234567891011121314153.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_.解析解析由题意知a0时，满足条件.得0a4，所以0a4.0,4解析答案1234567891011121314154.已知不等式x22x30的解集是A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab_.解析解析由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1x0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc_.解析答案1234567891011121314156.若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是_.解析解析原不等式等价于(m2)x22(m2)x40，当m2时，对任意x不等式都成立；当m20时，4(m2)216(m2)0，2m2，综合，得m(2,2.(2,2解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.解析答案12345678910111213141510.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；解解由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn).当m1，n2时，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x2.解析答案123456789101112131415解解f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，xm0.f(x)m0，即f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是_.解析解析f(x)0的两个解是x11，x23且a0，由f(2x)3或2x0恒成立，则b的取值范围是_.解析解析由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，由f(x)的图象可知f(x)在1,1上为增函数.x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.b2解析答案12345678910111213141514.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_.解析答案123456789101112131415(1)证明：函数f(x)在区间(1，)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0.解解由f(12x2)f(x22x4)0，得f(12x2)f(x22x4).f(x)是奇函数，f(12x2)f(x22x4).又12x21，x22x4(x1)231，且f(x)在(1，)上为减函数，12x2x22x4，即x22x30，解得3x0的解集为x|3x1.解析答案返回123456789101112131415
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