资源描述
大家好大家好考点一实数的有关概念考点一实数的有关概念1 1数轴数轴规定了规定了_、_ _、_ _的直线，叫做数轴的直线，叫做数轴 _和数轴上的点是一一对应的和数轴上的点是一一对应的2 2相反数相反数(1)(1)实数实数a a的相反数为的相反数为_ _；(2)(2)a a与与b b互为相反数互为相反数 _ _；(3)(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离两侧，且到原点的距离_这两个点关于这两个点关于_对称对称3 3倒数倒数原点原点正方向正方向单位长度单位长度实数实数aab0相等相等原点原点(1)(1)实数实数a a的倒数是的倒数是_，其中，其中a a_0_0；(2)(2)a a和和b b互为倒数互为倒数_._.4 4绝对值绝对值在数轴上表示一个数的点离开在数轴上表示一个数的点离开_的距离叫做这个数的绝对值即的距离叫做这个数的绝对值即一个正数的绝对值是它一个正数的绝对值是它_，0 0的绝对值是的绝对值是 ，负数的绝对值是它的，负数的绝对值是它的_._.ab1原点原点本身本身相反数相反数0温馨提示：温馨提示：(1)绝对值是绝对值是a(a0)的数有两个，它们互为相反数，即为的数有两个，它们互为相反数，即为a.(2)绝对值相等的两个数相等或互为相反数绝对值相等的两个数相等或互为相反数.即：若即：若|a|=|b|,则则a=b或或a+b=0.(3)任意实数的绝对值都是非负数，即任意实数的绝对值都是非负数，即|a|0.(4)去掉绝对值符号进行化简运算时，关键是判断绝对值符号里面的去掉绝对值符号进行化简运算时，关键是判断绝对值符号里面的代数式的正负代数式的正负.考点二考点二 实数的分类实数的分类1 1按定义分类按定义分类2 2按正负分类按正负分类考点三考点三 平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根、立方根温馨提示温馨提示:在应用在应用x x2 2=a=a时，一定不要忘记时，一定不要忘记a0a0这一条件这一条件.注意算术平方根与平方注意算术平方根与平方根的区别与联系根的区别与联系.如如1 1的平方根是的平方根是11，而，而1 1的算术平方根是的算术平方根是1.1.平方根平方根正的平方根正的平方根互为相反数互为相反数考点四考点四 科学记数法、近似数与有效数字科学记数法、近似数与有效数字把一个数把一个数N N表示成表示成a a1010n n(1|(1|a a|1010，n n是整数是整数)的形式叫科学记数法的形式叫科学记数法当当|N N|1|1时，时，n n等于原数等于原数N N的整数位数减的整数位数减1 1；当；当|N N|1 1且且N N00时，时，n n是一个是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数含整数位上的零位上的零)2 2近似数与有效数字近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第时从左边第 个非零数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个非零数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字个近似数的有效数字 一考点一考点一 实数的运算实数的运算在实数范围内运算顺序是：先算在实数范围内运算顺序是：先算_，再算，再算_，最后，最后算算_，有括号的先算括号内的，有括号的先算括号内的.同一级运算，从左到右依次进行计算同一级运算，从左到右依次进行计算.考考点二点二 零指数、负整数指数幂零指数、负整数指数幂考点三考点三 实数大小比较实数大小比较1.1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数数_;_;两个负数比较，绝对值大的反而两个负数比较，绝对值大的反而_._.2.2.设设a a、b b是任意两个数，若是任意两个数，若a-ba-b0 0，则，则a_ba_b；若；若a-b=0a-b=0，则，则a_ba_b；若若a-ba-b0 0，则，则a_b.a_b.乘方（或开方）乘方（或开方）乘除乘除加减加减1大大小小=温馨提示温馨提示1.1.注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算值符号再进行计算.2.2.三个重要的非负数三个重要的非负数a a（a0a0）、）、|a|a|、a a2 2.=考点一考点一 整式的有关概念整式的有关概念1 1单项式和多项式统称整式单项式是指用乘号把数和字母连接而单项式和多项式统称整式单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的成的式子，而多项式是指几个单项式的_.2 2单项式中的数字因数叫做单项式的单项式中的数字因数叫做单项式的 ；单项式中所有字母的；单项式中所有字母的_叫做单项式的次数叫做单项式的次数3 3多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数做常数项；多项式中次数 的次数就是这个多项式的次数的次数就是这个多项式的次数和和系数系数指数和指数和最高项最高项考点二考点二 整式的运算整式的运算1.1.整式的加减整式的加减（1 1）同类项与合并同类项）同类项与合并同类项所含的所含的_相同，并且相同，并且_也分别相同的单项式叫做也分别相同的单项式叫做同类项同类项.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的_不变不变.（2 2）去括号与添括号）去括号与添括号括号前是括号前是“+”+”号，去掉括号和它前面的号，去掉括号和它前面的“+”+”号，括号里的各项都号，括号里的各项都不改变符号；括号前是不改变符号；括号前是“-”-”号，去掉括号和它前面的号，去掉括号和它前面的“-”-”号，括号里的号，括号里的各项各项_._.