第十一章 动量矩定理

理论力学理论力学东北大学理学院力学系东北大学理学院力学系 张英杰张英杰Northeastern University质点质点系动量定理：动量的改变外力(外力系主矢)质心运动定理：质心的运动外力(外力系主矢)O质量为质量为m的均质圆轮，绕过其质心的转轴，的均质圆轮，绕过其质心的转轴，以角速度以角速度转动转动，其，其动量动量动量定理不能说明此时的这种运动规律第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理2Northeastern University动量矩定理：建立质点和质点系相对于某一固定点（或固定轴）的动量矩的改变，与外力对同一固定点（或固定轴）之矩两者之间的关系。反映质点系相对于某一固定点或质心的运动规律。第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理3Northeastern University4123质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体对轴的转动惯量刚体绕定轴的转动微分方程第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理5质点系相对于质心的动量矩定理6刚体的平面运动微分方程4Northeastern University11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点对点O的动量矩：质点的动量对固定点O之矩单位:kgm2/s垂直于矢径与动量形成的平面；大小:方位:矢量符合右手法则；指向:BAyxzO5Northeastern UniversityBAyxzOBA质点对z轴的动量矩：质点动量在Oxy平面内的投影对z轴之矩。单位:kgm2/s正负:迎着z轴看,逆时针为正,顺时针为负代数量质点对点O的动量矩矢与对过点O之轴的动量矩之间的关系11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩大小:6Northeastern University11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩对点的动量矩:等于各质点对同一点O的动量矩的矢量 和，或等于质点系动量对点O的主矩。对轴的动量矩:等于各质点对同一轴动量矩的代数和。质点系对点O 的动量矩矢在过同一点O 的z 轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。7Northeastern UniversityABz2、刚体绕定轴转动 刚体对z轴转动惯量11-111-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1、刚体平移 平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。二、质点系的动量矩8Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理一、质点的动量矩定理设O为定点，质点对定点O 的动量矩为zyxO作用力 对定点O 的矩为9Northeastern University质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩11-211-2 动量矩定理动量矩定理一、质点的动量矩定理10Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理二、质点系的动量矩定理=0由质点的动量矩定理得：作用于第i 个质点的力有内力 和外力内力不改变质点系的动量矩11Northeastern University质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。11-211-2 动量矩定理动量矩定理质点系动量矩定理：质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数,等于作用于质点系的外力对同一点O之矩的矢量和（外力对点O的主矩）。二、质点系的动量矩定理12Northeastern Universityz例例11-1 一单摆在一平面内小幅度摆动一单摆在一平面内小幅度摆动,摆绳长摆绳长l,摆捶摆捶质量为质量为m,求摆捶微小摆动的运动方程。求摆捶微小摆动的运动方程。解解:取摆捶为研究对象取摆捶为研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析 摆捶对摆捶对z轴的动量矩轴的动量矩外力对外力对z轴的力矩轴的力矩 由摆捶对由摆捶对z轴的动量矩定理求解轴的动量矩定理求解11-211-2 动量矩定理动量矩定理13Northeastern University解解:取小车与鼓轮为研究取小车与鼓轮为研究 对象对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析 系统对系统对z轴的动量矩轴的动量矩系统外力对系统外力对z轴之矩轴之矩例例11-2 高炉运送矿石用的卷扬机高炉运送矿石用的卷扬机:已知鼓轮半径已知鼓轮半径R,质量质量m1,轮轮绕绕z轴转动轴转动;小车和矿石总质量为小车和矿石总质量为m2;作用在鼓轮上的力偶矩为作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角轨道倾角。不计绳质量和各处。不计绳质量和各处摩擦摩擦,求小车的加速度求小车的加速度a。11-211-2 动量矩定理动量矩定理z14Northeastern University 由质点系对由质点系对z轴的动量矩定理求解轴的动量矩定理求解11-211-2 动量矩定理动量矩定理例例11-2 高炉运送矿石用的卷扬机高炉运送矿石用的卷扬机:已知鼓轮半径已知鼓轮半径R,质量质量m1,轮轮绕绕z轴转动轴转动;小车和矿石总质量为小车和矿石总质量为m2;作用在鼓轮上的力偶矩为作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角轨道倾角。不计绳质量和各处。不计绳质量和各处摩擦摩擦,求小车的加速度求小车的加速度a。z15Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理例例11-3 水轮机转轮叶片数为水轮机转轮叶片数为n,水密度为水密度为,每两叶片间的水流皆每两叶片间的水流皆相同相同,在图面内的进口水速在图面内的进口水速v1,出口水速出口水速v2,且与切线夹角分别且与切线夹角分别为为1和和2,若总的体积流量为若总的体积流量为qv,求水流对转轮的转动力矩求水流对转轮的转动力矩.