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返回返回上页上页下页下页目录目录一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性(Trigonometric series)简单的周期运动简单的周期运动:(谐波函数谐波函数)(A为为振幅振幅,复杂的周期运动复杂的周期运动:令令得函数项级数得函数项级数 为为角频率角频率,为为初相初相)(谐波迭加谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数.7/29/20241返回返回上页上页下页下页目录目录证证:同理可证同理可证:正交正交,上的积分等于上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在定理定理 1 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系7/29/20242返回返回上页上页下页下页目录目录上的积分不等于上的积分不等于 0.且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 7/29/20243返回返回上页上页下页下页目录目录二、函数展开成傅立叶级数二、函数展开成傅立叶级数(Expanding to Fourier series)定理定理 2 设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,且且右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分,则有则有证证:由定理条件由定理条件,对对在在逐项积分逐项积分,得得7/29/20244返回返回上页上页下页下页目录目录(利用正交性利用正交性)类似地类似地,用用 sin k x 乘乘 式两边式两边,再逐项积分可得再逐项积分可得7/29/20245返回返回上页上页下页下页目录目录叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数;由公式由公式 确定的确定的以以的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数称为函数 7/29/20246返回返回上页上页下页下页目录目录设设 f(x)是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点,则则 f(x)的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛,且有且有 x 为间断点为间断点其中其中(证明略证明略)为为 f(x)的傅的傅里里叶系数叶系数.x 为连续点为连续点注意注意:函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)7/29/20247返回返回上页上页下页下页目录目录设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在 上的表达式为上的表达式为解解:先求傅先求傅里里叶系数叶系数将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.例例17/29/20248返回返回上页上页下页下页目录目录机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7/29/20249返回返回上页上页下页下页目录目录1)根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时,级数收敛于级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近f(x)的情况见右图的情况见右图.说明说明:7/29/202410返回返回上页上页下页下页目录目录上的表达式为上的表达式为将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.（由课本（由课本 例例2改编）改编）解解:设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在 例例27/29/202411返回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:当当时时,级数收敛于级数收敛于7/29/202412返回返回上页上页下页下页目录目录周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开上的傅上的傅里里叶级数叶级数其它其它定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法7/29/202413返回返回上页上页下页下页目录目录级数级数.（自学课本（自学课本例例4）则则解解:将将 f(x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶2 为为周期周期的函数的函数 F(x),例例3 将函数将函数7/29/202414返回返回上页上页下页下页目录目录利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 x=0 时时,f(0)=0,得得说明说明:7/29/202415返回返回上页上页下页下页目录目录设设已知已知又又7/29/202416返回返回上页上页下页下页目录目录三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.正弦级数和余弦级数的概念正弦级数和余弦级数的概念定理定理4 对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f(x),其傅里叶其傅里叶级数为级数为周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f(x),其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为(Sine series and cosine series)7/29/202417返回返回上页上页下页下页目录目录的的表达式为表达式为 f(x)x,将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.（课本例（课本例6）是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在解解:若不计若不计周期为周期为 2 的奇函数的奇函数,因此因此例例4 设设7/29/202418返回返回上页上页下页下页目录目录n1根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数的正弦级数:级数的部分和级数的部分和 n2n3n4逼近逼近 f(x)的情况见右图的情况见右图.n57/29/202419返回返回上页上页下页下页目录目录展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:是周期为是周期为2 的的周期偶函数周期偶函数,因此因此例例5 将周期函数将周期函数（课本（课本 例例7）7/29/202420返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202421返回返回上页上页下页下页目录目录周期延拓周期延拓 F(x)f(x)在在 0,上展成上展成周期延拓周期延拓 F(x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数 f(x)在在 0,上展成上展成2.函数展开为正弦级数或余弦级数函数展开为正弦级数或余弦级数7/29/202422返回返回上页上页下页下页目录目录分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数.