字母字母相同字母的指数相同字母的指数指数指数都改变符号都改变符号括号前是括号前是“+”+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号号，括到括号里的各项都改变符号.（3 3）整式加减的实质是合并同类项）整式加减的实质是合并同类项.温馨提示：温馨提示：在进行整式加减运算时在进行整式加减运算时,如果遇到括号，应根据去括号法则，先去括如果遇到括号，应根据去括号法则，先去括号，再合并同类项号，再合并同类项.当括号前是负号，去括号时，括号内每一项当括号前是负号，去括号时，括号内每一项_._.2.2.幂的运算幂的运算同底数幂相乘同底数幂相乘,底数不变底数不变,指数相加指数相加,即即a am maan n=_=_（m m、n n都是整数）都是整数）幂的乘方幂的乘方,底数不变底数不变,指数相乘指数相乘,即（即（a am m）n n=_=_（m m、n n都是整数）都是整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，am+namn都要变号都要变号即（即（abab）n n=a=an nb bn n（n n为整数）为整数）.同底数幂相除，底数不变，指数相减，即同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a am maan n=_=_（a0a0，m m、n n都为都为整数）整数）.3.3.整式的乘法整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即把所得的积相加，即m m（a+b+ca+b+c）=_.=_.多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（再把所得的积相加，即（m+nm+n）（）（a+ba+b）=ma+mb+na+nb.=ma+mb+na+nb.am-nma+mb+mc4.4.整式的除法整式的除法单项式除以单项式，把单项式除以单项式，把_分别相除，作为商的因式，分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加所得的商相加.5.5.乘法公式乘法公式（1 1）平方差公式）平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即（a+ba+b）（）（a-ba-b）=_.=_.（2 2）完全平方公式）完全平方公式系数、同底数幂系数、同底数幂a2-b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的的2 2倍，即（倍，即（abab）2 2=_.=_.考点三考点三 因式分解因式分解1.1.因式分解的定义及与整式乘法的关系因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)_,(1)_,这种运算就是因式分解这种运算就是因式分解.(2)(2)因式分解与整式乘法是互逆运算因式分解与整式乘法是互逆运算2 2因式分解的常用方法因式分解的常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式就叫做公因式a2ab+b2把一个多项式化为几个整式的积的形式把一个多项式化为几个整式的积的形式提公因式法用公式可表示为提公因式法用公式可表示为ma+mbma+mb+mc=mc=_,_,其分解步骤为：其分解步骤为：确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积的最低次幂的乘积将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式(2)(2)运用公式法运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，即即a a2 2b b2 2_，a a2 222ababb b2 2_._.温馨提示：温馨提示：在运用公式法分解因式时，公式中的字母，可以是一个数，也可以是在运用公式法分解因式时，公式中的字母，可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式一个单项式，还可以是一个多项式.m(am(ab bc)c)(ab)(ab)(ab)23 3因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤(1)(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止考点一考点一 分式分式形如形如 （A A、B B是整式，且是整式，且B B中含有字母，中含有字母，B_B_）的式子叫做分式）的式子叫做分式.（1 1）分式有无意义：）分式有无意义：B=0B=0时，分式无意义；时，分式无意义；B0B0时，分式有意义时，分式有意义.（2 2）分式值为）分式值为0 0：A=0A=0且且B0B0时，分式的值为时，分式的值为0.0.考点二考点二 分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个_的整式，分式的整式，分式的值不变的值不变.0不等于零不等于零(2)(2)通分的关键是确定通分的关键是确定n n个分式的个分式的_._.确定最简公分母的一确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先般步骤是：当分母是多项式时，先_，再取系数的最小公倍数，再取系数的最小公倍数，所有不同字母（因式）的所有不同字母（因式）的_的积为最简公分母的积为最简公分母.(3)(3)约分的关键是确定分式的分子与分母中的约分的关键是确定分式的分子与分母中的_._.