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课标版版 理数理数 8.4垂直关系及空垂直关系及空间角角1精品1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的判定方法(i)定义法.知知识梳理梳理(ii)利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线和此平面垂直.2精品(2)直线与平面垂直的性质(i)直线垂直于平面,则垂直于平面内任意一条直线.(ii)垂直于同一直线的两平面平行.2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法(i)定义法.(ii)利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.3精品(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.3.空间角(1)异面直线所成的角设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).(2)斜线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角.(3)二面角的平面角从二面角的棱上一点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则4精品两射线所成的角叫做二面角的平面角.4.空间距离(1)点到面的距离作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.在三棱锥中用等体积法求解.向量法(求点M到平面的距离):d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过A点的斜线段).(2)线到面的距离:在直线上任取一点转化为点到面的距离.(3)面到面的距离:转化为点到面的距离(同上线面距离).注意:空间角与空间距离问题利用空间向量解决较为方便.在下一节重点讲解.5精品1.给出下列三个命题:“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”;“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平面内的射影”;“直线a垂直于平面”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面内的无数条直线”.其中正确的命题个数是()A.0B.1C.2D.36精品答案B对于,a、b不相交时,a、b可以平行或异面,不一定能推出a、b异面,错;对于,只有a在平面内时才成立,错;对于,a垂直于平面内的无数条直线,当这无数条直线都平行时,a不一定垂直于,而当a时,a一定能垂直于内的无数条直线,正确,故选B.7精品2.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,ABC=90,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是()A.45B.60C.90D.120答案B取B1C1的中点G,A1B1的中点H,连结FG、EG、HG、EH,则FGBC1,则EFG或其补角就是所求的角,设AB=BC=AA1=2a,易得EF=a,FG=a,EG=a,利用余弦定理可求得cosEFG=-,故所求角为60.故选B.8精品3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1答案D易知AC平面BB1D1D.A1C1AC,A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故选D.9精品4.P为ABC所在平面外一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:PABC;PBAC;PCAB;ABBC,其中正确的个数是.答案3解析如图所示.PAPC,PAPB,PCPB=P,PA平面PBC.又BC平面PBC,PABC.同理,PBAC,PCAB.但AB不一定垂直于BC.10精品5.如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱长均为,则二面角V-AB-C的平面角为.11精品答案60解析取AB、CD的中点E、F,连结VE、EF、VF.VA=VB=,VAB为等腰三角形,VEAB.四边形ABCD是正方形,BCAB,又EFBC,EFAB.EFVE=E,VEF为二面角V-AB-C的平面角,VABVDC,VE=VF=2,又EF=BC=2,VEF为等边三角形,VEF=60.即二面角V-AB-C的平面角为60.12精品典例1(2014湖南,19,12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值典例典例题组线面垂直的判定与性质13精品解析(1)证明:因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1AC.同理DD1BD,因为CC1DD1,所以CC1BD,而ACBD=O,因此CC1底面ABCD.由题设知,O1OC1C,故O1O底面ABCD,(2)解法一:如图,过O1作O1HOB1于H,连结HC1.由(1)知,O1O底面ABCD,所以O1O底面A1B1C1D1,于是O1OA1C1.14精品又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1B1D1,从而A1C1平面BDD1B1,所以A1C1OB1,于是OB1平面O1HC1,进而OB1C1H,故C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角,15精品不妨设AB=2,因为CBA=60,所以OB=,OC=1,OB1=.在RtOO1B1中,易知O1H=2,而O1C1=1,于是C1H=.故cosC1HO1=.即二面角C1-OB1-D的余弦值为.解法二:因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此ACBD,又由(1)知O1O底面ABCD,从而OB、OC、OO1两两16精品垂直.如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB=2,因为CBA=60,所以OB=,OC=1,于是相关各点的坐标为O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2).17精品易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.设n2=(x,y,z)是平面OB1C1的法向量,则即取z=-,则x=2,y=2,所以n2=(2,2,-),设二面角C1-OB1-D的大小为,易知是锐角,于是cos=|cos|=.故二面角C1-OB1-D的余弦值为.18精品证明线面垂直的方法:一是利用线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是利用平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面).解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一,矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形、直角梯形等等.19精品1-1如图,P是ABC所在平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.20精品求证:(1)BC平面PAB;(2)AE平面PBC;(3)PC平面AEF.证明(1)PA平面ABCBC平面PAB.