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第六章第六章 微分方程微分方程 知识总结知识总结一一.微分方程的基本概念微分方程的基本概念二二.一阶微分方程一阶微分方程三三.可降阶的微分方程可降阶的微分方程四四.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构五五.常系数线性微分方程常系数线性微分方程一一.微分方程的基本概念微分方程的基本概念 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解特解微分方程的解解 取定了通解中的任意常数后,便得到方程的一个具体的解,其图形称为积分曲线积分曲线.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):说明说明:通解不一定是方程的全部解.例例：求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得:二二.一阶微分方程一阶微分方程关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤1.可分离变量方程可分离变量方程2.齐次方程齐次方程3.一阶线性方程一阶线性方程4.伯努利方程伯努利方程5.变量代换变量代换1.可分离变量方程可分离变量方程分离变量分离变量然后两边同时积分然后两边同时积分2.齐次方程齐次方程:令代入原方程得解法:注注:可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程3.一阶线性方程一阶线性方程:解法：用通解公式4.伯努利方程伯努利方程化为线性方程求解.5.变量代换变量代换注注:通过适当的变换通过适当的变换(函数变换或自变量变换函数变换或自变量变换)将一个将一个微分方程化为已知求解步骤的方程微分方程化为已知求解步骤的方程例例.求下述微分方程的通解:解解:令 则故有即解得所求通解:例例:判别下列方程类型判别下列方程类型:提示提示:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程例例.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 三三.可降阶的微分方程可降阶的微分方程逐次积分令令例例:设二阶非齐次方程有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解解:故所给二阶非齐次方程为方程化为 一阶线性非齐次方程故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式 四四.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构主要定理主要定理:是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)五五.常系数线性微分方程常系数线性微分方程1.1.常系数线性常系数线性齐次齐次微分方程微分方程2.常系数线性常系数线性非齐次非齐次微分方程微分方程3.欧拉方程欧拉方程1.常系数线性常系数线性齐次齐次微分方程微分方程:(1)写出特征方程写出特征方程:实根 特 征 根通 解(3)根据根的不同情况写出通解根据根的不同情况写出通解若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广推广:例:为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为2.常系数线性常系数线性非齐次非齐次微分方程：微分方程：为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.为特征方程的 k 重根,则设特解为为特征方程的 k 重根,则设特解为推广推广:例例.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例例.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例例.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 1.(填空)设例例.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:例例.且满足方程提示提示:则问题化为解初值问题:最后求得思考思考:设设提示提示:对积分换元对积分换元,则有则有解初值问题解初值问题:答案答案:四.欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程 第五节欧拉方程的解法欧拉方程的解法:则则由上述计算可知:用归纳法可证 转化为常系数线性方程:例例.解解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得
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