确定最大确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先_，取系数，取系数的的_，相同字母（因式）的，相同字母（因式）的_的积为最大公因式的积为最大公因式.温馨提示：温馨提示：1.1.若原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式基本性质时，要先若原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式基本性质时，要先把分式的分子（或分母）用括号括上，再乘以（或除以）整式把分式的分子（或分母）用括号括上，再乘以（或除以）整式.2.2.应用分式基本性质时，要深刻理解应用分式基本性质时，要深刻理解“都都”与与“同同”这两个字的含义，这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误避免犯只乘分子或分母一项的错误.最简公分母最简公分母最高次幂最高次幂最大公因式最大公因式最低次幂最低次幂因式分解因式分解最大公因式最大公因式因式分解因式分解考点三考点三 分式的运算分式的运算4分式的混合运算分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的运算结果必须是后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的运算结果必须是_分式或整式分式或整式考点四考点四 分式求值分式求值分式的求值方法很多，主要有三种：分式的求值方法很多，主要有三种：(1)(1)先化简，后求值；（先化简，后求值；（2 2）由值）由值的形式直接转化成所求的代数式的值；（的形式直接转化成所求的代数式的值；（3 3）式中字母表示的数未明确告）式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中知，而是隐含在方程等题设条件中.解这类题，一方面从方程中求出未知解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简.只有双管齐下，才能只有双管齐下，才能获得简易的解法获得简易的解法.最简最简考点一考点一 二次根式二次根式考点二考点二 最简二次根式最简二次根式最简二次根式必须同时满足条件：最简二次根式必须同时满足条件：（1 1）被开方数的因数是）被开方数的因数是_，因式是整式；，因式是整式；（2 2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.0正整数正整数考点三考点三 同类二次根式同类二次根式几个二次根式化成几个二次根式化成_后，如果后，如果_相同，这几个二相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式次根式就叫做同类二次根式.温馨提示：温馨提示：判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式后判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式后再判断，否则很容易出错再判断，否则很容易出错.考点四考点四 二次根式的性质二次根式的性质最简二次根式最简二次根式被开方数被开方数非负非负a考点五考点五 二次根式的运算二次根式的运算1 1二次根式的加减法二次根式的加减法先将各根式化为先将各根式化为_，然后合并同类二次根式，然后合并同类二次根式0最简二次根式最简二次根式最简二次根式最简二次根式0考点一考点一 等式及方程的有关概念等式及方程的有关概念1.1.等式及其性质等式及其性质用等号用等号“=”=”来表示相等关系的式子，叫做等式来表示相等关系的式子，叫做等式.等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0 0），），所得结果仍是等式所得结果仍是等式.温馨提示：温馨提示：在等式两边都除以同一个代数式时，一定要保证这个代数式的值在等式两边都除以同一个代数式时，一定要保证这个代数式的值_._.不为零不为零2.2.方程的有关概念方程的有关概念（1 1）含有未知数的）含有未知数的_，叫做方程，叫做方程.（2 2）使方程左、右两边的）使方程左、右两边的_相等的未知数的值，叫做方程的解相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）.（3 3）求方程解的过程，叫做解方程）求方程解的过程，叫做解方程.（4 4）方程的两边都是关于未知数的）方程的两边都是关于未知数的_，这样的方程叫做整式方，这样的方程叫做整式方程程.等式等式值值整式整式考点二一元一次方程考点二一元一次方程1 1一元一次方程一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 1，系数不，系数不等于等于0 0的方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是的方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是_2 2解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤(1)(1)去分母；去分母；(2)(2)去括号；去括号；(3)(3)移项；移项；(4)(4)合并同类项；合并同类项；(5)(5)系数化为系数化为1.1.考点三考点三 二元一次方程组及解法二元一次方程组及解法1.1.二元一次方程组二元一次方程组（1 1）二元一次方程的一般形式：）二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a0,b0).ax+by+c=0(a0,b0).axb0(a0)（2 2）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组方程组.2.2.