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微分方程 第七章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 引例引例1.一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C=1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x,求该曲线的方程求该曲线的方程.引例引例2.列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶的速度行驶,获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知已知由前一式两次积分由前一式两次积分,可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程.即求即求 s=s(t).制动时制动时常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容本章内容)(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.分类分类或或 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同的阶数相同.特解特解引例引例2引例引例1 通解通解:特解特解:微分方程的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线.例例1.验证函数验证函数是微分方程是微分方程的通解的通解,的特解的特解.解解:这说明这说明是方程的解是方程的解.是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,利用初始条件易得利用初始条件易得:故所求特解为故所求特解为故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 求所满足的微分方程求所满足的微分方程.例例2.已知曲线上点已知曲线上点 P(x,y)处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q解解:如图所示如图所示,令令 Y=0,得得 Q 点的横坐标点的横坐标即即点点 P(x,y)处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 第七章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x)是方程是方程的解的解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 方程方程的解满足关系式的解满足关系式。则有则有设左右两端的原函数分别为设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),分离变量方程的解法分离变量方程的解法:反之，当反之，当G(y)与与F(x)可微且可微且 G (y)g(y)0 时时,的隐函数的隐函数 y (x)是是的解的解.称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.同样同样,当当 F (x)=f(x)0 时，时，由由确定的隐函数确定的隐函数 x(y)也是也是的解的解.说明由说明由确定确定例例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例2.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为例例3.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:练习练习:解法解法 1 分离变量分离变量即即(C 0 )解法解法 2故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:积分积分例例4.子的含量子的含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.解解:根据题意根据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为然后积分然后积分:已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例例5.成正比成正比,求求解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时足够大时例例6.有高有高 1 m 的半球形容器的半球形容器,水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中从小孔流出过程中,容器里水面的高度容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 的变的变解解:由水力学知由水力学知,水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为即即求水求水小孔横截面积小孔横截面积化规律化规律.流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在设在内水面高度由内水面高度由 h 降到降到 对应下降体积对应下降体积因此得微分方程定解问题因此得微分方程定解问题:将方程分离变量将方程分离变量:两端积分两端积分,得得利用初始条件利用初始条件,得得则得容则得容器内水面高度器内水面高度 h 与时间与时间 t 的关系的关系:可见水流完所需时间为可见水流完所需时间为 因此因此内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2.可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解.有解有解后者是通解后者是通解,但不包含前一个解但不包含前一个解.例如例如,方程方程分离变量后积分分离变量后积分;根据定解条件定常数根据定解条件定常数.解解;阶阶;通解通解;特解特解 y=x 及及 y=C (1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程根据几何关系列方程(如如:P298 题题5(2)2)根据物理规律列方程根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解求通解,并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤例例4例例5例例6思考与练习思考与练习 求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)分离变量分离变量(2)方程变形为方程变形为作业P 298 5(1);6P 304 1(1),(10);2(3),(4);4;6齐次方程 第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化二、可化为齐次方程的方程次方程的方程 第七章 一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)此处例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.由光的反射定律:可得 OMA=OAM=例例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角能的要求,在其旋转轴(x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO=OMxOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成,按聚光性而 AO 于是得微分方程:经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程.积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为 h,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例例1.解方程 解解:先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0例例2.有一电路如图所示,电阻 R 和电解解:列方程.已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:可降阶高阶微分方程 第五节一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 第七章 一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 例例1.解解:例例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力 F 均匀地减直到 t=T 时 F(T)=0.如果开始时质点在原点,解解:据题意有t=0 时设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得 利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、二、例例3.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为例例4.绳索仅受重力作用而下垂,解解:取坐标系如图.考察最低点 A 到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:M:地球质量m:物体质量例例6.静止开始落向地面,(不计空气阻力).解解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由 求它落到地面时的速度和所需时间两端积分得因此有注意注意“”号号由于 y=R 时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为内容小结内容小结1.一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令思考与练习思考与练习1.方程如何代换求解?答答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例例6例例7作业作业P309 2(2);P315 1(3),(6);2(5);P323 1(5),(7);2(3);4 高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数四、常数变易法易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:求电容器两两极板间电压 例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.解解:设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串极板上 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0 串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性(二阶线性微分方程)例例1例例2 可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关(证明略)线性无关定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为则三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)例例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 作业作业 P 331 2，3，4(1)常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1.当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r 为待定常数),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.特征方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广推广:例例1.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例例3.解解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为由第六节例1(P323)知,位移满足方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征例例4.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例例6.解解:特征方程:即其根为方程通解:例例7.解解:特征方程:特征根为则方程通解:内容小结内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习思考与练习 求方程的通解.