（课本（课本例例8）解解:先求正弦级数先求正弦级数.去掉端点去掉端点,将将 f(x)作奇周期延拓作奇周期延拓,例例6 将函数将函数7/29/202423返回返回上页上页下页下页目录目录注意注意:在端点在端点 x=0,级数的和为级数的和为0,与给定函数与给定函数因此得因此得 f(x)=x+1 的值不同的值不同.7/29/202424返回返回上页上页下页下页目录目录将将则有则有作偶周期延拓作偶周期延拓,再求余弦级数再求余弦级数.7/29/202425返回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:令令 x=0 可得可得即即7/29/202426返回返回上页上页下页下页目录目录7/29/202427返回返回上页上页下页下页目录目录四、周期为四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数周期为周期为 2l 函数函数 f(x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式7/29/202428返回返回上页上页下页下页目录目录设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中定理定理57/29/202429返回返回上页上页下页下页目录目录,则则令令则则所以所以且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件,将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:(在在 F(z)的连续点处的连续点处)变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数,证明证明:令令7/29/202430返回返回上页上页下页下页目录目录其中其中令令(在在 f(x)的的 连续点处连续点处)证毕证毕 7/29/202431返回返回上页上页下页下页目录目录其中其中(在在 f(x)的连续点处的连续点处)如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中注注:无论哪种情况无论哪种情况,在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,傅里叶级数傅里叶级数收敛于收敛于如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 说明说明:7/29/202432返回返回上页上页下页下页目录目录展开成展开成(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作奇奇周期延拓周期延拓,则有则有在在 x=2 k 处级数处级数收敛于何值收敛于何值?例例8 把把7/29/202433返回返回上页上页下页下页目录目录作作偶偶周期延拓周期延拓,则有则有(2)将将7/29/202434返回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:此式对此式对也成立也成立,由此还可导出由此还可导出据此有据此有（自行练习课本（自行练习课本 例例1011）7/29/202435返回返回上页上页下页下页目录目录方法方法1令令即即在在上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓周期延拓将将在在代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,7/29/202436返回返回上页上页下页下页目录目录令令在在上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代入展开式代入展开式在在即即上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级数 方法方法27/29/202437返回返回上页上页下页下页目录目录展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解:令令设设将将F(z)延拓成周期为延拓成周期为 10 的周期函数的周期函数,理条件理条件.由于由于F(z)是奇函数是奇函数,故故则它满足收敛定则它满足收敛定例例9 将函数将函数（课本例（课本例12）7/29/202438返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.周期为周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中其中注意注意:若若为间断点为间断点,则级数收敛于则级数收敛于2.周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数7/29/202439返回返回上页上页下页下页目录目录3.在在 0,上函数的傅里叶展开法上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓作奇周期延拓,展开为正弦级数展开为正弦级数 作偶周期延拓作偶周期延拓,展开为余弦级数展开为余弦级数为正弦为正弦 级数级数.4.周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点间断点)其中其中当当f(x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)5.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓7/29/202440返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习习题习题106 1；2(1)；3(2)；4；6 思考练习思考练习1.在在 0,上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答答:不唯一不唯一,延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同.傅氏级数的和函数傅氏级数的和函数.2.写出函数写出函数答案答案:7/29/202441返回返回上页上页下页下页目录目录处收敛于处收敛于则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在在在处收敛于处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为 ,3.7/29/202442返回返回上页上页下页下页目录目录又设又设求当求当的表达式的表达式.解解:由题设可知应对由题设可知应对作作奇延拓奇延拓:由周期性由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域定义域4.设设7/29/202443返回返回上页上页下页下页目录目录数展式为数展式为则其中系数则其中系数提示提示:利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”(93 考研考研)的傅里叶级的傅里叶级5.7/29/202444返回返回上页上页下页下页目录目录是以是以 2 为周期的函数为周期的函数,其傅氏系数为其傅氏系数为则则的傅氏系数的傅氏系数提示提示:令令6.设设7/29/202445返回返回上页上页下页下页目录目录立叶级数立叶级数,并由此求级数并由此求级数(91 考研考研)解解:为偶函数为偶函数,因因 f(x)偶延拓后在偶延拓后在展开成以展开成以2为周期的傅为周期的傅的和的和.故得故得 7.7/29/202446返回返回上页上页下页下页目录目录得故7/29/202447
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