解二元一次方程组的基本思路：消元解二元一次方程组的基本思路：消元.3.3.二元一次方程组的解法：（二元一次方程组的解法：（1 1）代入消元法；（）代入消元法；（2 2）加减消元法；）加减消元法；（3 3）图象法）图象法.解方程组其实就是把方程组转化为方程解方程组其实就是把方程组转化为方程.解二元一次方程组就是通过解二元一次方程组就是通过消元，把它转化为一元一次方程求解消元，把它转化为一元一次方程求解.温馨提示：温馨提示：解方程组其实就是把方程组转化为方程解方程组其实就是把方程组转化为方程.解二元一次方程组就是通过解二元一次方程组就是通过消元，把它转化为一元一次方程求解消元，把它转化为一元一次方程求解.考点四列方程（组）解应用题考点四列方程（组）解应用题1.1.列方程（组）解应用题的一般步骤列方程（组）解应用题的一般步骤（1 1）把握题意，搞清楚条件是什么，求什么；）把握题意，搞清楚条件是什么，求什么；（2 2）设未知数）设未知数;（3 3）找出能够包含未知数的等量关系（一般情况下设几个未知数，）找出能够包含未知数的等量关系（一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系）；就找几个等量关系）；（4 4）列出方程（组）；）列出方程（组）；（5 5）求出方程（组）的解（注意排除增根）；）求出方程（组）的解（注意排除增根）；（6 6）检验（看是否符合题意）；）检验（看是否符合题意）；（7 7）写出答案（包括单位名称）写出答案（包括单位名称）.2.2.列方程（组）解应用题的关键是：列方程（组）解应用题的关键是：.确定等量关系确定等量关系考点一考点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义在整式方程中，只含有在整式方程中，只含有_个未知数，并且含未知数项的最高次数个未知数，并且含未知数项的最高次数是是_，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是_.考点二考点二 一元二次方程的常用解法一元二次方程的常用解法一一2ax2bxc0(a0)考点一考点一 分式方程及解法分式方程及解法1 1分式方程分式方程分母里含有分母里含有_的方程，叫做分式方程的方程，叫做分式方程2 2解分式方程的基本思想解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，即把分式方程转化为整式方程，即分式方程分式方程_整式方程整式方程(1)(1)去分母，转化为整式方程；去分母，转化为整式方程；(2)(2)解整式方程，得根；解整式方程，得根；(3)(3)验根验根4 4增根增根在方程变形时在方程变形时,使原分式方程的分母为零的根使原分式方程的分母为零的根,称为原方程的增根称为原方程的增根.解解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根(其方法是代入最简其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为公分母中，使最简公分母为0 0的是增根，否则不是的是增根，否则不是)未知数未知数考点二考点二 与增根有关的问题与增根有关的问题1 1分式方程的增根必须同时满足两个条件分式方程的增根必须同时满足两个条件(1)_(1)_；(2)_.(2)_.2 2增根在含参数的分式方程中的应用增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值解答思路为：由增根求参数的值解答思路为：(1)(1)将原方程化为整式方程；将原方程化为整式方程；(2)(2)确确定增根；定增根；(3)(3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值是由分式方程化成的整式方程的根是由分式方程化成的整式方程的根使最简公分母为零使最简公分母为零考点三考点三 列分式方程解应用题列分式方程解应用题1.1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样,不同之处是列出不同之处是列出的方程是分式方程的方程是分式方程.求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根验根，不要缺，不要缺少了这一步少了这一步.2.2.应用问题中常用的数量关系及题型应用问题中常用的数量关系及题型（1 1）数字问题）数字问题.（包括日历中的数字规律）（包括日历中的数字规律）设个位数字为设个位数字为c c，十位数字为，十位数字为b b，百位数字为，百位数字为a a，则这个三位数是，则这个三位数是_；日历中前后两日差日历中前后两日差_，上下两日差，上下两日差_._.100a+10b+c17（2 2）体积变化问题）体积变化问题.（3 3）打折销售问题）打折销售问题.利润利润=_-=_-成本；成本；利润率利润率=_100%.=_100%.（4 4）行程问题）行程问题.路程路程=_.=_.