解解:两叶片间的水经两叶片间的水经dt时间由时间由ABCD 流到流到abcd，则两叶片间的水对转，则两叶片间的水对转 轴轴O的动量矩变化量为的动量矩变化量为水轮机转轮内的水对转轴水轮机转轮内的水对转轴O的动量矩变化量为的动量矩变化量为16Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理例例11-3 水轮机转轮叶片数为水轮机转轮叶片数为n,水密度为水密度为,每两叶片间的水流皆每两叶片间的水流皆相同相同,在图面内的进口水速在图面内的进口水速v1,出口水速出口水速v2,且与切线夹角分别且与切线夹角分别为为1和和2,若总的体积流量为若总的体积流量为qv,求水流对转轮的转动力矩求水流对转轮的转动力矩.由质点系对由质点系对O轴的动量矩定理可得轴的动量矩定理可得 即为水轮机转轮内的水所受外力对转轴即为水轮机转轮内的水所受外力对转轴O的矩，的矩，而水流对转轮的转动力矩则与其等值反向。而水流对转轮的转动力矩则与其等值反向。17Northeastern University一、质点和质点系的动量矩（kgm2/s）代数量质点对点O的动量矩质点对z 轴的动量矩质点系对点O的动量矩质点系对z 轴的动量矩矢量代数量矢量第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理18Northeastern University 刚体平移刚体对点O的动量矩刚体对z轴的动量矩 刚体绕定轴转动刚体对z轴的动量矩转动惯量第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理一、质点和质点系的动量矩（kgm2/s）19Northeastern University二、动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理20Northeastern University质点系的动量矩定理：质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数,等于作用于质点系的外力对同一点O之矩的矢量和（外力对点O的主矩）。第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理二、动量矩定理21Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理例例11-4 转盘由圆轮转盘由圆轮1(1(半径半径r1)和塔轮和塔轮2(2(半径半径r2)固结而成固结而成,转盘转盘总质量为总质量为m,对盘心的转动惯量为对盘心的转动惯量为JO,重物质量分别为重物质量分别为m1和和m2,不计摩擦。求圆盘角加速度不计摩擦。求圆盘角加速度,O处约束力处约束力,绳索张力绳索张力FT1,FT2.质点系外力对转轴之矩质点系外力对转轴之矩解解:取转盘和重物为研究对象取转盘和重物为研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析 质点系对转轴的动量矩质点系对转轴的动量矩 由质点系对转轴的动量矩定理求解由质点系对转轴的动量矩定理求解m1m2O22Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理 由质心运动定理由质心运动定理例例11-4 转盘由圆轮转盘由圆轮1(1(半径半径r1)和塔轮和塔轮2(2(半径半径r2)固结而成固结而成,转盘转盘总质量为总质量为m,对盘心的转动惯量为对盘心的转动惯量为JO,重物质量分别为重物质量分别为m1和和m2,不计摩擦。求圆盘角加速度不计摩擦。求圆盘角加速度,O处约束力处约束力,绳索张力绳索张力FT1,FT2.m1m2O 取重物取重物m1为研究对象为研究对象,画受力图画受力图 取重物取重物m1为研究对象为研究对象,画受力图画受力图23Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理三、动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律：如果作用于质点的力对某定点O 之矩恒等于零,则质点对该点的动量矩保持不变。如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零,则质点对该轴的动量矩保持不变。24Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理质点系动量矩守恒定律：如果作用于质点系的外力对某定点O的主矩等于零,则质点系对该定点的动量矩保持不变。如果作用于质点系的外力对某定轴之矩的代数和恒等于零,则质点系对该轴的动量矩保持不变。三、动量矩守恒定律25Northeastern University(行星绕太阳运动,人造卫星绕地球运动)恒矢量O 质点对点O的动量矩的大小不变11-211-2 动量矩定理动量矩定理有心力:力的作用线始终通过某一 固定点(力心)和 始终在同一平面内，方向始终不变 面积速度定理26Northeastern University(行星绕太阳运动,人造卫星绕地球运动)11-211-2 动量矩定理动量矩定理人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心远时速度小。面积速度定理 面积速度面积速度定理:质点在有心力作用下其面积速度守恒。O27Northeastern University11-211-2 动量矩定理动量矩定理例例11-5 质量皆为质量皆为m的的小球小球A,B由细绳相连由细绳相连,不计其余构件质量和不计其余构件质量和摩擦摩擦,系统绕铅垂轴系统绕铅垂轴z自由转动自由转动,初始时系统的角速度为初始时系统的角速度为0,当当细绳拉细绳拉断后断后,求各杆与铅垂线成求各杆与铅垂线成角时系统的角速度角时系统的角速度。解解:系统所受重力和轴承约束力系统所受重力和轴承约束力 对转轴的矩都等于对转轴的矩都等于0,因此系因此系 统对转轴的动量矩守恒统对转轴的动量矩守恒28Northeastern UniversityO例例11-6 滑轮半径为滑轮半径为R,质量不计质量不计;猴子猴子、重物质量均为重物质量均为m,初始静初始静止。当猴子以速度止。