答案答案:通解为通解为通解为作业作业 P340 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3常系数非齐次线性微分方程 第八节一、一、二、二、第七章 二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法一、一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得 为 m 次多项式.(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为 m 次待定系数多项式(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例例2.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点第一步第一步 利用欧拉公式将 f(x)变形 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根(k =0,1),故等式两边取共轭:为方程 的特解.设则 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程 均为 m 次多项式.第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式.本质上为实函数,小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例例5.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例例6.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结内容小结 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1.(填空)设作业作业P347 1(1),(6),(10);2(2);3一阶微分方程的 习题课(一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第七章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解 变量代换法代换因变量因变量代换某组合式某组合式三个标准类型可分离变量方程 齐次方程 线性方程 代换自变量自变量例例1.求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)这是一个齐次方程，令 y=u x,化为分离变量方程:方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为例例2.求下列方程的通解:提示提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353 题2 求以为通解的微分方程.提示提示:消去 C 得P353 题3 求下列微分方程的通解:提示提示:令 u=x y,化成可分离变量方程:提示提示:这是一阶线性方程,其中P353 题1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)提示提示:可化为关于 x 的一阶线性方程提示提示:为伯努利方程,令提示提示:可化为伯努利方程令公式 提示提示:为可降阶方程,令原方程化为,即则故原方程通解提示提示:令例例4.设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA=h,一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示提示:如图所示建立坐标系.设时刻t 鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为 a,两岸 则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速 b 为定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(自己求解)(齐次方程)思考思考:能否根据草图列方程?练习题练习题:P354 题 5 ,6P354 题题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示提示:设曲线上的动点为 M(x,y),令 X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵P354 题题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空的含量不超过 0.06%?提示提示:设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在内车间内两端除以 并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气 输入,的改变量为 t=30 时解定解问题因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气.初始条件得 k=?作业作业 P304 3,7;P310 *4(2);P315 7(2),(4)第六节 二阶微分方程的 习题课(二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第七章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程练习题练习题:P353 题 2(2);3(6),(7);4(2)；解答提示解答提示P353 题题2(2)求以为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353 题题3 求下列微分方程的通解提示提示:(6)令则方程变为特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思思 考考若(7)中非齐次项改为提示提示:原方程通解为特解设法有何变化?P354 题题4(2)求解提示提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定正负号如何确定?特征根:例例1.求微分方程提示提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定 A,B,得得处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:例例2.且满足方程提示提示:则问题化为解初值问题:最后求得思考思考:设提示提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:的解.例例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 数,且解解:上式两端对 x 求导,得(1)由反函数的导数公式知(2003考研考研)代入原微分方程得 (2)方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解:由初始条件 得故所求初值问题的解为 二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1.建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义 例例4.解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球 引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得:(G 为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度代入原方程,得两边积分得利用初始条件,得因此注意到 为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即代入即得这说明第二宇宙速度为 求质点的运动规律例例5.上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比(比例系数提示提示:两边对 s 求导得:牛顿第二定律为 k),开方如何定开方如何定+?已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点例例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子 12 m,力,求链条滑下来所需的时间.解解:建立坐标系如图.设在时刻 t,链条较长一段下垂 x m,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得如不计钉子对链条所产生的摩擦由初始条件得故定解问题的解为解得(s)微分方程通解:当 x=20 m 时,思考思考:若摩擦力为链条 1 m 长的质量,定解问题的数学模型是什么?摩擦力为链条 1 m 长的质量 时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正 比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研)提示提示:建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意:初始条件为用分离变量法解上述初值问题得 作业作业 P348 4 ,6 ;P353 3(8);4(2),(4)；7;*11(1)得质量 m体积 B第十一节 备用题备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程故再积分得通解复习复习:一阶线性微分方程 通解公式:2.设函数在 r 0内满足拉普拉斯方程二阶可导,试将方程化为以 r 为自变量的常微分 方程,并求 f(r).提示提示:利用对称性,即(欧拉方程欧拉方程)原方程可化为且解初值问题:则原方程化为 通解:利用初始条件得特解:微分方程 习题课 第七章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 三个标准类型三个标准类型可分离变量方程可分离变量方程 齐次方程齐次方程 线性方程线性方程 齐次方程齐次方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分逐次积分令令令令高阶线性微分方程 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构 线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.(叠加原理叠加原理)定理定理1.定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解,数数)是该方程的通解是该方程的通解.则则线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.定理定理 4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)定理定理3,定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.定理定理 5.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常系数常系数 齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程:推广推广:二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法 为特征方程的为特征方程的 k(=0,1,2)重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的 k(=0,1)重重根根,则设特解为则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例1.求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解(2)这是一个是一个齐次方程次方程，令令 y=u x,化化为分离分离变量方程量方程:例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内内满足以下条件足以下条件:(1)求求F(x)所所满足的一足的一阶微分方程微分方程;(2003考研考研)(2)求出求出F(x)的表达式的表达式.解解:(1)所以所以F(x)满足的一足的一阶线性非性非齐次微分方程次微分方程:(2)由一由一阶线性微分方程解的公式得性微分方程解的公式得于是于是 思考思考:能否根据草能否根据草图列方程列方程?练习题:P354 题5.已知某曲已知某曲线经过点点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐上的截距等于切点的横坐标,求它的方程求它的方程.提示提示:设曲曲线上的上的动点点为 M(x,y),令令 X=0,得截距得截距由题意知微分方程为由题意知微分方程为即即定解条件为定解条件为此点处切线方程为此点处切线方程为它的切线在纵它的切线在纵例例5.的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为例例4.的一个特解的一个特解.解解:本题本题 特征方程特征方程故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比较系数比较系数,得得于是求得一个特解于是求得一个特解作业p353 总习题七七13(1)(7)(8)4(4)
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