若用若用v v表示轮船的速度，用表示轮船的速度，用v v顺、顺、v v逆、逆、v v水分别表示轮船顺水、逆水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，在下列式子中填空水和水流的速度，在下列式子中填空.v v顺顺v v v v逆逆v v_v v_ _ v v水水_售价售价速度速度时间时间v水水v水水在轮船航行问题中，知在轮船航行问题中，知v v顺顺、v v逆逆、v v、v v水水中的任何两个量，总能求出其中的任何两个量，总能求出其他的量他的量(5)(5)教育储蓄问题教育储蓄问题利息利息_；本息和本息和_本金本金(1(1利率利率期数期数)；利息税利息税_；贷款利息贷款数额贷款利息贷款数额利率利率期数期数本金本金利率利率期数期数本金利息本金利息利息利息利息税率利息税率考点一考点一 不等式的基本概念不等式的基本概念1 1不等式用不等式用_连接起来的式子，叫做不等式连接起来的式子，叫做不等式2 2不等式的解使不等式成立的不等式的解使不等式成立的_值，叫做不等式的解值，叫做不等式的解3 3不等式的解集一个含有未知数的不等式的不等式的解集一个含有未知数的不等式的_叫做不等叫做不等式的解集式的解集4 4一元一次不等式只含有一元一次不等式只含有_个未知数，并且未知数的次数是个未知数，并且未知数的次数是_且且系数不等于系数不等于_的不等式，叫一元一次不等式其一般形式为的不等式，叫一元一次不等式其一般形式为_或或 _ _ _.5 5解不等式求不等式解不等式求不等式 的过程或证明不等式的过程或证明不等式 的过的过程，叫做解不等式程，叫做解不等式不等号不等号未知数的未知数的解的全体解的全体axb0axb0(a0)解集解集无解无解一一0 0一一考点二考点二 不等式的基本性质不等式的基本性质温馨提示：温馨提示：一定要注意应用不等式的基本性质一定要注意应用不等式的基本性质3时，要改变不等号的方向时，要改变不等号的方向.整式整式不变不变正数正数负数负数改变改变数数不变不变考点三考点三 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去_，_，合并，合并_，系数化为，系数化为1.1.温馨提示：温馨提示：用数轴表示不等式的解集时，注意实心点和空心圆圈的意义用数轴表示不等式的解集时，注意实心点和空心圆圈的意义.考点四考点四 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题的一般步骤：（1 1）审题；（）审题；（2 2）设未知数；（）设未知数；（3 3）确定包含未知数的不等量关系；）确定包含未知数的不等量关系；（4 4）列出不等式；（）列出不等式；（5 5）求出不等式的解集；（）求出不等式的解集；（6 6）检验不等式的解是否）检验不等式的解是否符合题意；（符合题意；（7 7）写出答案）写出答案.括号括号移项移项同类项同类项考点一考点一 一元一次不等式组的有关概念一元一次不等式组的有关概念1.1.定义类似于方程组，把几个含有相同未知数的定义类似于方程组，把几个含有相同未知数的_合合起来，就组成了一个一元一次不等式组起来，就组成了一个一元一次不等式组.2.2.解集几个不等式的解集的解集几个不等式的解集的_叫做由它们所组成的不等式组的叫做由它们所组成的不等式组的解集解集.考点二考点二 一元一次不等式组的解法一元一次不等式组的解法1 1解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的_，再求，再求出它们的出它们的_(一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，由图形得出公共部分由图形得出公共部分)，就得到不等式组的，就得到不等式组的_._.一元一次不等式一元一次不等式公共部分公共部分公共部分公共部分解集解集解集解集2 2两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表(其中其中a ab b)：x xa ax xb ba ax xb b无解无解温馨提示温馨提示当不等式组中含有当不等式组中含有“”“”或或“”“”时，不等式组的解法和解集取法不时，不等式组的解法和解集取法不变，只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用变，只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用.考点三考点三 一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等等.不等式组的特殊解，包含在它的解集中不等式组的特殊解，包含在它的解集中.因此，解决此类问题的关键因此，解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解.考点四考点四 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，列出的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集，根是不等量关系，列出的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集，根据题意需从解集中找出符合条件的答案据题意需从解集中找出符合条件的答案.在列不等式时，在列不等式时，“不超过不超过”“”“不多于不多于”等用等用“”“”连接，连接，“至少至少”“”“不少于不少于”等用等用“”“”连接连接.考点一考点一 平面内点的坐标平面内点的坐标1 1有序数对有序数对(1)(1)平面内的点可以用一对平面内的点可以用一对 来表示例如点来表示例如点A A在平面内可表在平面内可表示为示为A A(a a，b b)，其中，其中a a表示点表示点A A的横坐标，的横坐标，b b表示点表示点A A的纵坐标的纵坐标(2)(2)平面内的点和有序实数对是平面内的点和有序实数对是 的关系，即平面内的任何的关系，即平面内的任何一个点可以用一对一个点可以用一对 来表示；反过来每一对有序实数都表示平面来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点内的一个点(3)(3)有序实数对表示这一对实数是有有序实数对表示这一对实数是有 的，即的，即(1,2)(1,2)和和(2,1)(2,1)表示表示两个两个 的点的点有序实数有序实数一一对应一一对应有序实数有序实数不同不同顺序顺序2 2平面内点的坐标规律平面内点的坐标规律(1)(1)各象限内点的坐标的特征各象限内点的坐标的特征点点P P(x x，y y)在第一象限在第一象限x x0 0，y y0 0；点点P P(x x，y y)在第二象限在第二象限x x0 0，y y0 0；点点P P(x x，y y)在第三象限在第三象限x x0 0，y y0 0；点点P P(x x，y y)在第四象限在第四象限x x0 0，y y0.0.