当猴子以速度u相对绳向上爬相对绳向上爬时时,重重物如何运物如何运动动(速速度度)解解:取系统为研究对象取系统为研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析设重物速度为设重物速度为v猴子速度猴子速度11-211-2 动量矩定理动量矩定理 系统对系统对O轴的力矩轴的力矩 由质点系动量矩守恒定律得由质点系动量矩守恒定律得29Northeastern University主动力:约束力:刚体对于z轴的转动惯量为Jz定轴转动刚体对转轴z的动量矩z11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程由动量矩定理 得 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。30Northeastern University 刚体绕定轴转动微分方程 转动惯量 （刚体转动时惯性的度量）质点的运动微分方程11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程31Northeastern University11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态 发生变化;如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于 零,则刚体作匀速转动;如果主动力对转轴的矩的代 数和为恒量,则刚体作匀变速转动;在一定的时间间隔内,当主动力对转轴的矩相同时,刚体的转动惯量越大,转动状态变化越小;转动惯量 越小,转动状态变化越大。因此,刚体转动惯量的大 小表现了刚体转动状态改变的难易程度。32Northeastern UniversityOC例例11-7 复摆质量为复摆质量为m,C为其质心为其质心,OC=l,摆对悬挂点摆对悬挂点O的转动的转动惯量为惯量为JO,求微小摆动的周期。求微小摆动的周期。解解:取复摆为研究对象取复摆为研究对象,画受力图画受力图 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得复摆微小摆动，复摆微小摆动，11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程33Northeastern University固有圆频率固有圆频率:（2时间内摆动次数）时间内摆动次数）固有频率固有频率:（单位时间内摆动次数）（单位时间内摆动次数）初相位初相位:由初始条件确定由初始条件确定周期周期:11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程角振幅角振幅:34Northeastern University例例11-8 飞轮对轴飞轮对轴O的转动惯量为的转动惯量为JO,以角速度以角速度0绕轴绕轴O转动。转动。制动时制动时,闸块给轮以正压力闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮间滑动摩擦系数。已知闸块与轮间滑动摩擦系数为为f,轮的半径为轮的半径为,忽略轴承摩擦。求制动所需时间。忽略轴承摩擦。求制动所需时间。解解:取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象,画受力图画受力图 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得 积分，由题知确定积分上下限积分，由题知确定积分上下限O11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程35Northeastern University解解:分别以轴分别以轴,(,(带轮带轮)为研究对象为研究对象,画受力图画受力图例例11-9 图示传动轴图示传动轴系系,轴轴,的转动惯量为的转动惯量为J,J,传动比为传动比为i12=R2/R1,轴轴上作用主动力矩上作用主动力矩M1,轴轴上有阻力矩上有阻力矩M2。不计摩。不计摩擦擦,求求轴轴的角加速度。的角加速度。运动分析运动分析11-311-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得36Northeastern University(kgm2)1、均质细直杆对z轴的转动惯量 刚体对轴的转动惯量11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一、简单匀质几何形体的转动惯量xlxzOdxRzO2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量mi37Northeastern University3、均质圆盘对中心轴的转动惯量11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量ROdriri(kgm2)刚体对轴的转动惯量一、简单匀质几何形体的转动惯量OR2R14、均质厚圆环对中心轴的转动惯量5、均质球对中心轴的转动惯量driri均质薄圆环对中心轴的转动惯量38Northeastern University细直杆:均质圆环:均质圆板:均质球:11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量二、回转半径（惯性半径）39Northeastern Universityzc 轴 过质心且与z 轴平行的轴；d z轴与zc 轴之间的距离。刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量三、平行轴定理 40Northeastern University证明:11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量x1z1y,y1xzOdCmi41Northeastern University例例11-10 质量为质量为m,长为长为l的均质细直杆的均质细直杆,已知已知JzA=ml2/3,求此杆求此杆对于垂直于杆轴且过对于垂直于杆轴且过B和质心和质心C的轴的转动惯量。的轴的转动惯量。解解:由平行轴定理知由平行轴定理知BAC11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量42Northeastern University 钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为m2的均质圆盘组成,杆长为l,圆盘直径为d,求摆对O轴的转动惯量OC11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量四、求转动惯量的其它方法1、组合法43Northeastern University例例11-11 质量为质量为m的均质空心圆柱体外径为的均质空心圆柱体外径为R1,内径为内径为R2,求均求均质空心圆柱体对中心轴质空心圆柱体对中心轴z的转动惯量。