(2)AE平面PAB,由(1)知AE平面PBC.(3)PC平面PBC,由(2)知PC平面AEF.21精品典例2(2014福建,17,13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如图.(1)求证:ABCD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.解析(1)证明:平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD,面面垂直的判定与性质22精品AB平面BCD.又CD平面BCD,ABCD.23精品(2)过点B在平面BCD内作BEBD,如图.由(1)知AB平面BCD,又BE平面BCD,ABBE.以B为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M,则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).设平面MBC的法向量为n=(x0,y0,z0),24精品则即取z0=1,得平面MBC的一个法向量为n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为,则sin=|cos|=,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.25精品面面垂直的证明方法(1)证明两个平面垂直,主要的途径:利用面面垂直的定义,即两平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直;利用面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直.26精品(2)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:在先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线不存在,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.(3)证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.27精品2-1如图所示,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:(1)平面BDM平面ECA;(2)平面DEA平面ECA.28精品则MNEC,MNBD,点N在平面BDM内.EC平面ABC,ECBN.又易知CABN,BN平面ECA.BN平面BDM,平面BDM平面ECA.(2)由(1)易知MN BD,故四边形MNBD是平行四边形,故DMBN,又BN平面ECA,DM平面ECA.又DM平面DEA,平面DEA平面ECA.证明(1)取CA的中点N,连结MN、BN,29精品典例3(1)(2013山东,4,5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.(2)(2014课标,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C.证明:AC=AB1;若ACAB1,CBB1=60,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.空间角30精品答案(1)B解析(1)如图,设P0为底面ABC的中心,连结PP0,由题意知|PP0|为直三棱柱的高,PAP0为PA与平面ABC所成的角,SABC=()2sin60=.31精品三棱柱的体积V=,|PP0|=,|PP0|=.又P0为底面ABC的中心,则|AP0|等于正ABC高的,又易知ABC的高为,|AP0|=1.在RtPAP0中,tanPAP0=,PAP0=,故选B.(2)连结BC1,交B1C于点O,连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且O为B1C及BC1的中点.又ABB1C,所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO,故B1CAO.又B1O=32精品CO,故AC=AB1.因为ACAB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以BOABOC.故OAOB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.33精品因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C.=,=,=.34精品设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则即所以可取n=(1,).设m是平面A1B1C1的法向量,则同理可取m=(1,-,).则cos=.又易知二面角A-A1B1-C1为锐二面角,所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为.35精品1.异面直线所成的角(1)平移直线法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角或其补角;认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;计算:求该角的值,常利用解三角形;取舍:异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.36精品2.当直线与平面斜交时,求斜线与平面所成的角,常有以下步骤:(1)构造作出或找到斜线与其射影所成的角;(2)设定论证所作或找到的角为所求的角;(3)计算常用解三角形的方法求解;(4)结论回答斜线和平面所成的角的值.可以将其总结为:作(找),证,算,答四个步骤.(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.37精品3.作二面角的平面角的方法:方法一:(定义法)在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作过特殊点且垂直于棱的射线.如图,AOB为二面角-l-的平面角.方法二:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角即为二面角的平面角.图38精品如图,AOB为二面角-l-的平面角.方法三:(垂线法)过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图,ABO为二面角-l-的平面角.图图39精品3-1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的中点.(1)求异面直线EF和PB所成角的大小;(2)求证:平面PCE平面PBC;(3)求二面角E-PC-D的大小.40精品解析以直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)E为AD的中点,E(0,1,0).F为PC的中点,F(1,1,1),41精品=(1,0,1).又=(2,0,-2),cos=0,=90,异面直线EF和PB所成角的大小为90.(2)证明:由(1)知EFPB,=(0,2,0),=(1,0,1),=0,EFBC.又BCPB=B,EF平面PBC.又EF平面PCE,平面PCE平面PBC.42精品(3)设平面PCE、平面PCD的一个法向量分别是m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则取m=(-1,2,1),n=(0,1,1),cos=,=30,又易知二面角E-PC-D为锐二面角,二面角E-PC-D的大小为30.43精品
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