(2)(2)坐标轴上的点的坐标的特征坐标轴上的点的坐标的特征点点P P(x x，y y)在在x x轴上轴上y y0 0，x x为任意实数；为任意实数；点点P P(x x，y y)在在y y轴上轴上x x0 0，y y为任意实数；为任意实数；点点P P(x x，y y)在坐标原点在坐标原点x x0 0，y y0.0.考点二考点二 特殊点的坐标特征特殊点的坐标特征1 1平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)(1)平行于平行于x x轴轴(或垂直于或垂直于y y轴轴)的直线上点的的直线上点的 相同，横坐标为相同，横坐标为不相等的实数不相等的实数(2)(2)平行于平行于y y轴轴(或垂直于或垂直于x x轴轴)的直线上点的的直线上点的 相同，纵坐标为相同，纵坐标为不相等的实数不相等的实数2 2各象限角平分线上的点的坐标特征各象限角平分线上的点的坐标特征(1)(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标_._.(2)(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标_ _ _.纵坐标纵坐标横坐标横坐标相等相等互为相反数互为相反数3 3对称点的坐标特征对称点的坐标特征点点P P(x x，y y)关于关于x x轴的对称点轴的对称点P P1 1的坐标为的坐标为(x x，y y)；关于；关于y y轴的对称点轴的对称点P P2 2的坐标为的坐标为(x x，y y)；关于原点的对称点；关于原点的对称点P P3 3的坐标为的坐标为(x x，y y)以上特征可归纳为：以上特征可归纳为：(1)(1)关于关于x x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标_._.(2)(2)关于关于y y轴对称的两点，横坐标轴对称的两点，横坐标_，纵坐标相同，纵坐标相同(3)(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均关于原点对称的两点，横、纵坐标均_._.互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数考点三考点三 确定物体位置的方位确定物体位置的方位1 1平面内点的位置用平面内点的位置用 来确定来确定2 2方法方法(1)(1)平面直角坐标法平面直角坐标法(2)(2)方向角和距离定位法方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意与观测点的距离用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化一对有序实数一对有序实数考点四考点四 函数及其图象函数及其图象1 1函数的概念函数的概念(1)(1)在一个变化过程中，我们称数值在一个变化过程中，我们称数值_的量为变量，有些数的量为变量，有些数值是值是 的，称它们为常量的，称它们为常量(2)(2)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于，并且对于x x在在其取值范围内的每一个确定的值，其取值范围内的每一个确定的值，y y都有都有 的值与其对应，那么的值与其对应，那么就说，就说，x x是是 ，y y是是x x的函数的函数(3)(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式发生变化发生变化始终不变始终不变唯一确定唯一确定自变量自变量2 2函数的表示法及自变量的取值范围函数的表示法及自变量的取值范围(1)(1)函数有三种表示方法：函数有三种表示方法：，这三种，这三种方法有时可以互相转化方法有时可以互相转化(2)(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合必须符合 意义或意义或 意义意义3 3函数的图象对于一个函数，把自变量函数的图象对于一个函数，把自变量x x和函数和函数y y的每对对应值分的每对对应值分别作为点的别作为点的 与与 在平面内描出相应的点，组成这些点的图在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象形叫这个函数的图象(1)(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线(2)(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.解析法解析法列表法列表法图象法图象法实际实际几何几何纵坐标纵坐标横坐标横坐标温馨提示：温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.