的转动惯量。解：解：11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量44Northeastern University求钟摆对O轴的转动惯量将钟摆悬挂在轴O上，作微幅摆动11-411-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量四、求转动惯量的其它方法2、实验法(均质物体的转动惯量)3、查表法45Northeastern UniversityyxzCOyxz11-511-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理一、质点系的动量矩 质点系对质心C的动量矩 质点系对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算，质点系对质心的动量矩结果相同。46Northeastern University11-511-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理一、质点系的动量矩 质点系对定点O的动量矩yxzCOyxz47Northeastern University11-511-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系对定点O的动量矩yxzCOyxz48Northeastern University11-511-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理yxzCOyxz质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。49Northeastern UniversityyxCOyx刚体平面运动:随质心的平移+绕质心的转动:随基点的平移+绕基点的转动运动学运力学随质心的平移:绕质心的转动:质心运动定理刚体对质心的动量矩定理11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程50Northeastern University刚体的平面运动微分方程11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 刚体对质心的动量矩；刚体对过质心且垂直于运动平面之轴的转动惯量；刚体的角速度。51Northeastern UniversityC例例11-12 半径为半径为r,质量为质量为m,惯性半径为惯性半径为c的匀质圆轮沿水平直线的匀质圆轮沿水平直线滚动滚动,作用于轮的力偶矩为作用于轮的力偶矩为M,求圆轮的轮心加速度。轮与地面求圆轮的轮心加速度。轮与地面的静滑动摩擦因数为的静滑动摩擦因数为fs,求保证求保证圆轮纯滚动的圆轮纯滚动的M。xy解解:取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程圆轮滚而不滑圆轮滚而不滑11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程圆轮不滑动圆轮不滑动52Northeastern UniversityCR例例11-13 半径为半径为r,质量为质量为m 的匀质圆轮的匀质圆轮,受轻微扰动后受轻微扰动后,在半径在半径为为R的圆弧上往复滚动的圆弧上往复滚动,圆弧表面足够粗糙圆弧表面足够粗糙,以保证以保证圆轮滚动时圆轮滚动时无滑动无滑动,求圆轮质心求圆轮质心C的运动规律。的运动规律。解解:取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象,画受力图画受力图 取自然坐标系取自然坐标系,运动分析运动分析 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程sO11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程(+)53Northeastern University例例11-13 半径为半径为r,质量为质量为m 的匀质圆轮的匀质圆轮,受轻微扰动后受轻微扰动后,在半径在半径为为R的圆弧上往复滚动的圆弧上往复滚动,圆弧表面足够粗糙圆弧表面足够粗糙,以保证以保证圆轮滚动时圆轮滚动时无滑动无滑动,求圆轮质心求圆轮质心C的运动规律。的运动规律。小扰动时，小扰动时，11-611-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程CRsO(+)由初始条件求积分常数由初始条件求积分常数54Northeastern University动量矩定理的应用1、已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外 力矩。2、已知质点系所受外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。3、已知质点所受外力主矩或外力矩在某轴上的投影 代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或 角位移。【习题】【习题】55Northeastern University解解:取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象,画受力图画受力图 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程11-1 质量质量 7kg,直径为直径为0.3m的均质圆轮的均质圆轮,在水平木板上以初速在水平木板上以初速度为度为v0=6m/s,角速度角速度0=0 运动运动,球和木板间的摩擦系数球和木板间的摩擦系数f=0.1。求开始运动后何时轮只滚不滑求开始运动后何时轮只滚不滑,此时的速度和角速度。此时的速度和角速度。【习题】【习题】Cxy圆轮刚滚而不滑时圆轮刚滚而不滑时56Northeastern University圆轮只滚不滑圆轮只滚不滑【习题】【习题】Cxy11-1 质量质量 7kg,直径为直径为0.3m的均质圆轮的均质圆轮,在水平木板上以初速在水平木板上以初速度为度为v0=6m/s,角速度角速度0=0 运动运动,球和木板间的摩擦系数球和木板间的摩擦系数f=0.1。求开始运动后何时轮只滚不滑求开始运动后何时轮只滚不滑,此时的速度和角速度。此时的速度和角速度。57Northeastern UniversityCABO1O2解解:取圆盘为研究对象取圆盘为研究对象,画受力图画受力图 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程 运动分析运动分析圆盘平移圆盘平移11-2 均质圆盘质量为均质圆盘质量为m,半径为半径为R,轻质杆轻质杆O1A=O2B=l,系统在细系统在细绳作用下平衡。求绳断瞬间绳作用下平衡。求绳断瞬间,杆杆O1A的角加速度及两杆受力。的角加速度及两杆受力。xy绳断瞬间绳断瞬间【习题】【习题】58Northeastern UniversityCAB解解:取杆取杆AB为研究对象为研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析设质心设质心C加速度为加速度为11-3 质量为质量为m的均质杆的均质杆AB,在在B点用绳固定点用绳固定,在在A点与水平面接点与水平面接触。水平面与杆间摩擦系数为触。水平面与杆间摩擦系数为f，若将，若将B点绳突然切断。求均点绳突然切断。求均质杆质杆AB质心加速度和质心加速度和A点的约束力。点的约束力。AB杆角加速度为杆角加速度为A点加速度为点加速度为取取C点为基点点为基点,由基点法得由基点法得大小大小方向方向?？0【习题】【习题】向向y方向投影方向投影xy59Northeastern University 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程【习题】【习题】11-3 均质杆均质杆AB质量为质量为m,水平面与杆间摩擦系数为水平面与杆间摩擦系数为f,将绳突然将绳突然切断切断,求求AB杆质心加速度和杆质心加速度和A点约束力。点约束力。CABxy60Northeastern University【习题】【习题】11-3 均质杆均质杆AB质量为质量为m,水平面与杆间摩擦系数为水平面与杆间摩擦系数为f,将绳突然将绳突然切断切断,求求AB杆质心加速度和杆质心加速度和A点约束力。点约束力。计算计算A点约束力点约束力由质心运动定理可得由质心运动定理可得CABxy61Northeastern University水平面光滑水平面光滑 f=0【习题】【习题】11-4 质量为质量为m的均质杆的均质杆AB,在在B点用绳固定点用绳固定,在在A点与水平面接点与水平面接触。水平面触。水平面光滑光滑,若将若将B点绳突然切断。求均质杆点绳突然切断。求均质杆AB质心加速质心加速度和度和A点的约束力。点的约束力。CABxy62Northeastern University第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理作业：作业：3、7、9 23、26、2863Northeastern University一、质点和质点系的动量矩（kgm2/s）代数量质点对点O的动量矩质点对z 轴的动量矩质点系对点O的动量矩质点系对z 轴的动量矩矢量代数量矢量第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理64Northeastern University 刚体平移刚体对点O的动量矩刚体对z轴的动量矩 刚体绕定轴转动刚体对z轴的动量矩转动惯量第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理一、质点和质点系的动量矩（kgm2/s）65Northeastern University二、动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理66Northeastern University质点系的动量矩定理：质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数,等于作用于质点系的外力对同一点O之矩的矢量和（外力对点O的主矩）。第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理二、动量矩定理67Northeastern University三、动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律：质点系动量矩守恒定律：第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理68Northeastern University四、刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作刚体用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理69Northeastern University五、刚体对轴的转动惯量(kgm2)均质细直杆对一端的转动惯量 均质薄圆环对中心轴的转动惯量RzO 均质圆盘对中心轴的转动惯量ROxlxzOdx第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理70Northeastern University 均质厚圆环对中心轴的转动惯量 均质球对中心轴的转动惯量OR2R1yxzOm,R回转半径（惯性半径）z 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理五、刚体对轴的转动惯量(kgm2)71Northeastern Universityzc 轴 过质心且与z 轴平行的轴；d z轴与zc 轴之间的距离。刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。六、平行轴定理 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理72Northeastern University七、质点系相对于质心的动量矩定理yxzCOyxz对质心C的动量矩对定点O的动量矩 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理73Northeastern University八、刚体的平面运动微分方程第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理74Northeastern University75Northeastern University12-612-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程76Northeastern University【习题】【习题】77Northeastern University【习题】【习题】78