考点五考点五 自变量取值范围的确定方法自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义有意义1 1自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数2 2自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数3 3当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数4 4当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使_5 5在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分底数不为零的数底数不为零的数考点一考点一 一次函数的定义一次函数的定义一般地一般地,如果如果y y=kx+bkx+b(k k、b b是常数是常数,k k0),0),那么那么y y叫做叫做x x的一次函数的一次函数特别地，当特别地，当b b 时，一次函数时，一次函数y ykxkxb b就成为就成为 y ykxkx(k k是常数，是常数，k k0)0)，这时，这时，y y叫做叫做x x的的_._.1 1由定义知：由定义知：y y是是x x的一次函数的一次函数它的解析式是它的解析式是 ，其中，其中k k、b b是常数，且是常数，且k k0.0.2 2一次函数解析式一次函数解析式y ykxkxb b(k k0)0)的结构特征：的结构特征：(1)(1)k k 0 0；(2)(2)x x的次数是的次数是1 1；(3)(3)常数项常数项b b可为任意实数可为任意实数3 3正比例函数解析式正比例函数解析式y ykxkx(k k0)0)的结构特征：的结构特征：(1)(1)k k 0 0；(2)(2)x x的次数是的次数是 ；(3)(3)没有常数项或者说常数项为没有常数项或者说常数项为 .0 0正比例函数正比例函数y ykxkxb b0 01 1温馨提示：温馨提示：正比例函数是一次函数，但一次函数正比例函数是一次函数，但一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)不一定是正比例函不一定是正比例函数，只有当数，只有当b=0b=0时，它才是正比例函数时，它才是正比例函数.考点二考点二 一次函数的图象一次函数的图象温馨提示：温馨提示：3.3.一次函数一次函数y=kx+by=kx+b（k0k0）的图象与）的图象与k,bk,b符号的关系：符号的关系：（1 1）k k0 0，b b0 0图象经过第一、二、三象限图象经过第一、二、三象限.（2 2）k k0 0，b b0 0图象经过第一、三、四象限图象经过第一、三、四象限.（3 3）k k0 0，b b0 0图象经过第一、二、四象限图象经过第一、二、四象限.（4 4）k k0 0，b b0 0图象经过第二、三、四象限图象经过第二、三、四象限.考点三考点三 一次函数图象的性质一次函数图象的性质一次函数一次函数y ykxkxb b，当，当k k0 0时，时，y y随随x x的增大而的增大而 ，图象一定经，图象一定经过第过第 象限；当象限；当k k0 0时，时，y y随随x x的的 而减小，图象一定经过第而减小，图象一定经过第_象限象限考点四考点四 一次函数的应用一次函数的应用用一次函数解决实际问题的一般步骤为：用一次函数解决实际问题的一般步骤为：设定实际问题中的变量；设定实际问题中的变量；建立一次函数关系式；建立一次函数关系式；确定自变量的取值范围；确定自变量的取值范围；利用函数性质解决利用函数性质解决问题；问题；答答增大增大一、三一、三增大增大二、四二、四温馨提示：温馨提示：1.1.题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件；中的隐含条件；2.2.正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、利润、赚、赔、打折、不大于、不小于等；利润、赚、赔、打折、不大于、不小于等；3.3.设未知数相关量要有依据，设未知数相关量要有依据，而代数式为多项式时要加括号，带上单位，列方程时相关量的单位要保持而代数式为多项式时要加括号，带上单位，列方程时相关量的单位要保持一致一致.考点一考点一 反比例函数的定义反比例函数的定义kxkx1 1考点二考点二 反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质双曲线双曲线相交相交减小减小(2)(2)k k0 0图象图象(双曲线双曲线)的两个分支分别在第的两个分支分别在第 象限，如图象限，如图所示图象自左向右是上升的所示图象自左向右是上升的当当x x0 0或或x x0 0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大(或或y y随随x x的减小而减小的减小而减小)二、四二、四考点三考点三 反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以值就可以待定系数法求解析式的步骤：待定系数法求解析式的步骤：(1)(1)设出含有待定系数的函数解析式；设出含有待定系数的函数解析式；(2)(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)(3)解方程求出待定系数解方程求出待定系数考点四考点四 反比例函数图象中比例系数反比例函数图象中比例系数k k的几何意义的几何意义|k|温馨提示：温馨提示：根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握要逐步理解和掌握.考点五考点五 反比例函数的应用反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的解决问题的方案，特别注意自变量的_._.取值范围取值范围考点一考点一 二次函数的定义二次函数的定义一般地，如果一般地，如果y yaxax2 2bxbxc c(a a、b b、c c是常数，是常数，a a0)0)，那么，那么y y叫做叫做x x的二的二次函数次函数1 1结构特征：结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量等号左边是函数，右边是关于自变量x x的的_次式；次式；x x的最高次数是的最高次数是2 2；二次项系数二次项系数 a_a_0.0.2 2二次函数的三种基本形式二次函数的三种基本形式(1)(1)一般形式：一般形式：；(2)(2)顶点式：顶点式：，它直接显示二次函数的顶点坐，它直接显示二次函数的顶点坐标是标是 ；(3)(3)交点式：交点式：，其中，其中x x1 1、x x2 2是图象与是图象与x x轴交轴交点的点的_二二yax2bxc(a、b、c是常数，且是常数，且a0)ya(xh)2k(a0)(h(h，k)k)ya(xx1)(xx2)(a0)横坐标横坐标考点二考点二 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质考点三考点三 二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象特征与的图象特征与a a、b b、c c及及b2-4acb2-4ac的符号的符号之间的关系之间的关系字母字母 项目项目字母的符号字母的符号图象的特征图象的特征a aa a0 0开口向上开口向上a a0 0开口向下开口向下b bb b0 0对称轴为对称轴为y y轴轴abab0 0(a a与与b b同号同号)对称轴在对称轴在y y轴左侧轴左侧abab0 0(a a与与b b异号异号)对称轴在对称轴在y y轴右侧轴右侧c cc c0 0经过原点经过原点c c0 0与与y y轴正半轴相交轴正半轴相交c c0 0与与y y轴负半轴相交轴负半轴相交注意：当注意：当x x1 1时，时，y ya ab bc c；当；当x x1 1时，时，y ya ab bc.c.若若a ab bc c0 0，即，即x x1 1时，时，y y0.0.若若a ab bc c0 0，即，即x x1 1时，时，y y0.0.b b2 24ac4acb b2 24ac4ac0 0与与x x轴有唯一交点轴有唯一交点(顶点顶点)b b2 24ac4ac0 0与与x x轴有两个交点轴有两个交点b b2 24ac4ac0 0与与x x轴没有交点轴没有交点考点四考点四 二次函数图象的平移二次函数图象的平移任意抛物线任意抛物线y ya a(x xh h)2 2k k可以由抛物线可以由抛物线y yaxax2 2经过平移得到，具体经过平移得到，具体平移方法如下：平移方法如下：温馨提示：温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.考点五考点五 二次函数解析式的求法二次函数解析式的求法1 1一般式：一般式：y yaxax2 2bxbxc c(a0a0)若已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式若已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式y yaxax2 2bxbxc c(a0a0)，将已知条件代入，求出，将已知条件代入，求出a a、b b、c c的值的值2 2交点式：交点式：y ya a(x xx x1 1)()(x xx x2 2)()(a0a0)若已知二次函数图象与若已知二次函数图象与x x轴的两个交点的坐标，则设交点式：轴的两个交点的坐标，则设交点式：y ya a(x xx x1 1)()(x xx x2 2)()(a0a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数数a a，最后将解析式化为一般式，最后将解析式化为一般式3 3顶点式：顶点式：y ya a(x xh h)2 2k k(a0a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶则设顶点式点式:y ya a(x x-h h)2 2+k k(a0a0),),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.考点六考点六 二次函数的应用二次函数的应用二次函数的应用包括两个方面：二次函数的应用包括两个方面：(1 1)用二次函数表示实际问题变量之间关系用二次函数表示实际问题变量之间关系(2 2)用二次函数解决最大化问题用二次函数解决最大化问题(即最值问题即最值问题)，用二次函数的性质求，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围解，同时注意自变量的取值范围考点一考点一 函数的综合应用函数的综合应用1.1.直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解，比较大直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解，比较大小等问题小等问题.2.2.直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题程、分式不等式的解，比较大小等问题.3.3.利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题.4.4.利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与来解决抛物线与x x轴交点的问题轴交点的问题.5.5.通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性的可行性.6.6.建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合检验与实际情况是否相符合.7.7.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.考点一考点一 线段、射线、直线线段、射线、直线1 1线段的性质线段的性质(1)(1)所有连接两点的线中所有连接两点的线中,_,_最短，即过两点有且只有一条直线最短，即过两点有且只有一条直线.(2)(2)线段垂直平分线上的点到这条线段的线段垂直平
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